宋 康, 陳瀟凱, 林 逸

(1.北京理工大學(xué)機械與車輛學(xué)院,北京 100081； 2.北京汽車股份有限公司汽車工程研究院,北京 101300)

2016116

動力總成液壓懸置系統(tǒng)固有屬性的拉普拉斯域分析方法*

宋 康1, 陳瀟凱1, 林 逸2

(1.北京理工大學(xué)機械與車輛學(xué)院,北京 100081； 2.北京汽車股份有限公司汽車工程研究院,北京 101300)

針對液壓懸置隨激振頻率呈非線性變化的動剛度特性，采用了一種拉普拉斯域分析方法計算動力總成液壓懸置系統(tǒng)的固有屬性。首先，建立液壓懸置的集中參數(shù)線性流體模型，分析懸置在低頻段和高頻段的穩(wěn)態(tài)動剛度特性，而得到懸置的寬頻動剛度表達式。接著建立懸置系統(tǒng)在曲軸坐標系下的振動模型，在拉普拉斯域內(nèi)直接應(yīng)用液壓懸置的動剛度表達式推導(dǎo)系統(tǒng)固有屬性的分析方法。最后采用這一新方法計算了某液壓懸置系統(tǒng)的固有屬性。結(jié)果顯示，液壓懸置系統(tǒng)具有復(fù)特征值和復(fù)模態(tài)向量。復(fù)特征值同時包含系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比信息；根據(jù)阻尼比、復(fù)模態(tài)向量的幅值等信息可對模態(tài)類型作出判斷；結(jié)合復(fù)模態(tài)向量的相位信息可確定模態(tài)的具體形狀。

動力總成懸置系統(tǒng)；液壓懸置；動剛度；固有屬性；拉普拉斯域

前言

在動力總成懸置系統(tǒng)的設(shè)計中，理想的懸置元件應(yīng)該具有低頻大剛度、大阻尼，高頻小剛度、小阻尼的特性。與彈性體懸置相比，液壓懸置所具有的動剛度特性更加符合該設(shè)計要求，因此，液壓懸置在懸置系統(tǒng)的設(shè)計中得到了越來越廣泛的應(yīng)用。

鑒于液壓懸置在特性上的優(yōu)勢，國內(nèi)外對液壓懸置開展了廣泛研究，包括對懸置建模、性能分析和對采用液壓懸置的機械系統(tǒng)性能的研究等。文獻[1]中提出了線性時不變集中參數(shù)流體-機械模型，該模型在低頻段與試驗數(shù)據(jù)擬合良好，前人提出的多數(shù)模型均可看作該模型在特定條件下的簡化版本。文獻[2]中提出了基于有限測量數(shù)據(jù)對液壓懸置的性能參數(shù)進行預(yù)測的方法，分別給出了懸置在低頻段和高頻段的等效機械模型，并在此基礎(chǔ)上提出了液壓懸置的寬頻模型。文獻[3]中建立了慣性通道-解耦盤式液壓懸置的力學(xué)模型和數(shù)學(xué)模型，分析了模型各參數(shù)對懸置動特性的影響。文獻[4]和文獻[5]中建立了液壓懸置的線性和非線性集中參數(shù)模型并提出了模型參數(shù)的識別方法。雖然集中參數(shù)模型已能對液壓懸置的頻變剛度特性進行較為精確的預(yù)測，但由于該模型具有不同的驅(qū)動點剛度和被動點剛度，因此在機械系統(tǒng)的建模中須要對二者加以區(qū)別[2,6-7]。文獻[8]中將液壓懸置動剛度的測量值引入車輛或通用機械系統(tǒng)的建模，并根據(jù)系統(tǒng)阻尼的不同處理方式總結(jié)了特征值問題的多種計算方法。文獻[9]和文獻[10]中在動力總成懸置系統(tǒng)的設(shè)計中考慮了液壓懸置內(nèi)部流體的慣性，增加了振動系統(tǒng)的自由度，建立了擴展系統(tǒng)的時域運動方程，擴展后的模型能同時對動力總成和液壓懸置的固有屬性進行預(yù)測。對于動力總成液壓懸置系統(tǒng)，時域方法雖然能夠?qū)ο到y(tǒng)屬性進行全面預(yù)測，但運動方程的建立過程較為繁瑣，并且擴展模型的物理意義不明確；尤其是當擴展系統(tǒng)的維數(shù)較大時，計算效率和精度均會下降。

