何志巍　李 純

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系　北京　100083)

崔文宏

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)生物學(xué)院　北京　100193)

金仲輝

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系　北京　100083)

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均勻帶電球殼球面電場強(qiáng)度計(jì)算方法的討論

何志巍李 純

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系北京100083)

崔文宏

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)生物學(xué)院北京100193)

金仲輝

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系北京100083)

摘 要：綜述近20年來大學(xué)物理教學(xué)中，關(guān)于均勻帶電球殼表面電場強(qiáng)度的討論，概括出3種常見的解法，探討了不同解法所得不同結(jié)果的本質(zhì)，確定均勻帶電球殼表面電場強(qiáng)度的最佳算法.

關(guān)鍵詞：均勻帶電球殼電場強(qiáng)度積分方法

對于一個(gè)均勻帶電的非導(dǎo)體球殼，根據(jù)高斯定理很容易得出球殼內(nèi)外的電場強(qiáng)度，但是球殼表面電場強(qiáng)度分布是什么樣的呢？顯然，知不知道這一點(diǎn)的場強(qiáng)對于很多實(shí)際工作并不會有太大影響，但基于物理知識體系的完整性，我們有必要探討一下這類問題，因?yàn)楹芏嗬碚摱际窃从谀承┢纥c(diǎn)、臨界問題的解決而得以發(fā)現(xiàn)或發(fā)展的.

1方法與結(jié)論

1.1方法一

文獻(xiàn)[1～4]都提到了這樣一種最為普遍的解法，如圖1所示,P為球面上任意一點(diǎn)，以球心O為極點(diǎn)，射線OP為極軸，在過球心O和點(diǎn)P的空間任意一個(gè)平面里建立極坐標(biāo)系，其中點(diǎn)A(R,θ)為截面圓上除點(diǎn)P以外的任意一點(diǎn)，A點(diǎn)對應(yīng)的球面圓弧帶電量記為dq, 易知圓弧中心點(diǎn)M與P點(diǎn)距離為R(1-cosθ).

圖1　點(diǎn)電場中P點(diǎn)的電場強(qiáng)度

已知一個(gè)帶電量q，半徑r的均勻帶電圓環(huán)，其在垂直于環(huán)面的軸線上距圓環(huán)中心為x處的點(diǎn)P電場強(qiáng)度為如圖2所示，則

(1)

那么，圖1中圓弧在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度

(2)

(3)

所以，P點(diǎn)電場強(qiáng)度

(4)

圖2　環(huán)形電場中P點(diǎn)的電場強(qiáng)度

1.2方法二

文獻(xiàn)[5]通過功能原理求解該問題也得到了同樣的結(jié)論：

圖1中，設(shè)想把帶電球面從半徑為R緩慢地收縮到半徑為R-dR這一狀態(tài), 則克服電場力做的功為dW=qEdR,E為球面上的電場強(qiáng)度.球面半徑減小dR后，距球心大于R處的電場強(qiáng)度及場的能量不發(fā)生變化，則該過程中克服電場力做的功轉(zhuǎn)變?yōu)槭湛s區(qū)域的電場能，即有(ER為收縮之后，距離球心為R處的電場強(qiáng)度)

(5)

由高斯定理可知

(6)

所以

(7)

1.3方法三

除了前兩種方法外，文獻(xiàn)[2]還提及另外一種解決問題的思路.圖1中由高斯定理得出

(8)

文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[6]還先后提到一種較為真實(shí)的球?qū)幽Ｐ?，得出電場?qiáng)度在球殼表面發(fā)生突變這一結(jié)論.如圖3所示,橫軸表示A點(diǎn)距離球心O距離x, 縱軸表示相應(yīng)空間電場強(qiáng)度大小E，E在x=R處發(fā)生躍變.

圖3　球殼表面電場強(qiáng)度與球心距離的關(guān)系

2分析與討論

首先值得關(guān)注的是，文獻(xiàn)[2]提出另外一種合乎情理的解法，所得結(jié)果與其他兩種方法不同.筆者開始也是用這種類似的極限，求解出了相同的結(jié)果.那么，到底哪一種結(jié)論是對的呢？

文獻(xiàn)[6]認(rèn)為討論球殼表面電場強(qiáng)度沒有意義，原因在于球殼模型是假想的而非現(xiàn)實(shí)存在的.一個(gè)均勻帶電球?qū)?厚度為r)只有當(dāng)其電場力作用點(diǎn)離它很遠(yuǎn)，即d?r時(shí)(圖3)，球?qū)雍穸炔趴梢院雎圆挥?jì)，此時(shí)變?yōu)榍驓つＰ?而當(dāng)A無限靠近球?qū)颖砻鏁r(shí)，球?qū)訉⒉荒芸醋銮驓?此時(shí)球?qū)觾?nèi)外表面及內(nèi)部電場強(qiáng)度分布均可以通過高斯定理求出，球?qū)与妶鰪?qiáng)度在整個(gè)空間連續(xù)分布(圖4,5).因而實(shí)踐中根本不存在所謂的球殼表面電場強(qiáng)度分布的問題.文獻(xiàn)[2]也得出了同樣的結(jié)論.

