鄒守文

命題如圖1，P是拋物線y=14x2-1上任意一點，點P到直線l：y=-2的距離為PH，則有OP=PH.

證明設(shè)點P的坐標為m，n，則n=14m2-1，OP=m2+14m2-12=14m2+1.

因為直線l過點E（0，-2）且平行于x軸，所以點H的縱坐標為-2，

所以PH=14m2-1--2=14m2+1，所以PO=PH.

此結(jié)論是拋物線y=14x2-1的一個簡單的性質(zhì)，其在解中考題中有著一定的應(yīng)用，下面舉例說明.

例1（2013年廣西南寧卷）如圖2，拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，-1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點，直線l過點E（0，-2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、N.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）求證：AO=AM；

（3）探究：

例2（2012年山東濰坊卷）如圖3，已知拋物線與坐標軸分別交于A（-2，0）、B（2，0）、C（0，-1）三點，過坐標原點O的直線y=kx與拋物線交于M、N兩點.分別過點C、D作平行于x軸的直線l1，l2.

（1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；

（2）求證：以O(shè)N為直徑的圓與直線l1相切；

（3）求線段MN的長（用k表示），并證明M、N兩點到直線l2的距離之和等于線段MN的長.

簡解（1）y=1[]4[SX）]x2-1；

（2）設(shè)Nx，14x2-1，過N作NP⊥l2交l1于點Q，由命題的證明知

ON=NP=14x2+1，NQ=14x2+1-1=14x2，設(shè)ON的中點為E，過點E向直線l1作垂線，垂足為F，則EF=12OC+NQ=121+14x2=12ON，所以以O(shè)N為直徑的圓與直線l1相切.

（3）由命題知顯然成立.

例3（2014年四川遂寧卷）已知：直線l∶y=-2，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是y軸，且經(jīng)過點（0，-1），（2，0）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）如圖4，點P是拋物線上任意一點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，求證：PO=PQ.

（3）請你參考（2）中結(jié)論解決下列問題：

（ⅰ）如圖5，過原點作任意直線AB，交拋物線y=ax2+bx+c于點A、B，分別過A、B兩點作直線l的垂線，垂足分別是點M、N，連結(jié)ON、OM，求證：ON⊥OM.

（ⅱ）已知：如圖6，點D（1，1），試探究在該拋物線上是否存在點F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由.

簡解（1）y=1[]4[SX）]x2-1；（2）證明略；

（3）（?。┤鐖D5，因為BN⊥l，AM⊥l，所以BN=BO，AM=AO，BN∥AM，

所以∠BNO=∠BON，∠AOM=∠AMO，∠ABN+∠BAM=180°.

因為∠BNO+∠BON+∠NBO=180°，∠AOM+∠AMO+∠OAM=180°，

所以∠BNO+∠BON+∠NBO+∠AOM+∠AMO+∠OAM=360°，

所以2∠BON+2∠AOM=180°，所以∠BON+∠AOM=90°，

所以∠MON=90°，所以O(shè)N⊥OM；

（ⅱ）如圖7，作F′H⊥l于H，DG⊥l于G，交拋物線與F，

作F′E⊥DG于E，所以∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90°，F(xiàn)O=FG，F(xiàn)′H=F′O.

所以四邊形GHF′E是矩形，F(xiàn)O+FD=FG+FD=DG，F(xiàn)′O+F′D=F′H+F′D.

所以EG=F′H，所以DE

所以FO+FD

因為D（1，1），所以F的橫坐標為1，所以F（1，-34）.

把命題中的拋物線和直線都向上平移一個單位，可以得到

推論P是拋物線y=14x2上任意一點，F(xiàn)0，1，點P到直線l：y=-1的距離為PH，則有FP=PH.

例4（2015年湖南永州卷）已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點為（1，0），與y軸的交點坐標為（0，14），R（1，1）是拋物線對稱軸l上的一點.

（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；

（2）若P是拋物線上的一個動點（如圖8），求證：點P到R的距離與點P到直線y=-1的距離恒相等；

（3）設(shè)直線PR與拋物線的另一個交點為Q.E為線段PQ的中點，過點P，E，Q分別作直線y=-1的垂線，垂足分別為M，F(xiàn)，N（如圖9），求證：PF⊥QF.

簡解（1）y=14x2-12x+14；

（2）因為y=14x2-12x+14=14x-12可以由拋物線y=14x2向右平移1個單位得到，由推論知點P到R的距離與點P到直線y=-1的距離恒相等；

（3）由（2）可得：QN=QR，PM=PR，所以QP=QN+PM.

又因為E為線段PQ的中點，QN⊥MN，EF⊥MN，PM⊥MN，

所以EF=12（QN+PM），所以EF=12QP.

又E為線段PQ的中點，則EF=QE=EP，

所以∠EFQ=∠EQF，∠EFP=∠EPF，

故∠QFP=∠EFQ+∠EFP=12（∠EFQ+∠EQF+∠EFP+∠EPF）=90°.

于是PF⊥QF.

本題結(jié)論及其推論的一般結(jié)論是：拋物線上任意一點到焦點的距離和其到準線的距離相等，由于初中階段沒有介紹這一性質(zhì)，上面我們從中考試題的角度作了一些介紹，本意在于揭示問題的本質(zhì)，為中考題的解決提供一些“隱性”的方法，沒有過度挖掘高中相關(guān)知識的意圖.