李秀芳（北京市第十六中學(xué)）

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利用“旋轉(zhuǎn)”解決“線段數(shù)量關(guān)系”的問題

李秀芳
（北京市第十六中學(xué)）

“旋轉(zhuǎn)”是屬于“圖形與變換”中的一種變換，是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中“空間與圖形”領(lǐng)域的一個(gè)重要內(nèi)容，在教材中占有重要的地位?！皥D形的旋轉(zhuǎn)”是課改后新增的內(nèi)容，也是近幾年中考的熱點(diǎn)題型。運(yùn)用“旋轉(zhuǎn)”的全等變換，可以證明線段與角相等或和、差、倍、分的數(shù)量關(guān)系。在具體問題中，學(xué)生往往想不到用“旋轉(zhuǎn)”，缺乏利用“旋轉(zhuǎn)”解決問題的意識(shí)，也不知道什么時(shí)候該用“旋轉(zhuǎn)”，怎么“旋轉(zhuǎn)”。所以，我設(shè)計(jì)了這節(jié)利用“旋轉(zhuǎn)”解決線段數(shù)量關(guān)系問題的專題課。在本節(jié)教學(xué)中，以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，以小組合作學(xué)習(xí)為載體先自學(xué)討論，再師友展示講解，最后探究出解題方法，激發(fā)學(xué)生解決問題的欲望，也增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的信心和勇氣。

教學(xué)片段分析：

問題（1）方法引領(lǐng)

圖1

如圖1所示，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，連接AP、BP、CP，∠APB=150°，求證：PC2=AP2+PB2。

小明思考后發(fā)現(xiàn)，可以將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，連接PP′，可以利用“旋轉(zhuǎn)”和全等的知識(shí)得到兩個(gè)特殊的三角形，從而將問題解決。

【自學(xué)指導(dǎo)】

小組合作學(xué)習(xí)討論下面的思考問題，完成證明過程。

1.小明為什么會(huì)想到“旋轉(zhuǎn)”三角形？根據(jù)哪些已知條件可以用旋轉(zhuǎn)？旋轉(zhuǎn)角是多少？

因?yàn)橛泄捕它c(diǎn)的相等線段AB=AC，旋轉(zhuǎn)后AB會(huì)與AC重合。旋轉(zhuǎn)角為60°。

2.為什么要旋轉(zhuǎn)？（旋轉(zhuǎn)的作用是什么）

因?yàn)樾D(zhuǎn)前后圖形全等，所以通過旋轉(zhuǎn)可以轉(zhuǎn)移相等的線段、相等的角，可以將分散的線段轉(zhuǎn)移在同一個(gè)三角形中。

3.為什么旋轉(zhuǎn)60°？旋轉(zhuǎn)60°后得到什么三角形？

因?yàn)樾D(zhuǎn)60°后，AB和AC重合，同時(shí)∠PAP′=60°，會(huì)出現(xiàn)等邊三角形，從而轉(zhuǎn)移相等線段。

【解題思路點(diǎn)撥】

由結(jié)論入手

【方法點(diǎn)撥】

1.構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形的前提條件是什么？

有共端點(diǎn)的等線段。

2.遇到有60°的等線段，如何旋轉(zhuǎn)？

若遇60°，可旋60°，構(gòu)造新等邊三角形。

3.旋轉(zhuǎn)的作用是什么？

轉(zhuǎn)移線段、轉(zhuǎn)移角。可以將分散的線段轉(zhuǎn)移在同一個(gè)三角形中。

4.通過旋轉(zhuǎn)圖形，可以解決什么問題？

解決有關(guān)“線段之間數(shù)量關(guān)系”的問題。

問題（2）實(shí)踐探索

如圖2所示，A、B、C、D、分別是圓O上的點(diǎn)，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB中點(diǎn)，求證：（AD+BD）2=2CD2

圖2

【自學(xué)指導(dǎo)】

小組合作學(xué)習(xí)討論下面的思考問題：

1.看到結(jié)論（AD+BD）2=2CD2，你想到了什么知識(shí)？

勾股定理中直角三角形三邊關(guān)系。

2.你認(rèn)為利用什么方法可以將AD、BD、CD轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形當(dāng)中？

利用旋轉(zhuǎn)三角形，轉(zhuǎn)移線段轉(zhuǎn)移角，將分散的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形當(dāng)中。

3.請畫出圖形，分析解題思路。

【師友展示要求】

學(xué)友：講解解題思路。學(xué)師：解答思考問題。

思考：此題BD、CD、AD還有怎樣的等量關(guān)系？為什么？

【方法點(diǎn)撥】

遇到有90°的等線段，如何旋轉(zhuǎn)？

若遇90°，可旋90°，構(gòu)造新直角等腰三角形。

問題（3）拓展提升

已知：如圖3所示，A、B、C、D分別是圓O上的點(diǎn)，AD是∠CDB的平分線，且∠CAB=α（α為鈍角），請問BD、DC與AD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明。

自學(xué)指導(dǎo)：參考前兩問的學(xué)習(xí)，思考解題思路并畫出圖形。小組合作討論解題方法。

圖3

圖4

猜想1：如圖4所示，BD+DC<2AD。

【方法點(diǎn)撥】

遇到一般的等腰三角形，如何旋轉(zhuǎn)？

若遇等腰，可旋頂角，構(gòu)造新的等腰三角形。

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，目的是使學(xué)生能在具體問題中發(fā)現(xiàn)圖形“旋轉(zhuǎn)”的條件，學(xué)會(huì)“旋轉(zhuǎn)”的方法，理解“旋轉(zhuǎn)”的作用以及“旋轉(zhuǎn)”可以解決的問題，培養(yǎng)學(xué)生利用“旋轉(zhuǎn)”解決問題的意識(shí)。

·編輯韓曉