圖4　均勻帶電球殼無限遠(yuǎn)處的電場強(qiáng)度

圖5　球?qū)釉谡麄€(gè)空間的電場強(qiáng)度的分布

方法一中，當(dāng)帶電圓環(huán)無限靠近P點(diǎn)以致到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，該圓環(huán)在P點(diǎn)電場強(qiáng)度dE將不再是基于庫侖定律和疊加原理推出來的

(9)

圖6　P點(diǎn)所在處

事實(shí)上，求均勻帶電球殼q外面的電場強(qiáng)度時(shí)，將均勻帶電球殼看做一個(gè)位于球心，帶電量為q的點(diǎn)電荷，所得電場強(qiáng)度結(jié)果完全相同.這說明在一定程度上，均勻帶電球殼模型可以看做點(diǎn)電荷模型.用空間廣闊的尺度去看，求球殼表面電場強(qiáng)度，無疑和求點(diǎn)電荷所處位置電場強(qiáng)度相同.

當(dāng)然以上從數(shù)學(xué)角度將點(diǎn)電荷與球殼聯(lián)系起來可能會覺得有點(diǎn)牽強(qiáng)，那么不妨回歸球殼模型本身.將球殼看成無數(shù)個(gè)點(diǎn)電荷的集合，此時(shí)求球殼表面電場強(qiáng)度與求點(diǎn)電荷在空間所處位置電場強(qiáng)度將沒有什么本質(zhì)的區(qū)別.

莫非該問題真的無解？

方法二中文獻(xiàn)[5]通過功能原理，繞過庫侖定律成功地求解了該問題.它的思路一定程度上是經(jīng)得起推敲的.思路中所提及的幾個(gè)物理量：電場強(qiáng)度E, 電場力做功W, 都不是在庫侖定律基礎(chǔ)上提出來的概念，只是通過庫侖定律，能進(jìn)一步揭示這些物理量之間的關(guān)系.再者，在電場能量表達(dá)式推導(dǎo)的過程中，每一個(gè)物理量定義及規(guī)律的基礎(chǔ)也都與庫侖定律沒有必然的聯(lián)系[9].以嚴(yán)格的物理定義和公認(rèn)的數(shù)學(xué)邏輯為基礎(chǔ)，該思路的完備性便體現(xiàn)于此！從而也可以得出方法三中的電場強(qiáng)度空間分布在球殼模型中是不連續(xù)的.

那么進(jìn)一步講，均勻帶電球?qū)釉诳臻g的電場強(qiáng)度是如何分布的呢？是連續(xù)還是間斷？其實(shí)結(jié)果是不得而知的.球?qū)觾?nèi)外電場強(qiáng)度的計(jì)算固然沒有問題，但球?qū)觾?nèi)部與球?qū)觾?nèi)外表面電場強(qiáng)度分布的計(jì)算缺乏數(shù)學(xué)基礎(chǔ).我們知道球?qū)与姾审w密度值，但一個(gè)曲面是沒有體積的，我們無法得出球?qū)觾?nèi)外表面及球?qū)觾?nèi)部高斯面上的電荷量.結(jié)果自然無法應(yīng)用文獻(xiàn)[5]推出的結(jié)論.這是數(shù)學(xué)幾何基礎(chǔ)上的缺陷或局限.假設(shè)我們定義一個(gè)點(diǎn)是有長度，有面積的；一個(gè)面是有體積的，那么以上問題表面上看就可以得到解決.但是又會遇到其他問題，畢竟我們的數(shù)學(xué)幾何基礎(chǔ)變了，很多規(guī)律將換上新的面孔.

由球殼表面電場強(qiáng)度問題延伸到無限長均勻帶電圓柱表面電場強(qiáng)度問題，其解法頗為類似，同樣可以推出利用功能原理求解是比較科學(xué)合理的.使用功能原理時(shí)不一定要假設(shè)圓柱面收縮，假設(shè)圓柱面膨脹也是可行的，在此不多贅述.

3結(jié)論

參 考 文 獻(xiàn)

1施傳柱. 面電荷存在處電場強(qiáng)度的計(jì)算. 曲靖師專學(xué)報(bào)，1993,2(12)：42～44

2史守華. 電荷面分布模型和電場強(qiáng)度躍變的討論. 安徽大學(xué)學(xué)報(bào)，2001,4(25)：62～66

3彭海鷹. 均勻帶電球面的電場強(qiáng)度分布再討論. 物理與工程，2003,1(13)：60～61

4白俊彪. 均勻帶電球面上電場強(qiáng)度的計(jì)算. 思茅師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2005,3(21):79～80

5金仲輝. 均勻帶電球面上的電場強(qiáng)度如何計(jì)算. 現(xiàn)代物理知識，2002(4):42

6李配軍. 均勻帶電球面的電場場強(qiáng)分布再討論. 物理與工程，2003,6(13)：49～50

7歐幾里得. 幾何原本. 燕曉東譯.北京：人民日報(bào)出版社，2005.26～27

8同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)(第5版)(上冊). 北京：高等教育出版社，2001.59～62

9金仲輝，柴麗娜. 大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)(第3版). 北京：科學(xué)出版社，2010.128～157

Discussion on the Calculation Method of the Electric Field Intensity on Surface of Evenly-charged Spherical Shell

He ZhiweiLi Chun

(Department of Applied Physics, College of Science, China Agricultural University, Beijing100083)

Cui Wenhong

(College of Biology, China Agricultural University, Beijing100193)

Jin Zhonghui

(Department of Applied Physics, College of Science, China Agricultural University, Beijing100083)

Abstract：Review some discussion on electric field on the surface of evenly-charged spherical shell within 20 years, summarize and analyze three common solutions to ensure correct answer to this problem.

Key words：evenly-charged spherical shell；electric field; integration method

(收稿日期：2015-11-10)