吳 杰

*教育部高等學(xué)校大學(xué)物理課程教指委教學(xué)研究立項(xiàng)項(xiàng)目,項(xiàng)目編號(hào)： DWJZW201533zn

?

極坐標(biāo)系在大學(xué)物理中的應(yīng)用探析*

吳 杰

*教育部高等學(xué)校大學(xué)物理課程教指委教學(xué)研究立項(xiàng)項(xiàng)目,項(xiàng)目編號(hào)：DWJZW201533zn

摘 要：舉例介紹了極坐標(biāo)系在力學(xué)和電磁學(xué)中的應(yīng)用.指出在求解大學(xué)物理問(wèn)題中,通過(guò)選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以?xún)?yōu)化物理模型,簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程,從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性.

關(guān)鍵詞：極坐標(biāo)系力學(xué) 電磁學(xué)畢奧-薩伐爾定律

大學(xué)物理中引入了矢量和微積分的知識(shí)之后,對(duì)各個(gè)物理量的定義相對(duì)于中學(xué)物理更具有普遍性,各種定理、定律的適用范圍更廣泛.但是要對(duì)一個(gè)物理量進(jìn)行具體的描述,仍需要確定其大小和方向,這就需要坐標(biāo)系來(lái)給出標(biāo)準(zhǔn).最常用的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系及球坐標(biāo)系等.在現(xiàn)行的大學(xué)物理教材中,對(duì)于一維直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)或者拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)通常采用的是直角坐標(biāo)系,一般曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中用的是自然坐標(biāo)系[1,2].實(shí)際上,在極坐標(biāo)系中,由于點(diǎn)的極坐標(biāo)有著十分明顯的物理意義,在解決問(wèn)題過(guò)程中,合理應(yīng)用其物理意義,不僅可以比較容易地找出研究對(duì)象,簡(jiǎn)化解題步驟,提高解決問(wèn)題的能力和速度,更重要的是可以克服學(xué)生學(xué)習(xí)物理的畏懼心理,增強(qiáng)自信心,為后續(xù)課程的開(kāi)設(shè)打下基礎(chǔ).

1極坐標(biāo)系及運(yùn)動(dòng)學(xué)表示

圖1　極坐標(biāo)系

這兩個(gè)單位矢量和直角坐標(biāo)系中單位矢量之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系為

(1)

兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得

(2)

注意：牢記式(2)這兩個(gè)微分關(guān)系能解決大學(xué)物理中的很多問(wèn)題.

質(zhì)點(diǎn)位移的表示為

dr=dρeρ+ρdφeφ

(3)

質(zhì)點(diǎn)速度的表示

上式就是加速度a在極坐標(biāo)系中(用eρ,eφ展開(kāi))的表示,其中加速度的徑向分量aρ(徑向加速度分量)和橫向分量aφ(橫向加速度分量)分別為

在圓周運(yùn)動(dòng)中由于徑向坐標(biāo)等于常數(shù),所以

2應(yīng)用舉例

2.1極坐標(biāo)在力學(xué)中的應(yīng)用

圖2　引力做功

【例1】衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)引力做功問(wèn)題.假設(shè)地球質(zhì)量M,衛(wèi)星質(zhì)量為m,地球固定不動(dòng),衛(wèi)星在地球引力作用下,從A點(diǎn)沿任意路徑運(yùn)動(dòng)到了B點(diǎn),討論整個(gè)過(guò)程中地球引力對(duì)衛(wèi)星所做功.

解析：以力心M為極點(diǎn), (ρ,φ)為極坐標(biāo), 建立極坐標(biāo)系.

