李明樹

近幾年來，各地中考中經(jīng)常出現(xiàn)涉及高中知識（文獻(xiàn)[1]中稱為“涉高題”）解決問題的習(xí)題.此類習(xí)題在初中階段完全可以采用初中知識求解，但是，如何在初中學(xué)生已有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上探尋解決問題的方法，一直困惑著一線教師；教師在平時的教學(xué)中往往為了拓展學(xué)生視野、增強(qiáng)學(xué)生思維，經(jīng)常會把“涉高題”投到課堂上.本文筆者通過一次教研活動中一題的解法探討為例，談?wù)剬Υ祟}的認(rèn)識.

1問題呈現(xiàn)

已知：如圖1，在△ABC中，頂點A在⊙O上移動，點G是△ABC的重心，設(shè)△ABC的重心G的軌跡是⊙O′，其半徑為r，⊙O的半徑為R，試探索r、R之間的數(shù)量關(guān)系.

這道題目放在高中該怎么解？放在初中又該怎么解？在不同的學(xué)段，對此題的要求和探究方式不同，如何讓初中的學(xué)生感受“涉高題”的初中解法，同時體驗數(shù)形結(jié)合的奧妙，使得“涉高題”完全降下來，特別是在初中學(xué)生已有知識和體驗的基礎(chǔ)上得到進(jìn)一步的發(fā)展，從而真正理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，促使學(xué)生的思維能力縱向、可持續(xù)發(fā)展.

2解法探討

2.1建立平面直角坐標(biāo)系，代數(shù)方法輕松解決問題

所以重心G的軌跡是以（xB+xC+a3，yB+yC+b3）為圓心，以R3為半徑的圓.r=R3.

思考試想，此題如果放在高中，學(xué)習(xí)了圓的方程、三角形重心的相關(guān)知識之后，顯然是一道很簡單的題目.畢竟初中生沒有足夠的知識儲備，沒有高中知識的學(xué)習(xí)和了解勢必會打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.但是作為一名初中數(shù)學(xué)老師，如何在此題中找到相應(yīng)的平衡點，使得初中的學(xué)生跳一跳能夠接受呢？有沒有直觀有效的、適合初中學(xué)生的解題方法呢？

2.2利用平面幾何相關(guān)知識，構(gòu)造相似三角形巧妙解題

解法四如圖5，取BC中點D，連接AD、OA、OD，在DO上截取DO′=13DO，利用三角形重心的性質(zhì)可得DG=13DA，進(jìn)而證明三角形相似，得到O′G=13OA，即R=3r.此法中的線段O′G的得出也可以過點G做GO′平行于OA，再證明相似即可.

評析解法四到六很顯然巧妙地規(guī)避了高中圓的方程的相關(guān)知識，巧妙地通過截取、構(gòu)造線段成比例，利用平面幾何知識中的相似三角形解題，解法確實降了不少，“涉高題”達(dá)到了“降”的目的，但是對于初中的學(xué)生來說，教師的這種講授，學(xué)生真的能接受嗎？這三種方法實質(zhì)是一種方法，解題者都是默許了一個不該默許的問題，即三角形的重心性質(zhì)的直接應(yīng)用，“三角形重心是三角形三邊中線的交點，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1”.所以不妨反思，問題真的降下來了嗎？學(xué)生能夠理解問題的本質(zhì)嗎？如何達(dá)到真正的“降”的目的和效果，否則“降”的目的達(dá)到了，效果卻沒有，甚至使得學(xué)生的積極性受到打擊，影響學(xué)生后續(xù)對數(shù)學(xué)的積極探究.筆者進(jìn)行了如下的嘗試，課前對題目進(jìn)行了再設(shè)計，課堂上進(jìn)行了再探究.3回歸起點探究問題本質(zhì)

波利亞曾經(jīng)說過：如果你不能解所提的題目.如果有這種情況，別讓這種失敗太折磨你了，去嘗試在某些比較容易獲得的成功中得到安慰，先嘗試去解某道有關(guān)的題目……教師在教學(xué)中需要引導(dǎo)和教會學(xué)生能從一道更容易著手的相關(guān)題目入手，因為人的優(yōu)勢在于：在不能直接越過障礙時會繞過去，在原來的題目看上去不能解時會思考某道適當(dāng)?shù)妮o助題.學(xué)生要有這個能力才能達(dá)到提升數(shù)學(xué)思維水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教師，當(dāng)然更是如此.

