劉華為

對于平面直角坐標(biāo)系中的平行四邊形（頂點字母順序非給定）存在性問題，文[1]從“平行四邊形對角線互相平分”的性質(zhì)入手，以“哪條線段為對角線”作分類標(biāo)準(zhǔn)確定所求點的位置，并運用中點坐標(biāo)公式求其坐標(biāo).讀后受益匪淺，也深受啟發(fā)，現(xiàn)介紹另一種處理策略，以供參考.1知識剖析

1.1如何適當(dāng)分類圖1

問題已知直角坐標(biāo)系中三點A、B、C，試確定點D使以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形.

眾所周知，符合條件的點D有三個，如圖1所示.至于如何分類并確定點D位置，除了文[1]介紹的“對角線劃分法”外，還可以哪兩邊為鄰邊來分類（如以BA與BC為鄰邊得ABCD1、以AB與AC為鄰邊得ABD2C、以CA與CB為鄰邊得BCAD3）；或以哪個角為內(nèi)角來分類（如以∠ABC為內(nèi)角得ABCD1、以∠BAC為內(nèi)角得ABD2C、以∠ACB為內(nèi)角得BCAD3）；另外也可以頂點字母順序分類，如ABCD1、ABD2C和BCAD3.

事實上，若以連接某兩點的線段的類型（邊或?qū)蔷€）來分類操作性更強.如以線段AB為例，當(dāng)AB為平行四邊形的邊時，將其向右平移，當(dāng)點B與點C重合時得ABCD1，當(dāng)點A與點C重合時得ABD2C；若AB為對角線，取其中點E，連接CE并倍長得BCAD3.

1.2如何求點坐標(biāo)

設(shè)A、B、C三點坐標(biāo)分別為（xA，yA）、（xB，yB）、（xC，yC），點Di的坐標(biāo)為（xi，yi）（i=1，2，3），由平移的性質(zhì)可知平移前后對應(yīng)點在水平和豎直方向上平移的距離是相等的.所以對于D1，則有x1-xA=xC-xB且y1-yA=yC-yB；對于D2，則有x2-xB=xC-xA且y2-yB=yC-yA；對于點D3，則有x3-xA=xB-xC且y3-yA=yB-yC.運用上述方程（組）求對應(yīng)點坐標(biāo)顯然有化繁為簡化難為易之妙.2例題解析

2.1三定一動型圖2

例1（2012年齊齊哈爾市）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長分別是方程x2-7x+12=0的兩根（OA

（1）求A、B兩點的坐標(biāo).

（2）求當(dāng)t為何值時，△APQ與△AOB相似，并直接寫出此時點Q的坐標(biāo).

（3）當(dāng)t=2時，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點M，使以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

簡析（1）A（0，3）、B（4，0）；（2）當(dāng)△APQ∽△AOB時，t=1511，Q（2011，1811）；當(dāng)△APQ∽△ABO時，t=2513，Q（1213，3013）；

（3）顯然當(dāng)t=2時，點P、Q坐標(biāo)分別為（0，1）、（45，125）.設(shè)M的坐標(biāo)為（m，n），

當(dāng)AP為邊時（如圖2），對于APM1Q可視作把AP平移至QM1（點A與Q重合）而得，則m-0=45-0且n-1=125-3，得m=45，n=25；對于APQM2可視作把AP平移至QM2（A與M2重合）處而得，則m-0=45-0且n-3=125-1，得m=45，n=225；

當(dāng)AP為對角線時，對于AQPM3可視作把AQ平移至M3P（點A與M3重合）所得，則m-0=0-45且n-3=1-125，得m=-45，n=85.

故滿足題意的點M共有三個，分別為M1（45，25）、M2（45，225）和M3（-45，85）.

2.2兩定兩動型圖3

例2（2015年荊門市）如圖3，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點D為邊AB上一點，將△BCD沿直線CD折疊，使點B恰好落在邊OA上的點E處，分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求OE的長及經(jīng)過O，D，C三點拋物線的解析式；

（2）一動點P從點C出發(fā)，沿CB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時動點Q從E點出發(fā)，沿EC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當(dāng)點P到達點B時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，DP=DQ；

（3）若點N在（1）中拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

簡析（1）OE=3、y=43x2+163x；（2）t=53；

（3）由于點C、E是定點，M、N為待定點，所以應(yīng)以線段CE為分類對象，設(shè)M的橫坐標(biāo)為m.

當(dāng)CE為平行四邊形對角線時，由于拋物線的對稱軸直線x=-2平分CE，所以M必為拋物線的頂點（-2，-163）；圖4

當(dāng)CE為平行四邊形的邊時，則所求平行四邊形一定是把CE沿某一方向平移而得，顯然向下平移無法找到符合條件的平行四邊形，故只能向上平移.若把點C平移到對稱軸直線x=-2上（點E在拋物線上），則得CEMN（如圖4）.此時m-0=-2-（-4），即m=2，代入拋物線解析式求得M（2，16）；若把點E平移到對稱軸直線x=-2上（點C在拋物線上），則得ECMN.此時m-（-4）=-2-0，即m=-6，代入拋物線解析式求得M（-6，16）.

與文[1]相比，本處理策略有兩大優(yōu)勢：其一便于作圖.不僅在已知三點時能準(zhǔn)確確定第四點的位置，而且在已知兩定點情形下也能運用自如，更凸顯其作圖的優(yōu)越性.如例2若按文[1]的對角線確定法來確定兩個動點M、N的位置就比較棘手了，但以CE為邊或?qū)蔷€分類，對應(yīng)圖形一目了然.其二便于求點的坐標(biāo).根據(jù)平移性質(zhì)可直接列出關(guān)于平行四邊形四個頂點橫縱坐標(biāo)的方程（組），不需要借助于中點坐標(biāo)公式（應(yīng)當(dāng)指出的是，中點坐標(biāo)公式是高中學(xué)習(xí)內(nèi)容，此處運用屬于超綱要求）或其他知識.因此，不僅計算量銳減，而且難度也大大降低，可謂一舉多得！

參考文獻

[1]胡柳青.平行四邊形存在性問題的解題策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（12）：40-42