馬國鋒

(許昌學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 許昌 461000)

二階雙曲問題各向異性有限元的超收斂分析

馬國鋒

(許昌學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 許昌 461000)

克服傳統(tǒng)有限元要求剖分網(wǎng)格滿足正則假設(shè)(或擬一致假設(shè))的限制 ,利用具有各向異性特征的雙線性元對二階雙曲問題進(jìn)行研究，并借助于積分恒等式技巧和插值后處理技術(shù), 得到了各向異性網(wǎng)格下的超逼近和超收斂分析.

各向異性網(wǎng)格;超逼近;超收斂

最近許多文章涉及各向異性剖分下的有限元方法分析，即研究基于擺脫剖分正則性的有限元方法，陳紹春教授提出一種驗(yàn)證適用于各向異性情況的有限元的分析方法，可用于一些Hermite元，拓寬了各向異性元的范圍[1].各向異性情況下，插值定理可以應(yīng)用于二維或三維情況的類Wilson元和改進(jìn)的五節(jié)點(diǎn)矩形元.另一方面，有限元解的超收斂性研究對提高計算效率有重要意義.林群、嚴(yán)寧寧、周愛輝等考慮運(yùn)用積分恒等式來處理許多單元得到超收斂性質(zhì)[2].

本文是在各向異性網(wǎng)格下，充分利用單元的構(gòu)造性質(zhì)，給出用于二階雙曲問題的協(xié)調(diào)雙線性元的超逼近與超收斂結(jié)果.都可得到與正則網(wǎng)格下相同的收斂階.

1 二階雙曲問題及單元構(gòu)造

考慮模型問題[2]

(1)

(2)

(3)

通過計算，可得插值為：

那么，我們有：

(4)

2 有限元逼近格式及超逼近分析

相應(yīng)的有限元空間為：

這里[v]表示v跨過單元邊界的跳躍度，當(dāng)F??Ω時，[v]=v.

為了研究上述問題的超逼近性質(zhì)，首先給出下面兩個重要引理：

引理3[4]設(shè)ut∈H4(Ω),則

利用引理2和引理3我們可以得到下面重要的超逼近結(jié)果.

(5)

取φ=θt,由引理2、引理3及插值理論知

(6)

對(6)式積分并注意到θ(0)=θt(0)=0,

(7)

由Gronwall引理得

(8)

定理1證畢.

3 超收斂性分析

這里ei,di,Zi分別為小單元及它們的邊和頂點(diǎn).

圖1 大單元

(9)

(10)

(11)

定理2 在定理1的假設(shè)下，我們有如下的整體超收斂結(jié)果：

(12)

證明 注意到

(13)

由式(9)和(11)可知

(14)

又由式(10)和定理1有

(15)

于是由式(13)、(14)、(15)可得

定理2證畢.

[1] 喬中華，陳紹春.窄邊雙三次 Hermite矩形元[J].鄭州大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2003,35(1):6-10.

[2] 林 群，嚴(yán)寧寧.高效有限元構(gòu)造與分析[M].保定：河北大學(xué)出版社，1996.

[3] 石東洋，謝萍麗，陳紹春.雙曲積分微分方程的各向異性非協(xié)調(diào)有限元逼近[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2007，30(4)：654-666.

[4] Liu X Q. High accuracy methods for fully discrete galerkin approximation of parabolice quations[J]. BeijingMathemetics，1995，1(2)：31-36.

[5] 石東洋，梁 慧.一個新的非常規(guī) Hermite型各向異性矩形元的超收斂分析及外推[J].計算數(shù)學(xué)，2005，27(4)：369-382.

[6] Chen S C, Shi D Y, Zhao Y C. Anisotropic interpolation and quasi-Wilson element for narrow quadrilateral meshes[J].IMA J Numer Anal， 2004, 24: 77-95.

責(zé)任編輯：周 倫

Superconvergence Analysis of Anisotropic Finite Element in Second-order Hyperbolic Problem

MA Guo-feng

(SchoolofMathematicsandStatistics，XuchangUniversity，Xuchang461000，China)

Avoiding the regularity assumption (or Quasi-uniform assumption) usage as a limitation in mesh division of finite elements, second-order hyperbolic problem was studied by using anisotropic bilinear element. With integral identity and the interpolation postprocessing techniques, superclose property and superconvergence were derived on anisotropic meshes.

anisotropic meshes, superclose, superconvergence

2015-10-13

馬國鋒(1971—),男，河南許昌人，副教授，碩士，研究方向：有限元方法及應(yīng)用．

1671-9824(2016)02-0015-04

O241．21

A