羅增儒

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數(shù)學(xué)解題的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐（下）

羅增儒

2-2思路探求

（1）思路探求的基本含義。思路探求就是尋找題目條件與題目結(jié)論之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系，它表現(xiàn)為溝通條件與結(jié)論的一系列演算或推理。尋找解題思路是探索解題結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。數(shù)學(xué)教學(xué)（特別是考試中）的基本思路是，把待解決或未解決的問(wèn)題化歸為一類(lèi)已經(jīng)解決或者比較容易解決的問(wèn)題。

（2）思路探求探什么、怎么探。

可以分兩步走，如圖5，我們將思路探求“探什么、怎么探”設(shè)計(jì)為一個(gè)操作流程圖。

圖5

第一步，努力在已知與未知之間找出直接的聯(lián)系——化歸為已經(jīng)解決過(guò)的基本問(wèn)題。對(duì)于大量的常規(guī)題來(lái)說(shuō)，題意弄清楚了，題型就得以識(shí)別，記憶中關(guān)于這類(lèi)題的解法就招之即來(lái)。（也就是模式識(shí)別，課本中的重要定理及相關(guān)概念自動(dòng)組成一個(gè)基本問(wèn)題）

第二步，如果找不出直接的聯(lián)系，就對(duì)原來(lái)的問(wèn)題作出某些必要的變更或修改，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用解題策略，比如差異分析、以退求進(jìn)、區(qū)分情況、層次解決、正難則反，以及自始至終的數(shù)形結(jié)合等。

①差異分析：通過(guò)分析條件與結(jié)論之間的異同并不斷減少目標(biāo)差來(lái)完成解題的思考方法叫做差異分析法。使用差異分析法有3個(gè)步驟：

一是通過(guò)分析題目中所出現(xiàn)的元素和特征去尋找異同點(diǎn)；

二是對(duì)目標(biāo)差運(yùn)用基礎(chǔ)理論與基本方法作出減少目標(biāo)差的某種反應(yīng)；

三是把減少目標(biāo)差的調(diào)節(jié)積累起來(lái)，直至消除。

②以退求進(jìn)：可以先考慮問(wèn)題的特殊情況，或先考慮問(wèn)題的一部分，看清楚、想明白了再進(jìn)。退是手段，進(jìn)是目的，“難的不會(huì)則想簡(jiǎn)單的”是個(gè)好主意。在具體實(shí)踐中，常常是進(jìn)退互補(bǔ)。

③區(qū)分情況：或是分解為一個(gè)個(gè)小步驟（分步），或是分解為一個(gè)個(gè)小類(lèi)型（分類(lèi)），各個(gè)擊破、分別解決。在具體實(shí)踐中，常常是分合并用。

④層次解決：人們?cè)趧?chuàng)造性解決問(wèn)題的過(guò)程中，思維是按層次展開(kāi)的，先粗后細(xì)，先寬后窄，先對(duì)問(wèn)題作一個(gè)粗略的思考，然后逐步深入到實(shí)質(zhì)與細(xì)節(jié)?；蛘哒f(shuō)，先作大范圍的搜索，再逐步收縮包圍圈。數(shù)學(xué)解題也是一個(gè)創(chuàng)造性活動(dòng)，也可以層層深入地解決，我們叫做“三層次解決”。

第一層次：一般性解決。即在策略水平上的解決，以明確解題的總體方向。這是對(duì)思考作定向調(diào)控。

第二層次：功能性解決。即在數(shù)學(xué)方法水平上的解決，以確定具有解決功能的解題手段，這是對(duì)解決作方法選擇。

第三層次：特殊性解決。即在數(shù)學(xué)技能水平上的解決，以進(jìn)一步縮小功能性解決的途徑，明確運(yùn)算程序或推理步驟，這是對(duì)技巧作實(shí)際完成。

