邢成云

摘要有些數學結論難以從可感的操作直接感知，需要靠一種超乎尋常的想象去實現認知，這種想象卻往往是“超驗”的.為了在教學實踐中取得優(yōu)質的教學效果，不妨擺開具體性操作，拿起辯證的武器去應對，從而實現從感性認識到理性認識的過渡，破解學生心中的糾結，本文擬通過三個案例借力辯證思維去嘗試“超驗”知識的獲取.

關鍵詞理性認識超驗認識辯證思維

數學上很多結論的發(fā)現或發(fā)現后的既成事實，由于直觀的錯覺和經驗的定勢，往往一時難以認同，有時候縱然認同也可能是強權之下的接受，并不能讓學生心悅誠服地真正接納.而基于辯證思維，創(chuàng)設有效的數學情景，讓學生在情景之下變被動接受為主動獲取，在具體操作或思維操作下，實現從感性到理性的認知升華，學生的困頓糾結或許就在這當兒豁然洞開，進而實現超驗的跨越.本文以三個案例為載體，充分利用有限無限、一般特殊等辯證思維做一闡釋，請同行指正！1拉長過程，慢中求實——顯化超驗概念

直線是個不定義的概念，關于它的教學是個難點，因為這個不定義的概念是超驗的，不好理解，需要增設認知環(huán)節(jié)把它做實，以加深其理性認識，把概念沉淀于心，否則，容易輕松滑過，學生大腦中難以留下它的數學印跡.

基于此，把對直線的教學過程拉長，在緩推慢進中濡染，在多維視角中豐實，設置如下教學環(huán)節(jié)：

案例1直線的教學[1].

環(huán)節(jié)1說印象——立足小學談認識.

設計說明關注認知起點，學生對直線的認識早已有之，但程度不一，通過說，激活每個人的生長點，在大家交流中相互補益，彼此豐富對它的認識，突出其直、其線性、其兩端延伸等特征.

環(huán)節(jié)2找實例——觸摸生活尋蹤影

設計說明通過搜尋生活中的實例，感知直線具象的存在，縱然不能完全取代，但總能感受到線性的直，如筆直鐵軌的邊緣等能較形象地展現出直線的模樣，生活中類似的例子較多，有心處處可見它的影子.

環(huán)節(jié)3畫模樣——形象化作具象來

設計說明通過讓學生過1個點畫直線、2個點畫直線等操作行為把直線的形象物化出來，讓學生觸摸直線的實體所在，同時為后續(xù)“兩點確定一條直線”基本事實的出現做了鋪墊，一箭雙雕.

環(huán)節(jié)4說感悟——假以畫圖找感覺

設計說明在環(huán)節(jié)3的基礎上，有了親力親為的直感，進一步體驗直線的基本特征.

環(huán)節(jié)5說應用——反觀生活用其益

設計說明學以致用，當學生認識到學到的知識有用時自然而然地提升了學習的興趣，因此，在生活中幫助學生看到數學的價值，是一種無形的力量，能催動學生對所學的渴望.如栽樹、拉線、排隊等，都是線性之直的應用，引導學生挖掘出生活中的應用之例，將助力于學生對直線的學習.

環(huán)節(jié)6標直線——命名透出本質來

設計說明學習任何幾何圖形都要命名，以便交流，直線也不例外，常用的標示方式有二：一是用兩個大寫字母，其實是“兩點確定一條直線”的闡釋，二是用一個小寫字母，兩種方法并存不悖，各有利弊.在標示命名中揭示出直線的本質.

環(huán)節(jié)7形象化——超脫中感受其神

設計說明可用孫悟空上柱擎天下通四海的“金箍棒”形象一喻直線之直與其雙向的無限延展；也可用陳子昂古韻“前不見古人，后不見來者，念天地之悠悠，獨愴然而涕下”，從時間的無始無終來形象刻畫直線的無限性，從而達到形神兼?zhèn)涞某炐Ч?

通過以上7個環(huán)節(jié)，形象與具象結合，感覺與表象兼容，物質與時空并存，畫圖操作與理性認識交融，生活與數學對接，把縹緲的直線沉靜下來，在“輕歌曼舞”中把直線概念做實，在這些辯證關聯中增進了對不定義直線概念的認識.2特殊一般，辯證關聯——助推超驗認識

當學生對兩直線平行實現了超驗的認知后，為兩平行線之間（或之外）含拐點的問題打開了一扇窗，通過特殊位置獲得的結論去推測一般狀況可能的結論，在一般與特殊的辯證關系中去體會、去揣摩、去領悟.