本文中首先建立了液壓懸置的集中參數(shù)流體模型，得到懸置動剛度的解析表達式；然后建立了動力總成懸置系統(tǒng)的振動模型，推導(dǎo)得出了系統(tǒng)在拉普拉斯域內(nèi)的固有屬性分析方法；最后以某液壓懸置系統(tǒng)為例，采用新方法計算得到系統(tǒng)的固有屬性。

1 液壓懸置的集中參數(shù)線性模型

以慣性通道-解耦盤式液壓懸置為例，該類型懸置可以簡化為如圖1所示的集中參數(shù)流體模型。液壓懸置內(nèi)部分為2個液室：上液室和下液室。上液室的壓強為p1，體積柔度為C1；下液室的壓強為p2，體積柔度為C2。上、下液室之間通過慣性通道和解耦盤通道相連通。慣性通道的液體慣量為Ii，阻力為Ri，流量為qi；解耦盤通道的液體慣量為Id，阻力為Rd，流量為qd。橡膠主簧的剛度為kr，阻尼為cr，液室的有效作用面積為A。

圖1 液壓懸置集中參數(shù)流體模型

液壓懸置內(nèi)部流體的動力學(xué)方程為

(1)

式中：前2個方程為流體的動量方程；后2個方程為流體的連續(xù)性方程。

已知液壓懸置的上端與動力總成相連，下端與車身相連。假設(shè)懸置上端的位移為x，懸置受到的作用力為F，則F為

(2)

現(xiàn)定義如下：mi=A2Ii，ci=A2Ri，md=A2Id，cd=A2Rd，dxi/dt=qi/A，dxd/dt=qd/A，k1=A2/C1，k2=A2/C2。根據(jù)各變量的定義，式(1)與式(2)可改寫為

(3)

方程的改寫表示，由式(1)和式(2)表征的液壓懸置流體模型被轉(zhuǎn)化為由式(3)表征的機械模型。該等效機械模型在作用效果上與原流體模型相同。

當激勵頻率較低而幅值較大時，解耦盤基本保持關(guān)閉狀態(tài)，液體主要通過慣性通道進行流動，此時懸置所表現(xiàn)出的性能與慣性通道式液壓懸置相似，懸置動剛度與流體通過慣性通道的能量損失密切相關(guān)。當激勵頻率接近慣性通道內(nèi)液體的固有頻率時，懸置動剛度將達到最大。懸置在低頻段(qd= 0)的動力學(xué)方程為

(4)

當激勵頻率較高而幅值較小時，慣性通道內(nèi)的液體幾乎不再流動，此時液體主要通過解耦盤進行流動。懸置在高頻段(qi= 0)的動力學(xué)方程為

(5)

假定系統(tǒng)具有零初始條件(如不作特殊說明，下文在作拉普拉斯變換時均假定初始條件為0)并考慮到k1遠大于k2，對式(4)和式(5)進行拉普拉斯變換得到懸置的動剛度表達式為

(6)

對于式(6)，在低頻段內(nèi)，m0=mi，c0=ci；在高頻段內(nèi)，m0=md，c0=cd。式(6)對應(yīng)液壓懸置的寬頻模型，研究結(jié)果表明，該模型的有效頻率范圍可達300Hz[2]。

需要說明，上述給出的液壓懸置集中參數(shù)流體模型或等效機械模型屬于穩(wěn)態(tài)模型，該模型只能針對低頻激勵或高頻激勵作穩(wěn)態(tài)分析，但無法對頻率的過渡段給出可信的結(jié)果，這是由于該頻段涉及解耦盤工作狀態(tài)的選擇機制。另外，建模過程中還忽略了諸如真空效應(yīng)、湍流等典型的非線性效應(yīng)[11]。

2 動力總成懸置系統(tǒng)的固有屬性分析方法

對于采用彈性體懸置的動力總成懸置系統(tǒng)，在小阻尼條件下，系統(tǒng)的固有屬性可根據(jù)質(zhì)量(慣量)特性和剛度特性進行確定，計算得到的特征值為實數(shù)，特征向量為實向量。如果考慮阻尼對系統(tǒng)振動特性的影響，則確定系統(tǒng)的固有屬性時還要用到阻尼特性，此時計算得到的特征值一般為復(fù)數(shù)，特征向量為復(fù)向量。