由式(3)可得出

在現(xiàn)行的大學(xué)物理教材中,對(duì)于萬(wàn)有引力及庫(kù)侖力做功,通常采用近似的方法,而實(shí)際畫(huà)圖都不可能真實(shí)描繪出真正的運(yùn)動(dòng),所以學(xué)生在判斷時(shí)很難有兩個(gè)底角都是直角的三角形這個(gè)概念.雖然保守力做功特點(diǎn)記住了,但真正的原因還是沒(méi)有明白.引入極坐標(biāo)系之后,只需按照功的概念,代入公式正常求解便能得出簡(jiǎn)化的結(jié)果.

【例2】質(zhì)量為m,長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒,可繞垂直于棒的一端的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng),如圖3所示,將此棒的自由端放在水平位置,然后放開(kāi)任其落下,求棒轉(zhuǎn)過(guò)φ0角時(shí)水平軸的支持力N.

圖3　例2用圖

解析：在講到剛體力學(xué)部分,經(jīng)常涉及到子彈與桿的碰撞問(wèn)題,由于思維定勢(shì),學(xué)生常常利用動(dòng)量守恒來(lái)解決問(wèn)題,因?yàn)榍蠼獾膹?fù)雜性,教師也很少去分析受力情況,只是定性的說(shuō)明而沒(méi)有定量的求解,會(huì)使學(xué)生理解不深,從而持有懷疑態(tài)度.如果用極坐標(biāo)系與簡(jiǎn)單的剛體內(nèi)容,此問(wèn)題便會(huì)迎刃而解.

如圖所示取O點(diǎn)為極點(diǎn),水平為極軸方向,棒的方向?yàn)閺较?由動(dòng)能定理可知,細(xì)棒轉(zhuǎn)過(guò)φ角時(shí)的角速度、角加速度分別為

棒的動(dòng)量為

(4)

對(duì)該時(shí)刻應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理,并利用式(2)可得

(5)

所以

(6)

若另取水平方向?yàn)閤軸,垂直向上為y軸的直角坐標(biāo)系xOy,則有

(7)

將式(7)代入式(6)得

(8)

大小變?yōu)樵瓉?lái)的一半,當(dāng)棒擺至最低端時(shí)

在力學(xué)中的很多實(shí)際問(wèn)題中如果采用極坐標(biāo)系, 并且利用徑向速度與橫向速度的概念, 不僅可以簡(jiǎn)化物理模型,方便地解決此問(wèn)題, 而且物理圖像特別清晰.

2.2極坐標(biāo)在電磁學(xué)中的應(yīng)用

圖4　極坐標(biāo)系下的畢奧- 薩伐爾定律

利用極坐標(biāo)可以簡(jiǎn)化平面電流的畢奧-薩伐爾定律.如圖4所示，在導(dǎo)線(xiàn)上取一電流元,并以場(chǎng)點(diǎn)為極點(diǎn)O,建立平面極坐標(biāo)系.ρ為極點(diǎn)到電流元的矢徑,水平向右為極軸,φ為極角,則有

在這里由式(3)可得

在極坐標(biāo)系中,ρ是極角的函數(shù),即ρ=ρ(φ), eφ與eρ屬于正交關(guān)系,可以由右手螺旋關(guān)系判斷B的方向,如果所有電流元電流方向一致,B的方向?yàn)榇怪庇陔娏髋c場(chǎng)點(diǎn)組成的平面,并滿(mǎn)足右手螺旋關(guān)系. 由此可得出整個(gè)平面電流在場(chǎng)點(diǎn)激發(fā)的磁場(chǎng)大小為

(9)

此式就是畢奧-薩伐爾定律在極坐標(biāo)系中的表達(dá)式,原則上可以根據(jù)該式計(jì)算任意一個(gè)平面載流線(xiàn)圈在某點(diǎn)激發(fā)的磁場(chǎng)[4,5].

【例3】在真空中有一通有電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn),求此長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)附近任意一點(diǎn)P處的磁感強(qiáng)度.已知任意一點(diǎn)P到長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)的垂直距離為r0.

