程 柏

(新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第七師高級(jí)中學(xué)　新疆 伊犁　833200)

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巧用“幾何平均值”求解 “與距離平方成反比”的力做功

程 柏

(新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第七師高級(jí)中學(xué)新疆 伊犁833200)

摘 要：萬(wàn)有引力與庫(kù)侖力是高一、高二學(xué)生在學(xué)習(xí)物理時(shí)所遇到的兩種大小與距離平方成反比的力，求解這種變力做功，是深刻認(rèn)識(shí)這兩種場(chǎng)力，進(jìn)一步體會(huì)保守力場(chǎng)勢(shì)能概念的重要過(guò)程.然而此階段的高中生并未學(xué)習(xí)到微積分這一數(shù)學(xué)工具，如果只是簡(jiǎn)單地告知引力勢(shì)能或兩個(gè)點(diǎn)電荷間的電勢(shì)能的表達(dá)式，這對(duì)于學(xué)有余力的優(yōu)等生在概念建構(gòu)上是不利的.為避免教師“想講清楚，但講不清楚”的尷尬境地，可采用初等數(shù)學(xué)的“幾何平均值”法來(lái)求解這種變力的功.

關(guān)鍵詞：幾何平均值萬(wàn)有引力庫(kù)侖力功

1萬(wàn)有引力的功與引力勢(shì)能

如圖1所示，以地心為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿地球半徑方向建立x軸.

圖1

設(shè)地球質(zhì)量為M，當(dāng)質(zhì)量為m的物體從距離地心r2處沿x軸移到距離地心r1處過(guò)程中，引力做的功可以這樣計(jì)算：把r1到r2的距離分成無(wú)限多個(gè)小段，取其中第n小段，從與地心距離rn+1到rn，Δrn=rn+1-rn為一小量，在該區(qū)間內(nèi)引力近似為一常量，有

(Δrn)2為高階小量，微乎其微，忽略不計(jì)，上式簡(jiǎn)化為

具有承上啟下的意義，正是可作為第n小段的幾何平均恒力來(lái)求此段“平方反比”變力的功.

這個(gè)過(guò)程萬(wàn)有引力的功為

則物體從r2處移到r1處過(guò)程中，引力的總功為

-ΔEp=ΔEk=W

一般地，常把物體在無(wú)窮遠(yuǎn)處(r2→)時(shí)的勢(shì)能看作零勢(shì)能點(diǎn)(Ep2=0)，則對(duì)于上式可知物體位于距地球球心O點(diǎn)為r(r=r1)處時(shí)的引力勢(shì)能為

為物體和地球系統(tǒng)共同具有.

2庫(kù)侖電場(chǎng)力的功與兩個(gè)點(diǎn)電荷系的電勢(shì)能

由于所有帶電體的電場(chǎng)均可以等效視為一系列點(diǎn)電荷電場(chǎng)的疊加，故研究點(diǎn)電荷庫(kù)侖電場(chǎng)力做功就具有很重要的意義.

如圖2所示，在O點(diǎn)固定一個(gè)電荷量為+Q的點(diǎn)電荷，另一個(gè)帶電量為+q的點(diǎn)電荷位于距離O為ra的a點(diǎn)，沿任意路徑運(yùn)動(dòng)到距離O為rb的b點(diǎn)，如何計(jì)算庫(kù)侖電場(chǎng)力的功呢？

圖2

將時(shí)間(或空間)分成無(wú)數(shù)小段, 便可“以恒代變”“以直代曲”， 然后累積取舍， 使之向真實(shí)情況無(wú)限趨近.這是物理學(xué)中常用的一種處理類似于上述復(fù)雜問(wèn)題行之有效的思維方法.基于這種思維方法,我們將運(yùn)動(dòng)路徑分割成無(wú)數(shù)個(gè)有限小段.每一小段即可看成是恒力作用下的運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而求這一小段的功.

取任意小段MN，設(shè)其位移為Δli，點(diǎn)電荷在M點(diǎn)所受的電場(chǎng)力為Fi，電場(chǎng)力在這一小段位移的功為

ΔWi=FiΔlicosθi

式中θi為位移Δli與電場(chǎng)力Fi的夾角.

以O(shè)為圓心，ON為半徑作一圓弧，交過(guò)M的電場(chǎng)線于N′點(diǎn)，當(dāng)MN′很小時(shí)，則可認(rèn)為MN′=Δlicosθi.再以O(shè)為圓心，分別作OM，ON為半徑的圓弧，使它們和Ob電場(chǎng)線相交，可以在Ob線上得到一小線段Δri=Δr=ri+1-ri，其大小和MN′相等，在這小段Δri上做庫(kù)侖力的幾何平均值處理，有

根據(jù)點(diǎn)電荷電場(chǎng)的對(duì)稱性可知，試探電荷從M移動(dòng)到N過(guò)程中電場(chǎng)力所做的功與試探電荷沿電場(chǎng)線Ob移動(dòng)Δri所做的功相等.

以此類推，可把點(diǎn)電荷+q沿任意路徑每一小段電場(chǎng)力的功都等同到同一電場(chǎng)線Ob上各相應(yīng)小段電場(chǎng)力的功，這樣，電荷沿任意路徑從a移動(dòng)到b時(shí)，都等同于從a′移動(dòng)到b所做的功.可表示為

Epa-Epb=-ΔEp=

選取無(wú)窮遠(yuǎn)處(rb→)為零電勢(shì)能點(diǎn)，則電荷q距離場(chǎng)源電荷Q為r處的a點(diǎn)(ra=r)電勢(shì)能即

3教學(xué)啟示

應(yīng)當(dāng)重視“微元法”的顯化，高中生即將進(jìn)入大學(xué)深造，抽象思維開(kāi)始快速發(fā)展，面對(duì)難以解決的問(wèn)題需要新的思維方法，這就要求教師抓住機(jī)會(huì)向?qū)W生顯化物理本質(zhì).繼探究重力勢(shì)能、彈簧變力功下的彈性勢(shì)能后，對(duì)于學(xué)優(yōu)生來(lái)說(shuō)，掌握“平方反比”變力的功，探究引力勢(shì)能和庫(kù)侖場(chǎng)的電勢(shì)能，對(duì)于深刻理解保守力場(chǎng)勢(shì)能的概念很有好處，對(duì)促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力方面大有裨益！

(收稿日期：2015-11-17)