對于彈性體懸置，動剛度和滯后角基本隨頻率呈線性變化，這就說明懸置的剛度kr和阻尼cr基本可以是頻率恒定的。彈性體懸置動剛度的表達式為

(7)

對于液壓懸置，隨著激勵頻率的增加，懸置的動剛度和滯后角均呈現(xiàn)出典型的非線性變化關(guān)系，因此，對于采用液壓懸置的動力總成懸置系統(tǒng)，其固有屬性的分析將更加復(fù)雜。針對該問題，本節(jié)提出了懸置系統(tǒng)在拉普拉斯域內(nèi)的固有屬性分析方法。

2.1 系統(tǒng)建模

在對動力總成懸置系統(tǒng)建模時，將動力總成簡化為剛體；彈性體懸置與液壓懸置均簡化為3個相互正交的彈簧，各彈簧剛度以動剛度的形式給出。動力總成懸置系統(tǒng)的振動模型如圖2所示。

圖2 動力總成懸置系統(tǒng)的振動模型

以曲軸坐標系{XC，YC，ZC}作為建立系統(tǒng)運動方程和計算固有屬性的參考坐標系。曲軸坐標系的原點位于動力總成質(zhì)心處，XC軸沿曲軸軸線指向汽車前方，ZC軸沿直列氣缸軸線或V型氣缸角平分線指向上方，YC軸根據(jù)右手定則確定。同時，在每個懸置處建立局部坐標系，第i個懸置處的局部坐標系定義為{XLi，YLi，ZLi}，懸置的動剛度在局部坐標系中表示。

2.2 拉普拉斯域內(nèi)的固有屬性分析方法

在拉普拉斯域內(nèi)，液壓懸置在流體起作用方向(通常定義為垂向)的動剛度與頻率呈典型的非線性關(guān)系，而在另外兩個方向的動剛度則近似認為與彈性體懸置相同。在局部坐標系內(nèi)，懸置的動剛度可表示為

(8)

5)關(guān)聯(lián)系數(shù)：式中：εi(k)為X0與Xi在第k個指標的關(guān)聯(lián)系數(shù)；|X0(k)-Xi(k)|為與在第k個指標的絕對值；min min|X0(k)-Xi(k)|為二級最小絕對差；max max|X0(k)-Xi(k)|為二級最大絕對差；ρ為分辨系數(shù)，一般取值0.5。

重新觀察式(8)，對于液壓懸置的垂向動剛度表達式，如果將公式中的參數(shù)m0與c0設(shè)置為0，則該式在形式上就與彈性體懸置的動剛度表達式相同。因此，通過對液壓懸置剛度矩陣中的參數(shù)作不同設(shè)置，可以得到彈性體懸置與液壓懸置剛度矩陣的通用表達式。根據(jù)液壓懸置的物理結(jié)構(gòu)，將參數(shù)m0與c0設(shè)置為0是忽略懸置內(nèi)部流體的作用，這種情況相當于去除液壓懸置的液壓油，只有橡膠主簧發(fā)揮作用。

根據(jù)旋量理論，第i個懸置局部坐標系原點的位移dLi與動力總成質(zhì)心的位移d滿足如下關(guān)系式：

(9)

式中：RC,Li為由第i個局部坐標系至曲軸坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣；ri為第i個局部坐標系在曲軸坐標系中的位置向量；ad(ri)為向量ri的伴隨變換形式。

對式(9)等號左右兩側(cè)同時進行拉普拉斯變換L可得

(10)

根據(jù)第i個懸置在局部坐標系中的位移dLi及由此產(chǎn)生的反作用力FLi計算得到懸置動剛度KLi(s)的表達式為

(11)

其中動剛度KLi(s)表示為

根據(jù)旋量理論，作用在動力總成質(zhì)心且與懸置作用力FLi等效的作用力Fi表示為

Fi=AdgC,LiFLi

(12)

對所有力旋量Fi進行求和計算，所得結(jié)果即為動力總成質(zhì)心的位移向量d引起的作用力旋量F：

(13)

對式(13)等號左右兩側(cè)同時進行拉普拉斯變換可得

(14)

將式(10)～式(12)代入式(14)可得

(15)