變式問題一如圖8，△ABC中，AD、BE、CF分別是BC、AC、AB的中線，AD、BE、CF交于點G，則點G叫做三角形的重心.求證：AGDG=BGEG=CGFG=21.

此變式明確了指令，證明三角形重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1.但是對于初中學(xué)生來說，三角形的重心是什么？為何三條中線交于點G？還是一頭霧水，似乎這道題目沒有真正地降下來.

變式問題二如圖9，△ABC中，E、F分別是AB、AC的中點，EC、FB交于點G，求證：EG=12CG.

略解如圖10，過E作EH∥BF交AC于H.因為AE=BE，EH∥BF，所以AH=HF=12AF（平行線分線段成比例定理）.又因為AF=CF，所以HF=12CF，所以HF∶CF=12.因為EH∥BF，所以EG∶CG=HF∶CF=12，所以EG=12CG.

此變式中的點G即為△ABC的重心，而題目中沒有涉及到“重心”一詞，通過平行線分線段成比例定理很容易證明EG=12CG，不妨引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想：FG=12BG成立嗎？相信學(xué)生有了前面的解題經(jīng)驗，很容易解決.變式二明顯有了很大的“降幅”規(guī)避了高中的知識，直接利用平面幾何的知識解決了問題.但是，此變式貌似還沒有完全解決問題的本質(zhì)：三角形的三條中線為何交于一點？針對新的疑惑，不妨再次進(jìn)行設(shè)計.

變式問題三如圖11，△ABC中，E、F分別是AB、AC的中點，EC、FB交于點G，點D是BC的中點.連結(jié)AD，求證：點G在AD上.

分析由變式二易證EG=12CG，F(xiàn)G=12BG成立.如圖12，連結(jié)AD交EC于G′，交BF于G″，由平行線分線段成比例可得：EG′CG′=FG″BG″=12，由變式二可得EGCG=FGBG=12，所以點G、G′、G″三點重合.圖13巧妙的利用學(xué)生熟悉的知識解決問題，從而真正讓“涉高”題降下來.為了進(jìn)一步開拓學(xué)生的視野，教師不妨在此問題的基礎(chǔ)上再添上一個問題，加強(qiáng)對學(xué)生確定數(shù)學(xué)經(jīng)驗的理解與應(yīng)用：“如圖13，

試說明S△BGC=S△AGC=S△AGB”.易得GH′=13AH，S△BGC=13S△ABC；同理可得S△AGC=S△AGB=13S△ABC，即S△BGC=S△AGC=S△AGB.如何提高課堂效率，深入培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和未來的競爭力，教師的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的設(shè)置和引導(dǎo)極為重要，因為數(shù)學(xué)活動的對象是學(xué)生，教師把自己“降”下來，“想學(xué)生所需”，從學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗和思維水平出發(fā)，真正考慮學(xué)生學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)而又可以“跳一跳”解決的問題，合理的設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).4小結(jié)

通過上述的探究，讀者不難發(fā)現(xiàn)，原本初中學(xué)生無法解決的“涉高題”，經(jīng)過系列的改編和變化，成為了一個很好的專題探究，很好的做到了初高中知識的銜接，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)提供了強(qiáng)有力的心理支撐和知識儲備.改編以后題目涉及到的內(nèi)容非常廣泛，使得學(xué)生有了深層次的積累.首先，學(xué)生學(xué)會了問題的解決需要找到合適的切入點，否則會陷入困境.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）中明確指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，注意使學(xué)生在獲得間接經(jīng)驗的同時也能夠獲得直接經(jīng)驗.即從學(xué)生實際出發(fā)，從學(xué)生理解題意做起，從學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計解題教學(xué).在實際的教學(xué)中，要注重知識的“生長點”與“延伸點”；引導(dǎo)學(xué)生對于某些數(shù)學(xué)問題可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解；而數(shù)學(xué)經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗也是教師教學(xué)的重要目標(biāo).

參考文獻(xiàn)

[1]金紹鑫.“涉高題”解法要避免涉高[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.2015（1-2）：1-2-60