我們知道，兩條直線被第三條直線所截，截線發(fā)揮了貫通的作用，實現了數量與位置的切換，兩條直線發(fā)生聯系是通過截線溝通的.這是平行線一章的核心圖形，也是基本圖形，在學生心中應然扎下根來.可面對如下問題該如何是好？圖1

案例2如圖1，a∥b，M、N分別在a，b上，P為兩平行線間一點，探索∠1，∠2，∠3之間的數量關系.

環(huán)節(jié)1（教師拋出問題，提供思考起點，搭建探研支架）：兩條直線被第三條直線所截，截線發(fā)揮了貫通的作用，如圖，如果兩條平行線間截線沒有貫通，出現了拐點，即P、M、N三點不共線，讓我們探索∠1，∠2，∠3之間的關系，怎么辦？

教學說明采用分組想法，集中交流的形式展開教學.

教學預設讓學生小組內合作，各自畫出題目中的圖形，鼓勵學生利用量角器，嘗試用度量的方法獲得可感的具體數據，為猜想提供素材；小組內成員每位同學畫出的可能都不一樣，但經過測量學生會詫異的發(fā)現，測量結果都接近或等于360°，由此可能引發(fā)學生的估測，猜得這三個角的和是360°.

環(huán)節(jié)2（教師拋出問題，引發(fā)學生思考，逼近問題本質）同學們畫的圖縱然相似，但拐點彎折的程度卻不盡相同，那為什么測量的結果卻接近或一樣呢？

教學預設：學生在自己操作的基礎上思考，通過以上事實性的測量作出的猜想結論可能與拐點在兩平行線之間的彎折程度沒有關系.

環(huán)節(jié)3（教師拋出問題，啟迪學生理性論證）既然與點P的位置沒有關系，說明我們的猜想是正確的，也就是說三個角的和是固定不變的360°，那么該如何證明這個結論呢？

教學預設引導學生研究360°

引導1：由于平行線被一直線所截，可以呈現180°的基本圖（定位同旁內角），現在面對360°該如何處理？

引導2：拐點圖沒法把兩條平行線的性質派上用場，面對如此境況，我們該如何思考下去？

通過兩個引導，估計學生能發(fā)現：要建立起兩條彼此“分離”的平行線的關系，需要在拐點處構建起新的平行線，通過平行線的傳遞性把三條線聯通，360°（2個180°）搖身變成2組活生生的平行線下的同旁內角.至此問題獲解.而后組織學生嘗試證明發(fā)現的結論.

環(huán)節(jié)4（教師拋出問題，在一般與特殊的辯證關聯中再度領悟）同學們大膽假設一下：如果我們將a、b這兩條平行線間的拐點往里推，同學們先想象一下，在推的過程中能發(fā)現什么狀態(tài)？這時原題目中的∠1，∠2，∠3發(fā)生了什么變化？

先行想象，若有阻力，可以通過幾何畫板具體演示，如圖2，幫助學生發(fā)現一個特殊狀態(tài)——點P落在線段MN上，進而發(fā)現∠1和∠3變成了同旁內角，而∠2（即∠MPN）變成了一個平角，此時∠1+∠2+∠3=360°的結論仍然成立.

設置此環(huán)節(jié)在于讓學生從特殊圖形與一般圖形的辯證關系上提高認識，進而把平行線之間帶有拐點的角的問題化歸為可用平行線性質的基本圖形問題，變“拐點”為“平直”，打通了兩平行線之間的節(jié)點，生疏問題熟悉化，以鞏固超經驗的成果.

環(huán)節(jié)5若點P不在兩平行線之間，∠1，∠2，∠3會有怎樣的關系？

教學預設

引導學生討論，不在兩平行線之間需要分成兩類：一是在其中一線上，二是在兩線之外.若點P在a上，顯然∠1成為平角，∠2與∠3構成a∥b下的同旁內角，即結論不變；若點P在其外呢？（遷移已經學過的方法構造平行線解決，結論發(fā)生了變化）.圖3

環(huán)節(jié)6若兩平行線之間有兩個拐點呢？如圖3，∠1，∠2，∠3，∠4之間的關系.