根據(jù)式(15)可得系統(tǒng)動剛度矩陣K(s)的表達式為

(16)

動力總成懸置系統(tǒng)的運動方程可寫為

(17)

式中：M為系統(tǒng)的廣義質(zhì)量矩陣；FE為系統(tǒng)受到的外部激勵。

對式(17)等號左右兩側(cè)同時進行拉普拉斯變換并代入式(15)和式(16)可得

s2ML[d]+K(s)L[d]=L[FE]

(18)

令

Z(s)=s2M+K(s)

系統(tǒng)傳遞函數(shù)T(s)的表達式為

(19)

式中adj[Z(s)]表示Z(s)的伴隨矩陣。

根據(jù)振動模態(tài)理論，式(19)的分母，即Z(s)的行列式，稱為系統(tǒng)的特征方程。特征方程的根，即為系統(tǒng)的特征值，每個特征值都同時包含系統(tǒng)的固有頻率與模態(tài)阻尼比信息[12]。

對于系統(tǒng)的第r個特征值λr，記與之相應(yīng)的特征向量為ur。特征值λr與特征向量ur滿足如下方程：

(20)

根據(jù)式(20)計算得到的特征向量只含有6個元素，對應(yīng)動力總成的6個自由度。對于液壓懸置的等效機械模型，當系統(tǒng)發(fā)生固有振動時，流體集中質(zhì)量元素也具有相應(yīng)的位移xM,i(xi或xd)。對于系統(tǒng)的第r階固有振動，根據(jù)式(6)計算得到位移xM,i：

(21)

式中：uLi,r為第i個懸置在系統(tǒng)發(fā)生第r階固有振動時的位移向量，該向量在局部坐標系中表示，可參照式(10)坐標系轉(zhuǎn)換方法進行計算；uLi,r(3)為向量的第3個元素。

對于采用了N個液壓懸置的動力總成懸置系統(tǒng)，完整的系統(tǒng)特征向量Ur可寫為

(22)

至此，根據(jù)式(19)和式(22)可分別計算得出系統(tǒng)的全部特征值和完整的特征向量。由于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在拉普拉斯域中表示，因此推導(dǎo)過程中可直接采用式(6)給出的液壓懸置動剛度表達式。與時域方法相比，傳遞函數(shù)矩陣仍然為6維矩陣，但是卻可以一次性計算得到6+N個特征值和相應(yīng)的特征向量，無須對振動系統(tǒng)的自由度進行擴展。而且，式(21)具有明確的物理意義，反映了當系統(tǒng)發(fā)生固有振動時，流體集中質(zhì)量元素的位移與動力總成位移之間的傳遞關(guān)系。

3 應(yīng)用算例

以某2.3L直列四缸四沖程動力總成的懸置系統(tǒng)為例，說明拉普拉斯域分析方法在系統(tǒng)固有屬性計算中的應(yīng)用。已知動力總成的質(zhì)量為216kg，慣量參數(shù)在曲軸坐標系中測量，結(jié)果如表1所示。

表1 動力總成慣量參數(shù) kg·m2

系統(tǒng)共采用3處懸置，分別為安裝于變速器一側(cè)的左懸置、安裝于發(fā)動機一側(cè)的右懸置和安裝于發(fā)動機后方的后懸置。其中，左懸置與后懸置為彈性體懸置，右懸置為慣性通道式液壓懸置。系統(tǒng)中各懸置的安裝位置、安裝方向和彈性體懸置的剛度值分別如表2～表4所示。懸置的安裝位置在曲軸坐標系中描述；安裝方向以局部坐標系與曲軸坐標系各坐標軸之間的夾角表示；懸置的剛度和阻尼在局部坐標系中描述。

表2 懸置安裝位置 mm

表3 懸置安裝方向 (°)

表4 懸置剛度 N·mm-1

液壓懸置的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：橡膠主簧剛度kr= 168N/mm，主簧阻尼cr= 100N·s/m，流體等效集中質(zhì)量mi= 50.3kg，等效剛度ki= 250N/mm，等效阻尼ci= 2582N·s/m。另外，所有彈性體懸置的阻尼均設(shè)置為100N·s/m。

