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        搶“30”游戲的制勝策略

        2016-04-20 12:40:52夏鳴
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2016年2期
        關(guān)鍵詞:報(bào)數(shù)倍數(shù)個(gè)數(shù)

        夏鳴

        1問題的提出

        游戲:甲、乙兩人輪流連續(xù)報(bào)數(shù),甲先報(bào)“1”或“1、2”,乙接著連續(xù)報(bào)數(shù),可以說一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù),然后又輪到甲,再接著連續(xù)報(bào)數(shù),同樣可以說一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù),這樣兩人反復(fù)輪流,但不可以不說.誰先搶到30誰就得勝.問:此游戲是否有制勝策略?如果有,制勝策略是什么?

        這是一個(gè)經(jīng)典游戲,其中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法.常見的解題方法是逆推法.具體分析如下:要想搶到30,必先搶到27,要想搶到27,必先搶到24,……,要想搶到6,必先搶到3.因此,這個(gè)游戲的制勝策略是搶到3的倍數(shù).

        下面對(duì)游戲進(jìn)行推廣,將搶“30”改為搶“31”,如果再用逆推法進(jìn)行分析,那么我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)不容易得出結(jié)論.這說明剛才的解法是不全面、不深刻的,并非是解決這類問題的通法.本文將以此問題為例介紹解決這類問題的通法,并給出一個(gè)可以推廣的制勝策略.

        2問題的解決

        搶“30”游戲是與自然數(shù)有關(guān)的問題.解決這類問題時(shí),我們可以先把問題一般化,也就是將搶“30”的問題變成搶“n”(n是自然數(shù))的問題.又因?yàn)閚是一個(gè)自然數(shù),它可以取1、2、3……這些值,所以我們可以用“從一般到特殊再到一般”的方法將問題特殊化,先研究n=1、2、3……時(shí)的情況,再通過比較、分析、猜想出其中的規(guī)律,最后在對(duì)猜想出的規(guī)律進(jìn)行證明或證否.因此,解決與自然數(shù)有關(guān)問題的一般步驟可歸納為:“問題一般化→問題特殊化→猜想規(guī)律→證明規(guī)律”[1].下面我們就用這四個(gè)步驟解決搶“30”游戲問題.

        第1步:問題一般化

        將“搶30”問題推廣到“搶n”(n是自然數(shù))問題,即甲、乙兩人連續(xù)報(bào)數(shù),甲先報(bào),乙后報(bào),可以說1個(gè)數(shù)或2個(gè)數(shù),誰搶到n誰就得勝.問:此游戲是否有制勝策略?如果有,制勝策略是什么?

        第2步:問題特殊化

        因?yàn)閚是自然數(shù),所以我們讓n取1、2、3、4……這些特殊的值.

        ①當(dāng)n=1時(shí),因?yàn)榧紫葓?bào)數(shù),他報(bào)1即可獲勝.

        ②當(dāng)n=2時(shí),甲報(bào)1、2即可獲勝.

        ③當(dāng)n=3時(shí),甲有兩種報(bào)數(shù)方式,一是報(bào)1,二是報(bào)1、2.當(dāng)甲報(bào)1時(shí),乙報(bào)2、3;當(dāng)甲報(bào)1、2時(shí),乙報(bào)3.所以乙勝.

        ④當(dāng)n=4時(shí),甲只要先報(bào)1個(gè)數(shù),那么再報(bào)剩下的3個(gè)數(shù)時(shí)就是乙先報(bào),甲后報(bào)的情況.根據(jù)③可知,當(dāng)報(bào)3個(gè)數(shù)時(shí),后報(bào)者勝,所以甲勝.

        ⑤當(dāng)n=5時(shí),甲只要先報(bào)2個(gè)數(shù),那么又剩下的3個(gè)數(shù),且甲是后報(bào)者,所以甲勝.

        ⑥當(dāng)n=6時(shí),因?yàn)榧字荒軋?bào)1個(gè)數(shù)或2個(gè)數(shù),所以乙只要在甲報(bào)數(shù)的基礎(chǔ)上報(bào)2個(gè)數(shù)或1個(gè)數(shù),就能使剩下的數(shù)為3個(gè),并且他是后報(bào)者,所以這種情況是乙勝.

        ⑦當(dāng)n=7時(shí),甲只要報(bào)1,那么再報(bào)剩下的6個(gè)數(shù)時(shí)就是乙先報(bào),甲后報(bào)的情況.根據(jù)⑥可知,當(dāng)報(bào)6個(gè)數(shù)時(shí),后報(bào)者勝,所以甲勝.

        ⑧當(dāng)n=8時(shí),甲只要報(bào)2,那么又剩下的6個(gè)數(shù),且甲是后報(bào)者,所以甲勝.

        ⑨當(dāng)n=9時(shí),甲報(bào)數(shù)只能報(bào)1或1、2,乙只要報(bào)2、3或3就能剩余6個(gè)數(shù),再報(bào)剩下的6個(gè)數(shù)時(shí)就是乙后報(bào),所以這種情況是乙勝.