在進(jìn)行“三層次解決”時(shí)，每一層次又可能有“三層次解決”。

⑤正難則反：正面思考有困難時(shí)，可以調(diào)整思考的方向，轉(zhuǎn)而從結(jié)論入手（分析法、逆推法），或反面思考問(wèn)題（反證法）。在具體實(shí)踐中，常常是正反相輔。

⑥數(shù)形結(jié)合：在探索的過(guò)程中，要始終不忘把數(shù)與形結(jié)合起來(lái)思考，既會(huì)把數(shù)式轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形，又會(huì)把圖形轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)式，注意發(fā)揮數(shù)與形的雙重優(yōu)勢(shì)。

值得注意的是，上述框圖恰好組成一個(gè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的解題思考程序：

第一步，如果能夠辨別題目屬于熟悉的類(lèi)型，那我們就用該類(lèi)型相應(yīng)的方法來(lái)解決——模式識(shí)別。對(duì)于表面上不熟悉的題目可以通過(guò)分解或補(bǔ)充、轉(zhuǎn)換化歸為熟悉的類(lèi)型。

第二步，如果題目不屬于熟悉的類(lèi)型，那我們就用差異分析并輔以數(shù)形結(jié)合等直接解決。

第三步，如果遇到不熟悉的或費(fèi)解的習(xí)題，模式識(shí)別和差異分析都不能奏效，那我們需要運(yùn)用更多的策略——以退求進(jìn)、區(qū)分情況、層次解決等。

第四步，如果我們所有這些正面思考都不能奏效，那就正難則反，或者從肯定結(jié)論找充分條件（分析法），或者從否定結(jié)論找矛盾（反證法）。

請(qǐng)思考下面題目的解題思路。

例1（江蘇省中考題）在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對(duì)角線(xiàn)AC⊥BD，垂足為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作EF∥AB，交AD于點(diǎn)E（如圖6）。求證：四邊形ABFE是等腰梯形。

第一、理解題意

（1）弄清題目的條件是什么，一共有幾個(gè)，其數(shù)學(xué)含義如何。條件說(shuō)得很長(zhǎng)，其實(shí)獨(dú)立的有4個(gè)：

條件1：ABCD是直角梯形。直角梯形的數(shù)學(xué)含義有三個(gè)意思：AB∥DC；直線(xiàn)AD，BC不平行（相交）；∠ABC=∠DCB=90°。

圖6

條件2：兩底邊滿(mǎn)足AB=2DC。

條件3：對(duì)角線(xiàn)AC⊥BD（垂足為點(diǎn)F），對(duì)角線(xiàn)的數(shù)學(xué)含義是梯形相對(duì)頂點(diǎn)的連線(xiàn)。

條件4：EF∥AB。

（2）弄清題目的結(jié)論是什么，一共有幾個(gè)，其數(shù)學(xué)含義如何。從字面上看，結(jié)論為：求證四邊形ABFE是等腰梯形，而文字語(yǔ)言等腰梯形無(wú)法運(yùn)算、不能推理，其數(shù)學(xué)含義有三個(gè)意思：EF∥AB（條件4，已知）；直線(xiàn)AE，BF不平行（條件3，對(duì)角線(xiàn)BD與一腰AD相交于D）；EA=FB（或∠EAB=∠FBA）。由于前兩條是已知的，所以本題的結(jié)論是證EA=FB（或∠EAB= ∠FBA）。

（3）弄清題目的條件和結(jié)論有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系，是一種什么樣的結(jié)構(gòu)。（我們通過(guò)此例來(lái)體現(xiàn)分析法，也就是由結(jié)論到條件的溝通）

第二、分析法——多余條件的發(fā)現(xiàn)