根據(jù)第2節(jié)給出的動力總成液壓懸置系統(tǒng)在拉普拉斯域內(nèi)的固有屬性分析方法，計算系統(tǒng)的特征值與特征向量(模態(tài)向量)。對計算得到的特征值作進一步處理而得到系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)阻尼比，結(jié)果如表5所示；由于模態(tài)向量以各元素(復(fù)數(shù))比值的形式給出，因此設(shè)定向量中第1個元素(對應(yīng)動力總成的側(cè)向平動自由度)的幅值為1，相位角為0，參考該設(shè)定計算得出向量中的其他各元素。系統(tǒng)復(fù)模態(tài)向量的幅值和相位信息分別如表6和表7所示。在表6中，Tx，Ty和Tz分別表示模態(tài)向量幅值在XC軸，YC軸和ZC軸平動自由度上的分量；Rx，Ry和Rz分別表示向量幅值在相應(yīng)各軸轉(zhuǎn)動自由度上的分量；Tm表示向量幅值在流體等效集中質(zhì)量平動自由度上的分量。

表5 系統(tǒng)各階固有頻率與阻尼比

表6 系統(tǒng)復(fù)模態(tài)向量的幅值

表7 系統(tǒng)復(fù)模態(tài)向量的相位 (°)

該動力總成懸置系統(tǒng)具有7階固有頻率。其中，6階固有頻率對應(yīng)動力總成剛體的共振頻率，1階固有頻率對應(yīng)液壓懸置慣性通道內(nèi)流體的共振頻率。

根據(jù)表5中的結(jié)果可知，第1階模態(tài)的阻尼比為40.53%，遠大于其他各階模態(tài)的阻尼比；同時，根據(jù)表6中的結(jié)果可知，在第1階模態(tài)向量中，流體等效集中質(zhì)量的相對幅值Tm為6.61，是向量中的最大分量。因此，根據(jù)上述分析可以判定，系統(tǒng)的第1階固有頻率對應(yīng)液壓懸置慣性通道內(nèi)流體的共振頻率；由于懸置內(nèi)部的等效阻尼非常大，因此系統(tǒng)的阻尼比處于相對較高的水平。

根據(jù)表6中的幅值信息可知，系統(tǒng)的第4階、第6階和第7階模態(tài)向量中均存在幅值占比較大的元素，因此判定這3階模態(tài)分別對應(yīng)系統(tǒng)的俯仰模態(tài)、橫擺模態(tài)和側(cè)傾模態(tài)。其中，系統(tǒng)的第4階模態(tài)尤為重要，這是因為該階模態(tài)與系統(tǒng)在轉(zhuǎn)矩作用下的隔振性能設(shè)計密切相關(guān)。

對于系統(tǒng)的第2階、第3階和第5階模態(tài)，無法根據(jù)幅值信息對模態(tài)類型作出直觀判斷。例如，對于第2階模態(tài)向量，雖然最大元素對應(yīng)Rx方向，但與第4階模態(tài)相比，Rx元素在模態(tài)向量中所占的比重顯然要小一些；對于第3階和第5階模態(tài)，模態(tài)向量中存在多個幅值相差不大的元素，因此不易作出直觀判斷。

為了對模態(tài)的類型進行判定，現(xiàn)提出2條參考標準：第1條標準是模態(tài)能量百分比。由于動力總成的質(zhì)量與慣量在大小上基本相差一個數(shù)量級，因此，模態(tài)向量中的平動分量對模態(tài)能量百分比的影響更大。參考這一標準，判定第2階模態(tài)對應(yīng)系統(tǒng)的縱向平動模態(tài)，第3階模態(tài)對應(yīng)系統(tǒng)的側(cè)向平動模態(tài)，第5階模態(tài)對應(yīng)系統(tǒng)的垂向跳動模態(tài)。

第2條標準是液壓懸置集中流體質(zhì)量的運動與動力總成各向運動之間的耦合程度。由于液壓懸置安裝于動力總成右側(cè)，因此，集中流體質(zhì)量的運動將與動力總成的垂向跳動和側(cè)傾轉(zhuǎn)動產(chǎn)生較強的耦合，這一點可以根據(jù)第1階模態(tài)向量和第7階模態(tài)向量進行驗證。前述分析已經(jīng)判定第1階頻率對應(yīng)液壓懸置慣性通道內(nèi)流體的共振頻率，根據(jù)表6中的信息可知，第1階模態(tài)向量中除了最大的Tm分量外，Tz分量和Ry分量的幅值也較大；對于第7階模態(tài)，已經(jīng)判定該階模態(tài)對應(yīng)系統(tǒng)的側(cè)傾模態(tài)，模態(tài)向量中除了最大的Ry分量，Tm分量的幅值也較大。第1階模態(tài)和第7階模態(tài)的分析結(jié)果符合第2條標準。因此，對于系統(tǒng)的垂向跳動模態(tài)，模態(tài)向量中的Tz分量和Tm分量一定同時具有較大的幅值，據(jù)此判定第5階模態(tài)對應(yīng)系統(tǒng)的垂向跳動模態(tài)。