圖5　載流直導(dǎo)線(xiàn)的磁場(chǎng)

利用極坐標(biāo)系下的畢奧-薩伐爾定律還可以求物線(xiàn)形、橢圓形狀的載流導(dǎo)線(xiàn)焦點(diǎn)處的磁場(chǎng),和直角坐標(biāo)系相比,簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程,并可以擴(kuò)展到載流二次曲線(xiàn)的磁場(chǎng)分布[6～9].由于篇幅所限,這里不再贅述.

3結(jié)論

通過(guò)以上關(guān)于極坐標(biāo)系在力學(xué)、電磁學(xué)中的應(yīng)用討論可以看出：對(duì)于同一個(gè)物理問(wèn)題來(lái)說(shuō),參照系的選擇原則上是任意的,但參照系的不同對(duì)問(wèn)題研究的難易程度有很大的影響,具體表現(xiàn)為模型建立的簡(jiǎn)易、計(jì)算上的冗簡(jiǎn).很多學(xué)生因?yàn)閼峙聰?shù)學(xué)而放棄物理,所以?xún)?yōu)化模型、簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程是大學(xué)物理教學(xué)中應(yīng)該重視的一個(gè)方面. 直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)實(shí)質(zhì)是用垂直的分向量來(lái)表示點(diǎn)的位置;極坐標(biāo)系中的極徑與極角實(shí)質(zhì)是用長(zhǎng)度和角度來(lái)表示點(diǎn)的方位,涉及距離或角的問(wèn)題簡(jiǎn)捷明快.在研究具體問(wèn)題時(shí),應(yīng)遵循簡(jiǎn)單、方便、可行的原則,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,優(yōu)化解題路徑,提高學(xué)生的解題能力,從而培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)物理的興趣,增加自信心！

參 考 文 獻(xiàn)

1馬文蔚. 物理學(xué)教程.北京：高等教育出版社, 2006

2毛駿健. 大學(xué)物理學(xué). 北京：高等教育出版社, 2006

3周衍柏. 理論力學(xué)教程. 北京：高等教育出版社, 1986

4王歷. B-S定律的極坐標(biāo)形成及其應(yīng)用. 長(zhǎng)江工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào), 1992,4(4):28～31

5殷岳才, 陸蓮芳. 畢奧-薩伐爾定律在極坐標(biāo)系中的表達(dá)式及其應(yīng)用. 沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 1996,14(2):21～24

6王琪. 二維光滑曲線(xiàn)約束力的一般計(jì)算方法. 大學(xué)物理, 1993,12(7) :21～23

7袁泉, 趙力成, 李久會(huì). 橢圓電流焦點(diǎn)處磁場(chǎng)計(jì)算. 渤海大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2006, 27(2):149～150

8林樂(lè)鑫, 肖化, 周少娜,等. 拋物線(xiàn)電流對(duì)稱(chēng)軸任意點(diǎn)磁場(chǎng)的理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證. 大學(xué)物理, 2014, 33(4):11～14

9盧芳, 成泰民, 王金剛. 圓錐曲線(xiàn)電流在焦點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度. 物理與工程, 2007, 17(2):36～38

Analysis on Application of the Polar Coordinate System in University Physics

Wu Jie

(The School of Physics and Electronic Engineering, Zhengzhou University of Light Industry, Zhengzhou，Henan450002)

Abstract:This paper illustrates the application of polar coordinate system in mechanics and electromagnetism. It was pointed out that the physical model can be optimized and the calculation process can be simplified by choosing the appropriate coordinate system,thus The interesting and enthusiasm of students in physics are improved.

Key words:polar coordinate system; mechanics; electromagnetism; Biot-Savart Law

(收稿日期：2015-11-26)

*作者簡(jiǎn)介：吳杰(1977-),女,碩士,講師,研究方向?yàn)榱Ｗ优c原子核物理.
(鄭州輕工業(yè)學(xué)院物理與電子工程學(xué)院河南 鄭州450002)