夏鳴

1問題的提出

游戲：甲、乙兩人輪流連續(xù)報(bào)數(shù)，甲先報(bào)“1”或“1、2”，乙接著連續(xù)報(bào)數(shù)，可以說一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)，然后又輪到甲，再接著連續(xù)報(bào)數(shù)，同樣可以說一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)，這樣兩人反復(fù)輪流，但不可以不說.誰先搶到30誰就得勝.問：此游戲是否有制勝策略？如果有，制勝策略是什么？

這是一個(gè)經(jīng)典游戲，其中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法.常見的解題方法是逆推法.具體分析如下：要想搶到30，必先搶到27，要想搶到27，必先搶到24，……，要想搶到6，必先搶到3.因此，這個(gè)游戲的制勝策略是搶到3的倍數(shù).

下面對(duì)游戲進(jìn)行推廣，將搶“30”改為搶“31”，如果再用逆推法進(jìn)行分析，那么我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)不容易得出結(jié)論.這說明剛才的解法是不全面、不深刻的，并非是解決這類問題的通法.本文將以此問題為例介紹解決這類問題的通法，并給出一個(gè)可以推廣的制勝策略.

2問題的解決

搶“30”游戲是與自然數(shù)有關(guān)的問題.解決這類問題時(shí)，我們可以先把問題一般化，也就是將搶“30”的問題變成搶“n”（n是自然數(shù)）的問題.又因?yàn)閚是一個(gè)自然數(shù)，它可以取1、2、3……這些值，所以我們可以用“從一般到特殊再到一般”的方法將問題特殊化，先研究n=1、2、3……時(shí)的情況，再通過比較、分析、猜想出其中的規(guī)律，最后在對(duì)猜想出的規(guī)律進(jìn)行證明或證否.因此，解決與自然數(shù)有關(guān)問題的一般步驟可歸納為：“問題一般化→問題特殊化→猜想規(guī)律→證明規(guī)律”[1].下面我們就用這四個(gè)步驟解決搶“30”游戲問題.

第1步：問題一般化

將“搶30”問題推廣到“搶n”（n是自然數(shù)）問題，即甲、乙兩人連續(xù)報(bào)數(shù)，甲先報(bào)，乙后報(bào)，可以說1個(gè)數(shù)或2個(gè)數(shù)，誰搶到n誰就得勝.問：此游戲是否有制勝策略？如果有，制勝策略是什么？

第2步：問題特殊化

因?yàn)閚是自然數(shù)，所以我們讓n取1、2、3、4……這些特殊的值.

①當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)榧紫葓?bào)數(shù)，他報(bào)1即可獲勝.

②當(dāng)n=2時(shí)，甲報(bào)1、2即可獲勝.

③當(dāng)n=3時(shí)，甲有兩種報(bào)數(shù)方式，一是報(bào)1，二是報(bào)1、2.當(dāng)甲報(bào)1時(shí)，乙報(bào)2、3；當(dāng)甲報(bào)1、2時(shí)，乙報(bào)3.所以乙勝.

④當(dāng)n=4時(shí)，甲只要先報(bào)1個(gè)數(shù)，那么再報(bào)剩下的3個(gè)數(shù)時(shí)就是乙先報(bào)，甲后報(bào)的情況.根據(jù)③可知，當(dāng)報(bào)3個(gè)數(shù)時(shí)，后報(bào)者勝，所以甲勝.

⑤當(dāng)n=5時(shí)，甲只要先報(bào)2個(gè)數(shù)，那么又剩下的3個(gè)數(shù)，且甲是后報(bào)者，所以甲勝.

⑥當(dāng)n=6時(shí)，因?yàn)榧字荒軋?bào)1個(gè)數(shù)或2個(gè)數(shù)，所以乙只要在甲報(bào)數(shù)的基礎(chǔ)上報(bào)2個(gè)數(shù)或1個(gè)數(shù)，就能使剩下的數(shù)為3個(gè)，并且他是后報(bào)者，所以這種情況是乙勝.

⑦當(dāng)n=7時(shí)，甲只要報(bào)1，那么再報(bào)剩下的6個(gè)數(shù)時(shí)就是乙先報(bào)，甲后報(bào)的情況.根據(jù)⑥可知，當(dāng)報(bào)6個(gè)數(shù)時(shí)，后報(bào)者勝，所以甲勝.

⑧當(dāng)n=8時(shí)，甲只要報(bào)2，那么又剩下的6個(gè)數(shù)，且甲是后報(bào)者，所以甲勝.

⑨當(dāng)n=9時(shí)，甲報(bào)數(shù)只能報(bào)1或1、2，乙只要報(bào)2、3或3就能剩余6個(gè)數(shù)，再報(bào)剩下的6個(gè)數(shù)時(shí)就是乙后報(bào)，所以這種情況是乙勝.

⑩當(dāng)n=10時(shí)，甲只要先報(bào)1個(gè)數(shù)，那么再報(bào)剩下的9個(gè)數(shù)時(shí)就是乙先報(bào)，甲后報(bào)的情況.根據(jù)⑨可知，當(dāng)報(bào)9個(gè)數(shù)時(shí)，后報(bào)者勝，所以甲勝.

