（福州第十中學(xué)，福建福州350000）

初中“代數(shù)運算”教學(xué)的困境與對策
——“因式分解”的錯因分析與教學(xué)思考

伍仕森

（福州第十中學(xué)，福建福州350000）

代數(shù)運算貫穿于整個初中代數(shù)的學(xué)習(xí)，而代數(shù)運算的能力是運算技能的升華，也是運算技能與邏輯思維能力的有機結(jié)合。因式分解是整式乘法的逆運算，是后續(xù)代數(shù)運算的工具，具有承上啟下的地位和特殊的作用，相關(guān)教學(xué)具備課堂實證研究的價值。本文通過因式分解的錯例分析，反觀課堂教學(xué)的得失并展開教學(xué)思考，分別從概念教學(xué)、公式教學(xué)和解題教學(xué)三個方面提出了應(yīng)對措施與教學(xué)主張。

代數(shù)運算；因式分解；錯例分析；教學(xué)思考

一、問題提出

初中代數(shù)運算主要包括整式、分式、根式這三大類的代數(shù)式的加、減、乘、除以及乘方、開方運算，其本質(zhì)是恒等變形。從式的存在形式演變?yōu)榕c之相等的另一種存在形式，這種恒等變形的運算能力并非是一種外在的字母游戲，而是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的素養(yǎng)和研究數(shù)學(xué)的有力工具，對于數(shù)感與符號意識的形成具有重要的作用，是初中代數(shù)知識主干內(nèi)容和教學(xué)關(guān)鍵點。

基于此，我們以參加2014年市級教育課題為契機，選擇“代數(shù)運算”教學(xué)模式的探索作為子課題，展開相關(guān)的理論與實踐相結(jié)合的教學(xué)研究與案例分析，并以“因式分解”的錯因分析為著力點，以點帶面地展開“代數(shù)運算”教與學(xué)的理性思考與教學(xué)反思，以期幫助學(xué)生突破代數(shù)運算的諸多困境，為學(xué)生的幸福成長發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的育人價值。

二、案例呈現(xiàn)與教學(xué)思考

因式分解是整式的一種恒等變形，是把多項式變換成為整式乘積的形式，是學(xué)習(xí)分式運算的直接基礎(chǔ)，對后續(xù)研究整式方程是一種重要的理論依據(jù)和求解的有效方法。但是這并不意味著這樣的訓(xùn)練越多越好，越難越好，甚至搞題海戰(zhàn)術(shù)讓教與學(xué)都背上沉重的負(fù)擔(dān)，而是要明確目的，適度訓(xùn)練，在解題過程的反思中，在析錯、糾錯的領(lǐng)悟中，完善因式分解的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升因式分解的運算能力。

1.對因式分解的概念認(rèn)識不足導(dǎo)致的錯誤

【案例1】循環(huán)計算，如（x+4）2+(x+4)×(-8)=(x+4) (x+4-8)=(x+4)(x-4)=x2-16。究其原因：對因式分解的意義認(rèn)識不清，受整式乘法思維定勢的影響，部分學(xué)生在因式分解后很自然的回彈到整式乘法，出現(xiàn)了這種循環(huán)計算。

【案例2】部分分解，如x2-9+8x=(x+3)(x-3)+8x。究其原因：造成這種錯誤的原因是對因式分解的概念沒有理解到位，如“(x+3)(x-3)+8x”雖然對局部進行了分解，但結(jié)果仍然是和的形式。

【案例3】漏項，如x2y-2xy2+xy=(x-2y)。究其原因：提公因式后漏掉了“xy÷xy=1”這一項，其根源還是對整式乘法與因式分解互為逆運算認(rèn)識不足，當(dāng)多項式的某一項恰好是多項式的公因式時，提取公因式后，往往漏掉了“1”這一項。