根據(jù)表6中的幅值信息雖然可以對模態(tài)的類型作出判斷，但是還需要根據(jù)表7中的相位信息確定模態(tài)的具體形狀。相位信息對系統(tǒng)第1階、第5階和第7階模態(tài)形狀的判斷尤為重要。對于集中流體質(zhì)量的運動和動力總成的垂向跳動，雖然由第1階和第5階模態(tài)向量中的幅值信息可以看出二者的耦合效應(yīng)非常明顯，但根據(jù)表7中的相位信息可知，二者在第1階模態(tài)中的相位差為15.54°，而在第5階模態(tài)中的相位差為133.33°，因此，二者在系統(tǒng)發(fā)生第1階固有振動時傾向于同相運動，而在第5階固有振動時傾向于反相運動。同樣，對于集中流體質(zhì)量的運動和動力總成的側(cè)傾轉(zhuǎn)動，二者在第1階固有振動時傾向于反相運動，而在第7階固有振動時傾向于同相運動。

4 結(jié)論

(1)液壓懸置的集中參數(shù)流體模型或等效機械模型可較為準確地反映懸置的頻變動剛度特性，能夠同時用于懸置在低頻段與高頻段的穩(wěn)態(tài)性能分析；但由于該模型為穩(wěn)態(tài)模型，因此無法模擬懸置的解耦盤選擇機制等非線性行為。

(2)拉普拉斯域分析方法可直接將液壓懸置的動剛度表達式用于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)；在不增加系統(tǒng)自由度的前提下，該方法可以一次性計算出系統(tǒng)的全部特征值；推導(dǎo)過程同時涉及系統(tǒng)的總體剛度特性和液壓懸置的結(jié)構(gòu)特性，因而物理意義明確。

(3)動力總成液壓懸置系統(tǒng)具有復(fù)特征值及復(fù)模態(tài)向量。復(fù)特征值同時包含系統(tǒng)的固有頻率及阻尼比信息；根據(jù)阻尼比、復(fù)模態(tài)向量的幅值等信息可以對模態(tài)類型作出判斷；結(jié)合復(fù)模態(tài)向量的相位信息可以確定模態(tài)的具體形狀。

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Analysis Method of Natural Properties of Powertrain Hydraulic Mounting System in Laplace Domain

Song Kang1, Chen Xiaokai1& Lin Yi2

1.SchoolofMechanicalEngineering,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081; 2.BeijingAutomotiveTechnologyCenter,BAICMotorCorporationLtd.,Beijing101300

In view of that the dynamic stiffness of hydraulic mount nonlinearly changes with excitation frequency, a Laplace domain analysis method is adopted to calculate the natural properties of powertrain hydraulic mounting system. Firstly a linear fluid model with lumped parameters for hydraulic mount is built, the steady state dynamic stiffness characteristics of powertrain mount in both low and high frequency bands are analyzed, and the dynamic stiffness expression for powertrain mount in a wide frequency range is obtained. Then a vibration model for powertrain mount is created in crankshaft coordinates and an analysis method of the natural properties of system is derived by directly applying dynamic stiffness expression of hydraulic mount in Laplace domain. Finally this new method is used to calculate the natural properties of a hydraulic mounting system. The results indicate that hydraulic mounting system has complex eigenvalues and complex modal vectors, in which eigenvalues contain information of the natural frequency and damping ratio of system. The type of mode can be judged according to damping ratio and the magnitude of complex modal vector, while the specific mode shapes can be determined based on phase information of complex modal vectors.

powertrain mounting system; hydraulic mount; dynamic stiffness; natural properties; Laplace domain

*國家自然科學(xué)基金(51275040)資助。

原稿收到日期為2014年12月25日。