……

第3步：猜想規(guī)律

通過上述特殊情況，我們不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=3，n=6，n=9時(shí)，乙勝，其余情況都是甲勝.由此，我們猜測“當(dāng)所報(bào)數(shù)的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)，后報(bào)者勝”，也可以說成“把3的倍數(shù)個(gè)數(shù)留給對(duì)方，我方贏”.

第4步：證明猜想

上述規(guī)律是根據(jù)許多特殊情況猜測出來的.它不一定是正確的，需要通過證明或證否.下面我們證明上述規(guī)律：“把3的倍數(shù)個(gè)數(shù)留給對(duì)方，我方贏”.此命題可以改述為“對(duì)于所有的自然數(shù)k，把3k個(gè)數(shù)留給對(duì)方，我方贏”.下面我們用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

首先，當(dāng)k=1時(shí)，即把3個(gè)數(shù)留給對(duì)方，根據(jù)上述第③情況可以得出命題成立.

其次，假設(shè)把3（k-1）個(gè)數(shù)留給對(duì)方，我方能贏，去證明把k個(gè)數(shù)留給對(duì)方，我方贏.

當(dāng)有k個(gè)數(shù)留對(duì)方后，對(duì)方有兩種報(bào)數(shù)方式：

第①種，對(duì)方報(bào)1個(gè)數(shù)，則我方報(bào)2個(gè)數(shù)，還剩3k-3個(gè)數(shù)，就把3（k-1）個(gè)數(shù)留給了對(duì)方，我方贏.

第②種，對(duì)方報(bào)2個(gè)數(shù)，則我方報(bào)1個(gè)數(shù)，就又把3（k-1）個(gè)數(shù)留給了對(duì)方，我方贏.

綜上所述，命題對(duì)于所有的自然數(shù)k成立.

通過上述探究，不難發(fā)現(xiàn)搶“n”游戲的制勝策略是“把3的倍數(shù)個(gè)數(shù)留給對(duì)方，我方贏”.再來看搶“30”游戲，不難分析后報(bào)者能勝，因?yàn)榧滓倚枰獔?bào)數(shù)的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，且甲先報(bào)，乙后報(bào)，所以乙贏.具體報(bào)數(shù)的方法是當(dāng)甲報(bào)1個(gè)數(shù)時(shí)，乙接著報(bào)2個(gè)數(shù)；當(dāng)甲報(bào)2個(gè)數(shù)時(shí)，乙接著報(bào)1個(gè)數(shù).這樣乙就能始終把3的倍數(shù)個(gè)數(shù)留給甲，從而乙能贏.

下面將搶“30”改為搶“31”.由于前面的制勝策略是針對(duì)搶“n”游戲的，那么對(duì)于搶“31”游戲也應(yīng)該適用.根據(jù)制勝策略可知先報(bào)者能贏，具體報(bào)數(shù)的方法是甲先報(bào)1個(gè)數(shù)，留下30（3的倍數(shù)）個(gè)數(shù)給乙，接下去當(dāng)乙報(bào)1個(gè)數(shù)時(shí)，甲報(bào)2個(gè)數(shù)；當(dāng)乙報(bào)2個(gè)數(shù)時(shí)，甲報(bào)1個(gè)數(shù)，這樣甲就能贏.

3兩點(diǎn)思考

3.1反觀原解法的合理性

原來的解法是說想搶到30，必先搶到27、24、…、6、3.表面上看是搶到3的倍數(shù)，其實(shí)質(zhì)還是把3的倍數(shù)個(gè)數(shù)留給對(duì)方.因?yàn)?0本身就是3的倍數(shù)，那么搶到27、24、…、6、3是就把3個(gè)數(shù)、6個(gè)數(shù)，…，24個(gè)數(shù)、27個(gè)數(shù)留給了對(duì)方.再看搶“31”游戲，我們也可以這樣思考，想要贏就必須把30個(gè)數(shù)、27個(gè)數(shù)、24個(gè)數(shù)，…，6個(gè)數(shù)、3個(gè)數(shù)留給了對(duì)方，那么先報(bào)數(shù)者只需搶到31-30、31-27、31-24、…、31-6、31-3，即搶到1、4、7、…、25、28這些數(shù)就能贏.

3.2把問題再推廣

我們將問題推廣為：甲、乙兩人輪流連續(xù)報(bào)數(shù)，甲先報(bào)，乙后報(bào)，可以說1個(gè)數(shù)或2個(gè)數(shù)或…或m個(gè)數(shù)（m為自然數(shù)），這樣兩人反復(fù)輪流，但不可以不說.誰先搶到n（n為自然數(shù)）誰就得勝.根據(jù)上面的分析，不難得出以下結(jié)論：

參考文獻(xiàn)

[1]顧沛.數(shù)學(xué)文化[M].北京：高等教育出版社，2008：232-234