楊波　劉玉清

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）在第一部分“前言”中指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑.”《課標（2011年版）》修訂小組組長史寧中教授反復強調：數(shù)學模型是溝通數(shù)學與外部世界的橋梁，模型思想是數(shù)學的基本思想之一.

仔細分析各地中考數(shù)學試卷中的應用問題可以發(fā)現(xiàn)，解題的關鍵是正確建立數(shù)學模型.下面結合具體題目（所選例題均為2015年各地的中考題），歸納出中考題中常見的數(shù)學模型.1方程（組）模型

例1（福建福州）有48支隊520名運動員參加籃球、排球比賽，其中每支籃球隊10人，每支排球隊12人，每名運動員只能參加一項比賽，籃球、排球隊各有多少支參賽？

分析本題是一道實際應用問題，解答的關鍵就是根據(jù)問題給出的數(shù)量關系建立方程模型或方程組模型.

解設籃球隊有x支，則排球隊有（48-x）支，依題意，得

10x+12（48-x）=520，解得x=28，48-x=48-28=20.

答：籃球、排球隊各有28支與20支.

點評《課標（2011年版）》在有關方程的課程內容中指出“能根據(jù)具體問題中的數(shù)學關系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型.”在我們的現(xiàn)實生活中存在著大量的等量關系，因而方程（組）模型便成為研究現(xiàn)實世界數(shù)量關系的最基本、最常用的數(shù)學模型之一.它可以幫助我們從數(shù)量關系的角度更準確、清晰的認識、描述和把握現(xiàn)實世界.最近幾年常選擇與我們生產、生活密切相關的問題（如行程問題、利潤問題、打折銷售等問題）作為方程（組）模型的“源”材料，以此考查學生通過建立方程（組）模型，進而解答實際問題的能力.2不等式（組）模型

例2（山東萊蕪）為打造“書香校園”，某學校計劃用不超過1900本科技類書籍和1620本人文類書籍，組建中、小型兩類圖書角共30個.已知組建一個中型圖書角需科技類書籍80本，人文類書籍50本；組建一個小型圖書角需科技類書籍30本，人文類書籍60本.

（1）問符合題意的組建方案有幾種？請你幫學校設計出來；

（2）若組建一個中型圖書角的費用是860元，組建一個小型圖書角的費用是570元，試說明在（1）中哪種方案費用最低？最低費用是多少元？

分析（1）設組建中型圖書角x個，則組建小型圖書角為（30-x）個；根據(jù)不等關系：①科技類書籍不超過1900本；②人文類書籍不超過1620本.列不等式組，進行求解；

（2）此題有兩種方法：

點評本題主要考查學生通過建立不等式組模型解答實際問題的能力.類似這樣的考題，除考查了學生建立不等式（組）模型解答問題的能力外，還有利于對學生進行“優(yōu)化思想”的熏陶，對于形成學生“精打細算”的節(jié)約品質也是有益的.3函數(shù)模型

例3（湖南衡陽）某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，經多年動物實驗，首次用于臨床人體實驗.測得成人服藥后血液中藥物深度y（微克/毫升）與服藥時間x小時之間的函數(shù)關系如圖1所示（當4≤x≤10時，y與x成反比）.

（1）根據(jù)圖象分別求出血液中藥物濃度上升和下降階段y與x之間的函數(shù)關系式；

（2）問血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時間為多少小時？

分析（1）上升階段是正比例函數(shù)，設y=kx，把（4，8）代人即可.下降階段設y=mx.把（4，8）代人即可.（2）在上升和下降階段同時滿足y≥4，解關于x的不等式組.

解（1）由圖象可知，當0≤x≤4時，y與x成正比例關系，設y=kx.

點評函數(shù)是中學數(shù)學中的一個重要概念，其內容無處不在.因此給定一個問題情境，讓學生列出函數(shù)關系式是一種常見的題型，解答這種問題首先要找出自變量與函數(shù)存在的等量關系，然后建立函數(shù)模型，根據(jù)這個模型由自變量的值可求函數(shù)值，也可由函數(shù)值求出自變量的值.