縱觀以上3個案例，發(fā)生錯解的原因是學(xué)生對因式分解的意義以及與整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系認(rèn)識不清，概念的模糊才導(dǎo)致的錯誤。由于因式分解的概念比較抽象，加上受整式乘法的習(xí)慣思維的影響，初學(xué)時普遍存在這些現(xiàn)象，這就要求我們要加強概念教學(xué)。引入概念的教學(xué)設(shè)計應(yīng)從學(xué)生的思維訓(xùn)練角度考慮，也就是要理解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，關(guān)注學(xué)生對概念的形成過程，并且這一概念的形成需要貫穿在因式分解的整個教學(xué)過程中。不僅如此，還應(yīng)該在后續(xù)的相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中進一步的深化。讓學(xué)生對因式分解概念有一個逐步理解，不斷再認(rèn)識的過程?；诖?，我們在教學(xué)實踐中對因式分解的概念的形成與深化分為了四個階段來進行。

第一階段為概念引入和初步認(rèn)識階段。我們可用小學(xué)的分解質(zhì)因數(shù)的知識，如30=5×2×3來進行類比，引出多項式的因式分解。但應(yīng)注意到這種引出只是強調(diào)因式分解與因數(shù)分解的聯(lián)系，并沒有揭示因式分解的本質(zhì)，所以這一階段的學(xué)習(xí)應(yīng)著重強調(diào)因式分解與多項式乘法之間的互逆關(guān)系。從逆向思維的角度來完成對因式分解的初步認(rèn)識，促使學(xué)生明確因式分解的結(jié)果必須是整式的積的形式。

第二階段為概念的應(yīng)用于鞏固階段。無論是提取公因式法還是公式法，在講解時，都要與相對應(yīng)整式乘法做比較，深化因式分解是多項式的乘法逆過程的意識，提升思維能力，形成良好的思維品質(zhì)。在此基礎(chǔ)上重點強調(diào)因式分解后每一個因式都不能再分解，要把重因式寫成乘方的形式，并及時糾正可能出現(xiàn)的錯誤，鞏固第一階段的教學(xué)成果。

第三階段為總結(jié)提高階段。在學(xué)完了因式分解的基本方法后，應(yīng)總結(jié)因式分解的基本步驟，其中也包括對概念的總結(jié)提高，對解題經(jīng)驗教訓(xùn)的總結(jié)與反思。在本章講完時，對因式分解的概念已經(jīng)達(dá)到理解的程度。

第四階段為深化階段。這一階段一直貫穿于后續(xù)知識的學(xué)習(xí)過程中，在學(xué)習(xí)分式時，通分、約分以及分式的運算都離不開因式分解。讓學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中體會到因式分解的意義與作用，明確“逆過程”的真實含義，而在分式的相應(yīng)變形中，還應(yīng)該強調(diào)因式分解的意義，提醒學(xué)生因式分解是對多項式而言的。

2.公式應(yīng)用不當(dāng)導(dǎo)致的錯誤

【案例4】沒有弄清楚運用公式的條件，如9x2-4y2=(9x+4y)(9x-4y)。究其原因：只注意到字母的平方，沒有考慮到系數(shù)的開方，對公式的結(jié)構(gòu)特征，公式中字母所表示的含義不明確。