如圖7，由于EF∥AB，而AE，BF相交于D，所以，要證ABFE是等腰梯形，只需證∠EAB=∠FBA（或EA =FB）。

要證∠EAB=∠FBA，只需證△DAB是等腰三角形。

圖7

可見(jiàn)，△DAB中，DG既是AB邊上的高，又是AB邊上的中線(xiàn)，所以△DAB是等腰三角形。

這個(gè)思路沒(méi)有用到對(duì)角線(xiàn)AC⊥BD，說(shuō)明這是一個(gè)多余的條件。

2-3書(shū)寫(xiě)表達(dá)

（1）書(shū)寫(xiě)表達(dá)的基本含義。就是把打通了的解題思路（即自己看清楚、想明白的事情），用文字具體表達(dá)出來(lái)，說(shuō)服自己，說(shuō)服別人（包括同意或不同意你看法的人）?？荚囍芯褪且f(shuō)服閱卷老師。這當(dāng)中可能會(huì)有某一步驟因忽視了關(guān)鍵細(xì)節(jié)而反復(fù)，也可能會(huì)因認(rèn)真整理思想而深化理解或觸發(fā)新的靈感，書(shū)寫(xiě)有整理與深化思維的功能。

（2）書(shū)寫(xiě)表達(dá)寫(xiě)什么、怎么寫(xiě)。應(yīng)該看到，怎樣表達(dá)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)仍然是一個(gè)需要系統(tǒng)指導(dǎo)和嚴(yán)格訓(xùn)練的問(wèn)題。事實(shí)上，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用與表達(dá)是中學(xué)教學(xué)的一個(gè)薄弱環(huán)節(jié)，語(yǔ)言表述不規(guī)范，推理過(guò)程不完整，邏輯關(guān)系“能意會(huì)不能言傳”等很普遍。我們對(duì)“寫(xiě)什么、怎么寫(xiě)”的建議是：

①平時(shí)抓“15字口訣”和“24字要領(lǐng)”。

“寫(xiě)什么”的15字口訣：定方法、找起點(diǎn)、分層次、選定理、用文字?？偨Y(jié)出計(jì)算題格式，證明題格式，應(yīng)用題格式，……

“怎么寫(xiě)”的24字要領(lǐng)：方法簡(jiǎn)單、起點(diǎn)明確、層次清楚、定理準(zhǔn)確、論證嚴(yán)密、書(shū)寫(xiě)規(guī)范。

②臨場(chǎng)抓“書(shū)寫(xiě)要快”和“分段得分”。如速度意識(shí)，寫(xiě)得分點(diǎn)，缺步解答，跳步解答，退步解答，倒步解答，輔助解答等，進(jìn)可全題解決，退可分段得分。

請(qǐng)思考下面題目如何書(shū)寫(xiě)表達(dá)。

（Ⅰ）過(guò)程結(jié)束時(shí)繩子的總數(shù)。（你認(rèn)為這是什么題型？或可以化為什么題型？）

（Ⅱ）過(guò)程結(jié)束時(shí)每個(gè)同學(xué)所拉繩子條數(shù)一樣多的概率是多少？存在兩個(gè)同學(xué)所拉繩子條數(shù)不同的概率是多少？

（Ⅰ）分四步講解如下。

（1）探索：“難的不會(huì)則想簡(jiǎn)單的”，特殊化分組，發(fā)現(xiàn)結(jié)果。

對(duì)99個(gè)同學(xué)作1+98分組，用98條繩子。（第1個(gè)同學(xué)拉了98條繩子）

對(duì)98個(gè)同學(xué)作1+97分組，用97條繩子。（第2個(gè)同學(xué)拉了1+97=98條繩子）

依此類(lèi)推，最后對(duì)2個(gè)同學(xué)作1+1分組，用1條繩子。（第98、99個(gè)同學(xué)拉了1+1+…+1=98條繩子）

對(duì)這個(gè)特殊的分組，繩子的總數(shù)為

（2）類(lèi)比。類(lèi)比數(shù)線(xiàn)段的求解，將人對(duì)應(yīng)為點(diǎn)，將拉繩子對(duì)應(yīng)為連線(xiàn)，則每個(gè)人都與另外98個(gè)人拉繩子就對(duì)應(yīng)每一個(gè)點(diǎn)都與另外98個(gè)點(diǎn)連線(xiàn)，……這樣一來(lái)，思路應(yīng)該是通的。但是，怎么書(shū)寫(xiě)呢？