本題以抗菌新藥品的試驗問題為背景，考查了學生用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)解析式的能力以及根據(jù)解析式解答實際問題的能力，解答的關鍵在于建立函數(shù)模型.4幾何模型（或三角模型）

例4（浙江紹興）如圖2，從地面上的點A看一山坡上的電線桿PQ，測得桿頂端點P的仰角是45°，向前走6m到達B點，測得桿頂端點P和桿底端點Q的仰角分別是60°和30°

點評此題主要考查學生通過解直角三角形達到解決實際問題的能力，解答的關鍵首先在于把實際問題轉化為直角三角形的問題，然后加以計算.觀察圖形可發(fā)現(xiàn)，通過添加輔助線把要求的電線桿PQ的高度轉化為兩條線段長度之差的問題.因此，根據(jù)給定的條件建立三角模型，然后通過解三角形分別求出這兩條線段的長，從而求得答案.從解答的過程看，根據(jù)條件通過添加輔助線構造三角模型是解題的關鍵.5統(tǒng)計模型

例5（河南）為了了解市民“獲取新聞的最主要途徑”，某市記者開展了一次抽樣調查，根據(jù)調查結果繪制了如圖3所示的尚不完整的統(tǒng)計圖.

根據(jù)以上信息解答下列問題：

（1）這次接受調查的市民總人數(shù)是；

（2）扇形統(tǒng)計圖中，“電視”所對應的圓心角的度數(shù)是；

（3）請補全條形統(tǒng)計圖；

（4）若該市約有80萬人，請你估計其中將“電腦和手機上網”作為“獲取新聞的最主要途徑”的總人數(shù).

分析（1）從條形統(tǒng)計圖中得到“手機上網”的人數(shù)，從扇形統(tǒng)計圖得到“手機上網”所占的百分比，相除即可得到本次調查的市名總人數(shù).（2）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖可得：電腦上網、其他、報紙和手機上網各項所占的百分比從而求得用“電視”獲取新聞的最主要途徑所占的百分比，再乘以360°即可求解.（3）由扇形統(tǒng)計圖可得用“報紙”獲取新聞的途徑所占的百分比，再乘以總人數(shù)即可求解.（4）先求得將“電腦和手機上網”作為“獲取新聞的最主要途徑”所占的百分比，再乘以該市的人數(shù)即可求解.

解（1）1000.（2）54°.

（3）用“報紙”獲取新聞的途徑的人數(shù)為：10%×1000=100，補全條形統(tǒng)計圖（略）.

（4）解：80×10000×（26%+40%）=528000（人）.

點評統(tǒng)計主要是通過對現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)進行收集、整理、描述和分析，來幫助人們作出合理的決策.現(xiàn)實生活中的許多問題（如公司招聘、人口統(tǒng)計、財務管理等實際問題）都可以通過建立統(tǒng)計模型加以解決.

本題素材選自具體的生活問題，主要考查學生通過建立統(tǒng)計模型對調查結果進行分析與推斷的能力.本題一方面考查了學生對扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖的理解和應用；另一方面考查了學生用樣本估計總體的思想方法.6概率模型

例6（山東青島）小穎和小麗做“摸球”游戲：在一個不透明的袋子中裝有編號為1—4的四個球（除編號外都相同），從中隨機摸出一個球，記下數(shù)字后放回，再從中摸出一個球，記下數(shù)字.若兩次數(shù)字之和大于5，則小穎勝，否則小麗勝.這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由.

由上表可知，共有16種等可能結果，其中大于5的有共有6種.

P（數(shù)字之和>5）=616=38，因為38≠12，所以不公平.

點評概率在社會生活、現(xiàn)實生活及科學領域中有著廣泛的應用.我們經常遇到的游戲公平性的問題、彩票的中獎情況等都可以通過建立概率模型來解決.本題考查學生對游戲的公平性進行判斷的能力，判斷一個游戲是否公平，首先要計算出游戲雙方獲勝的概率，然后通過比較概率的大小得到結果.學生在解答類似問題的同時也學會了用數(shù)學知識進行說理的方法，這對于培養(yǎng)學生的邏輯推理能力是大有幫助的，這種“以理服人”的好習慣、好品質正是我們進行數(shù)學教育所希望的.

數(shù)學已經滲透到生活的各個領域，與之相關的問題涉及到生活的方方面面，通過建立數(shù)學模型解答這些與我們生活有關的問題是學生必備的一種素質，這也成為中考命題者注意的一個方向.因為，學生在建立數(shù)學模型解答它們時，除必須全面掌握數(shù)學知識外，還要具有豐富的生活常識和較強的閱讀理解能力，以及將實際問題轉化為數(shù)學問題的數(shù)學建模能力，這樣的問題具有把學習知識、應用知識、探索發(fā)現(xiàn)、培養(yǎng)良好的科學態(tài)度與思維品質等很好地結合起來的“效能”，能“誘發(fā)”學生創(chuàng)新意識的形成，體現(xiàn)了《課標（2011年版）》的基本理念和課程目標.這就要求我們在教學中應結合具體的課程內容，精心創(chuàng)設問題情境，充分體現(xiàn)“問題情境—建立模型—求解驗證”的教材編排體系.