通過這一環(huán)節(jié)把通過拐點構造平行線的方法遷移過來，在問題的解決過程中加固認識.3從直到曲，無限逼近——漸溶超驗阻隔

案例3滾圓問題的教學——從正多邊形到圓.

同樣大小兩硬幣，一枚固定，另一枚繞其滾動一周，滾動硬幣自傳了2圈，這一結論讓大部分學生很難接受.縱然可通過動畫形象演示讓學生能直觀的觀察到，但也難以入心.筆者通過從直線型到曲線型的過渡幫助學生去認識，收到了良效.

教學設計

臺階一在一維直的線上動.

一枚硬幣在線段AB上從點A向點B滾動，硬幣滾動的路程=AB的長；

臺階二在二維封閉圖形上動.

（1）在任意三角形邊上滾動，轉了3個拐角，故硬幣滾動的路程是三角形的周長+3個拐角的長度和（恰為一枚硬幣的周長）；

（2）在任意四邊形邊上滾動，轉了4個拐角，故硬幣滾動的路程是四邊形的周長+4個拐角的長度和（恰為一枚硬幣的周長）；

（3）在任意五邊形邊上滾動，轉了5個拐角，故硬幣滾動的路程是四邊形的周長+5個拐角的長度和（恰為一枚硬幣的周長）；

（4）在任意六邊形邊上滾動，轉了6個拐角，故硬幣滾動的路程是四邊形的周長+6個拐角的長度和（恰為一枚硬幣的周長）；

（歷經四個圖形，學生已有所悟，在二維封閉圖形上動，打破了直線上滾動路程等于周長的先前認識，多出了一個硬幣的周長.下面趁熱打鐵，進一步穩(wěn)固學生的認識.）

臺階三

（1）若把前面的多邊形統一改為正多邊形，結論如何？

教學預設一致認為，結論不變；

（2）若正多邊形邊數在增加，比如變?yōu)檎?邊形了，結論如何？正八邊形呢？以此類推，正n邊形呢？

教學預設一致認為，結論仍不變；

（3）當n無限增大時，想象此時的正多邊形會怎樣？

教學預設如下：

生眾：象個圓了.

師：是的，劉徽的割圓求周、祖沖之的圓周率的計算無不是用了這種思想，正多邊形的邊數一多，就給人一種圓的感覺，既然如此，一枚硬幣繞一個和硬幣同樣半徑的圓一周，硬幣滾動的路程是多少？

生眾：圓周長+硬幣周長.

師：回到我們開始的問題，一枚硬幣固定，另一硬幣繞其一周滾動的路程為多少？

生眾：哦，兩圈.

教學說明

可見，從一維直線段到二維封閉圖形，硬幣運行路程是不同的，在線段上從一端滾動至另一端時正好等長線段，而繞二維封閉圖形時是圖形周長+硬幣周長；當正n邊形的n逐漸增大時，圖形與圓無限逼近，“直”躍變?yōu)椤扒?，縱然這種認識是超經驗的，但學生已經有了直觀的認可（邊數多了就像個圓），所以能心悅誠服地接受.這種從極限角度落實類比遷移的認識，是學生比較認同的，整個認識活動其實就是有限到無限的一種闡釋，對學生以后極限觀念的形成作了孕伏，一舉多得.

這樣一來，不可操作的“直變曲”，轉換為可以操作的檢驗方式（檢驗是否“多了一個硬幣的周長”，無限逼近中圓的形象漸行漸清）.超驗的“無限”困難被克服了.

寫在后面

以上三例，都體現了辯證觀點，兩個是有限到無限、一個是特殊與一般！在這種辯證關系中去認識超驗的知識，縱然學生沒有成形的辯證觀點，但這種對立統一的觀點它們是認同的，對于這類難以直接感知的數學結論，用好辯證的武器不失良策，在教學實踐中已經收到了優(yōu)質的效果，從具體可感的操作到沒法操作，靠的就是一種超乎尋常的想象，這種想象就是超驗的，筆者在教學實踐中正在為“超驗”認識付諸努力.

參考文獻

[1]蔡兆生.慢化教學的實施路徑[J].中小學數學（初中），2015（05）：1-4