        ⑩當(dāng)n=10時(shí),甲只要先報(bào)1個(gè)數(shù),那么再報(bào)剩下的9個(gè)數(shù)時(shí)就是乙先報(bào),甲后報(bào)的情況.根據(jù)⑨可知,當(dāng)報(bào)9個(gè)數(shù)時(shí),后報(bào)者勝,所以甲勝.

        ……

        第3步:猜想規(guī)律

        通過上述特殊情況,我們不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=3,n=6,n=9時(shí),乙勝,其余情況都是甲勝.由此,我們猜測“當(dāng)所報(bào)數(shù)的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)時(shí),后報(bào)者勝”,也可以說成“把3的倍數(shù)個(gè)數(shù)留給對(duì)方,我方贏”.

        第4步:證明猜想

        上述規(guī)律是根據(jù)許多特殊情況猜測出來的.它不一定是正確的,需要通過證明或證否.下面我們證明上述規(guī)律:“把3的倍數(shù)個(gè)數(shù)留給對(duì)方,我方贏”.此命題可以改述為“對(duì)于所有的自然數(shù)k,把3k個(gè)數(shù)留給對(duì)方,我方贏”.下面我們用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

        首先,當(dāng)k=1時(shí),即把3個(gè)數(shù)留給對(duì)方,根據(jù)上述第③情況可以得出命題成立.

        其次,假設(shè)把3(k-1)個(gè)數(shù)留給對(duì)方,我方能贏,去證明把k個(gè)數(shù)留給對(duì)方,我方贏.

        當(dāng)有k個(gè)數(shù)留對(duì)方后,對(duì)方有兩種報(bào)數(shù)方式:

        第①種,對(duì)方報(bào)1個(gè)數(shù),則我方報(bào)2個(gè)數(shù),還剩3k-3個(gè)數(shù),就把3(k-1)個(gè)數(shù)留給了對(duì)方,我方贏.

        第②種,對(duì)方報(bào)2個(gè)數(shù),則我方報(bào)1個(gè)數(shù),就又把3(k-1)個(gè)數(shù)留給了對(duì)方,我方贏.

        綜上所述,命題對(duì)于所有的自然數(shù)k成立.

        通過上述探究,不難發(fā)現(xiàn)搶“n”游戲的制勝策略是“把3的倍數(shù)個(gè)數(shù)留給對(duì)方,我方贏”.再來看搶“30”游戲,不難分析后報(bào)者能勝,因?yàn)榧滓倚枰獔?bào)數(shù)的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù),且甲先報(bào),乙后報(bào),所以乙贏.具體報(bào)數(shù)的方法是當(dāng)甲報(bào)1個(gè)數(shù)時(shí),乙接著報(bào)2個(gè)數(shù);當(dāng)甲報(bào)2個(gè)數(shù)時(shí),乙接著報(bào)1個(gè)數(shù).這樣乙就能始終把3的倍數(shù)個(gè)數(shù)留給甲,從而乙能贏.

        下面將搶“30”改為搶“31”.由于前面的制勝策略是針對(duì)搶“n”游戲的,那么對(duì)于搶“31”游戲也應(yīng)該適用.根據(jù)制勝策略可知先報(bào)者能贏,具體報(bào)數(shù)的方法是甲先報(bào)1個(gè)數(shù),留下30(3的倍數(shù))個(gè)數(shù)給乙,接下去當(dāng)乙報(bào)1個(gè)數(shù)時(shí),甲報(bào)2個(gè)數(shù);當(dāng)乙報(bào)2個(gè)數(shù)時(shí),甲報(bào)1個(gè)數(shù),這樣甲就能贏.

        3兩點(diǎn)思考

        3.1反觀原解法的合理性

        原來的解法是說想搶到30,必先搶到27、24、…、6、3.表面上看是搶到3的倍數(shù),其實(shí)質(zhì)還是把3的倍數(shù)個(gè)數(shù)留給對(duì)方.因?yàn)?0本身就是3的倍數(shù),那么搶到27、24、…、6、3是就把3個(gè)數(shù)、6個(gè)數(shù),…,24個(gè)數(shù)、27個(gè)數(shù)留給了對(duì)方.再看搶“31”游戲,我們也可以這樣思考,想要贏就必須把30個(gè)數(shù)、27個(gè)數(shù)、24個(gè)數(shù),…,6個(gè)數(shù)、3個(gè)數(shù)留給了對(duì)方,那么先報(bào)數(shù)者只需搶到31-30、31-27、31-24、…、31-6、31-3,即搶到1、4、7、…、25、28這些數(shù)就能贏.

        3.2把問題再推廣

        我們將問題推廣為:甲、乙兩人輪流連續(xù)報(bào)數(shù),甲先報(bào),乙后報(bào),可以說1個(gè)數(shù)或2個(gè)數(shù)或…或m個(gè)數(shù)(m為自然數(shù)),這樣兩人反復(fù)輪流,但不可以不說.誰先搶到n(n為自然數(shù))誰就得勝.根據(jù)上面的分析,不難得出以下結(jié)論:

        參考文獻(xiàn)

        [1]顧沛.數(shù)學(xué)文化[M].北京:高等教育出版社,2008:232-234

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