（4）感悟。本例中的同學(xué)拉繩子就是數(shù)線(xiàn)段中的點(diǎn)連線(xiàn)段，兩兩拉一條繩子的過(guò)程（兩兩連一條線(xiàn)段）會(huì)有多種方式，上例給出了其中一種方式。如果先計(jì)算每一次分組拉繩子的條數(shù)再求和，則有

圖9

例2-1（變式）將平面上的n（n≥2）個(gè)點(diǎn)任意分成兩堆，記下這兩堆點(diǎn)數(shù)的乘積。繼續(xù)這一過(guò)程，只要某堆的點(diǎn)數(shù)大于1，就把這堆點(diǎn)再隨意分成兩小堆，并記下兩小堆點(diǎn)數(shù)的乘積，直至每堆只有1個(gè)點(diǎn)。求上述所有乘積之和。

將n個(gè)點(diǎn)記為A1，A2，…，An，當(dāng)全體點(diǎn)被分成M1，N1兩堆作乘法時(shí)，我們將M1中每一個(gè)點(diǎn)都與N1中的每一個(gè)點(diǎn)作連線(xiàn)，M1內(nèi)部不連線(xiàn)，N1內(nèi)部不連線(xiàn)，則連線(xiàn)的條數(shù)就是M1，N1兩堆點(diǎn)數(shù)的乘積?？梢?jiàn)，每次分堆點(diǎn)數(shù)的乘積就是每次分堆連線(xiàn)段的條數(shù)，所有乘積之和，就是n個(gè)點(diǎn)兩兩連線(xiàn)的總和。思路是通的，怎么書(shū)寫(xiě)呢？

對(duì)第（Ⅱ）問(wèn)，由第（Ⅰ）問(wèn)知過(guò)程結(jié)束時(shí)每個(gè)同學(xué)所拉繩子條數(shù)一樣多，其概率為1，存在兩個(gè)同學(xué)所拉繩子條數(shù)不同的概率是0。

2-4回顧反思

（1）回顧反思的基本含義。反思就是從自身的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中脫身出來(lái)，作為一個(gè)旁觀者來(lái)看待自己剛才做了些什么事情，使自己的活動(dòng)成為思考的對(duì)象。有兩個(gè)層面的回顧反思，一個(gè)是解題層面的回顧反思，另一個(gè)是學(xué)會(huì)解題層面的回顧反思。

（2）回顧反思“思什么”。

①解題層面的回顧反思。主要是復(fù)查檢驗(yàn)，看計(jì)算是否準(zhǔn)確、推理是否合理、思維是否周密、解法是否還有更多、更簡(jiǎn)單的。

有的檢驗(yàn)是解題的必要步驟，檢驗(yàn)之后，解題才算完成；

有的檢驗(yàn)是避免過(guò)失的技術(shù)性措施，像足球守門(mén)員把住最后一關(guān)。

②學(xué)會(huì)解題層面的回顧反思。表現(xiàn)為解題后對(duì)數(shù)學(xué)題目本身及解題方法的重新認(rèn)識(shí)，如思什么。

解題中用到了哪些知識(shí)？用到了哪些方法？這些知識(shí)和方法是怎樣聯(lián)系起來(lái)的？

自己是怎么想到它們的？困難在哪里？關(guān)鍵是什么？遇到過(guò)什么障礙？后來(lái)是怎么解決的？

還有別的解決方法嗎？更一般的方法？更特殊的方法？溝通其他學(xué)科的方法？更簡(jiǎn)單的方法？同樣的方法能用來(lái)處理更一般性的命題嗎？

命題能夠推廣嗎？條件能減弱嗎？結(jié)論能加強(qiáng)嗎？

這些知識(shí)和方法體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想？調(diào)動(dòng)這些知識(shí)和方法體現(xiàn)了什么樣的解題策略？