【案例5】錯用公式，如-x2-y2=(-x+y)(-x-y)。究其原因：在套平方差公式時，沒有弄清楚只有當(dāng)兩平方項的符號相反時，才可以使用平方差公式，而“-x2”與“-y2”符號相同，不能硬套公式。透過案例4、案例5的觀察，引發(fā)我們對公式教學(xué)的再思考，學(xué)習(xí)公式的目的在于運用，并逐步形成技能或能力，如何幫助學(xué)生達(dá)到熟練應(yīng)用公式的程度，是突破代數(shù)運算困境的關(guān)鍵。為此我們加強了公式的引入和記憶兩方面的教學(xué)。一般地，公式的引入可以分為三個階段：公式的形成階段、公式的理解記憶階段、公式的運用階段。前兩個階段是為后一個階段服務(wù)的，尤其是公式的形成階段，它直接影響到公式的記憶與運用。首先，我們加強乘法公式的幾何意義的教學(xué)，并自編口訣，力求通過公式的多元表征和結(jié)構(gòu)分析來完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從根基處入手為記憶和運用公式打下牢固的基礎(chǔ)。如：(a+b)(a-b)=a2-b2“兩數(shù)和兩數(shù)差，乘積就是平方差”；(a±b)2=a2±2ab+b2“完全平方公式好，展開整理得三項，首平方尾平方，2倍首尾放中央，積前符號同前號”。其次，針對因式分解的兩個公式實際上是相應(yīng)乘法公式的反寫，每個公式都有雙向的功能，從左到右是順用公式，從右到左是逆用公式。因為公式的推導(dǎo)一般是從左往右，這種思維定勢使得學(xué)生習(xí)慣于公式的順用，當(dāng)解題過程要順用公式時比較順利，當(dāng)解題需要逆用公式時，學(xué)生常常感到困難。在此，如果我們強調(diào)因式分解的本質(zhì)是“化積”的話，就可以從本質(zhì)上區(qū)別因式分解與整式乘法的不同，無疑對記憶和使用公式都具有重要的作用。再次，通過反例糾正達(dá)到強化記憶的目的。將學(xué)生可能發(fā)生的錯誤或作業(yè)與練習(xí)當(dāng)中的錯解一一羅列出來，呈現(xiàn)給學(xué)生以引起必要的重視，防止再犯類似錯誤。

3.會而不對，對而不全導(dǎo)致的錯誤

【案例6】分解不徹底，如x4-16=(x2+4)(x2-4)。究其原因：這樣的錯誤原因是分解不徹底。正如把30分解質(zhì)因數(shù)為30=5×6其中6還可以分解成2×3。

【案例7】不先提公因式而先用公式法，如16x2-4=(4x+2)(4x-2)。究其原因：沒有根據(jù)因式分解的步驟直接使用公式進行分解，導(dǎo)致兩個乘積式?jīng)]有分解徹底。

案例6、案例7中的會而不對，對而不全，看似解題粗心或概念不清晰，或忘記因式分解的解題步驟“一提二套三檢查”，而更深層次的原因是解題習(xí)慣不良，解題觀念缺失。學(xué)生在解題的過程中往往急于求成，急功近利，缺乏對解題過程的反思，自我監(jiān)控的元認(rèn)知能力低下。這跟一線教師在解題教學(xué)中只重視“怎么做”，很少挖掘或忽視“為什么這樣做”的解題分析，有一定的關(guān)系，甚至是題海戰(zhàn)術(shù)帶來的“熟能生笨”“熟能生厭”的負(fù)面作用。這些不利因素加重了代數(shù)運算乃至代數(shù)學(xué)習(xí)的困難。所以，我們主張代數(shù)運算的教學(xué)要在算理、算法的選擇上下足功夫。

章建躍教授曾指出，造成代數(shù)學(xué)習(xí)的困難的原因有以下幾個方面：（1）學(xué)生思維發(fā)展水平的原因；（2）自然語言、數(shù)學(xué)語言的理解能力及轉(zhuǎn)換能力方面的原因；（3）數(shù)字運算不過關(guān)的原因；（4）數(shù)學(xué)記憶廣度的原因。為了幫助學(xué)生克服代數(shù)學(xué)習(xí)的困難，他認(rèn)為可以采取以下的措施：（1）加強中小學(xué)數(shù)學(xué)的銜接；（2）重視不同語言的相互轉(zhuǎn)換的訓(xùn)練；（3）養(yǎng)成代數(shù)學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣。

［1］義務(wù)教育數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂組.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）的解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心里基礎(chǔ)與過程［M］.上海：上海教育出版社，2009.

［3］李求來，昌國良.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論［M］.長沙：湖南大學(xué)出版社，2006.

（責(zé)任編輯：王欽敏）