洞察問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)了嗎？

題目有無(wú)科學(xué)性缺陷解法？有無(wú)邏輯性漏洞？

如此等等的思考不僅能改進(jìn)和完善眼前的解題，還能提煉出對(duì)未來(lái)解題有指導(dǎo)作用的信息，它的長(zhǎng)期積累會(huì)升華為數(shù)學(xué)才華。

（3）回顧反思“怎么思”。通常要經(jīng)歷整體分解與信息交合兩個(gè)步驟。

①整體分解。就是把原解法的全過(guò)程分拆為一些信息單元，看用到了哪些知識(shí)、哪些方法，它們是怎樣組合在一起的，從中概括出知識(shí)基礎(chǔ)、邏輯結(jié)構(gòu)、信息流程、心理過(guò)程等。有兩個(gè)基本的思考方向。

方向1：正面思考

看解題過(guò)程是否浪費(fèi)了更重要的信息，以開(kāi)辟新的解題通道。這需要我們重新審視每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的發(fā)散度，特別是要從知識(shí)鏈上對(duì)知識(shí)內(nèi)容作多角度的理解。

看解題過(guò)程多走了哪些思維回路，通過(guò)刪除、合并來(lái)體現(xiàn)簡(jiǎn)潔美。

看是否可以用更一般的原理去代替現(xiàn)存的許多步驟，提高整個(gè)解題的觀點(diǎn)和思維的層次。

看是否可以用一個(gè)更特殊的技巧去代替現(xiàn)存的常規(guī)步驟，以體現(xiàn)解題的奇異美。

看解題過(guò)程中哪一個(gè)是最實(shí)質(zhì)性的步驟，抓住這一步既可簡(jiǎn)化過(guò)程又可迅速推廣。

綜合、全面地看條件與條件、條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，洞察問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性與統(tǒng)一美。

還要看到，分析解題過(guò)程時(shí)，結(jié)論也是已知信息，這會(huì)使我們對(duì)題目的認(rèn)識(shí)更加深刻和全面。

具體進(jìn)行時(shí)，可以畫(huà)邏輯結(jié)構(gòu)圖、信息過(guò)程圖來(lái)幫助思考。

方向2：反面思考

可以使用否定假設(shè)法來(lái)提出問(wèn)題。使用否定假設(shè)法的步驟是：

確定出發(fā)點(diǎn)（已知命題、問(wèn)題或概念）；

對(duì)所確定的對(duì)象進(jìn)行分析，列舉出它的各個(gè)屬性；

就所列舉的屬性進(jìn)行思考。如果這一屬性不是這樣的話(huà)，那它可能是什么？

依據(jù)上述對(duì)各種可能性的分析提出新問(wèn)題。

②信息交合：就是抓住整體分解中提煉出來(lái)的新認(rèn)識(shí)或本質(zhì)步驟，將信息單元轉(zhuǎn)換或重組成新的信息塊。這些新信息塊的有序化，使認(rèn)識(shí)更接近問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)。于是，一個(gè)新的解法就誕生了，所儲(chǔ)存的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的非人為的、實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系就加強(qiáng)了，怎樣學(xué)會(huì)解題的體驗(yàn)就生成了，提煉解題理論的基礎(chǔ)也奠定了。

這4個(gè)步驟需要不斷地反饋調(diào)節(jié)，即使4步完成了也存在反思改進(jìn)的空間：有時(shí)候思路還比較麻煩，通過(guò)反饋調(diào)節(jié)而精簡(jiǎn)；有時(shí)候思路還存在錯(cuò)誤，通過(guò)反饋調(diào)節(jié)而糾正。

（作者單位：陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系）