陳學(xué)勇， 李雪臣

(許昌學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 許昌 461000)

一類多種群趨化性模型解的形態(tài)研究

陳學(xué)勇， 李雪臣

(許昌學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 許昌 461000)

研究了一類修正了的多種群Othmer-Stevens趨化性模，利用比較原理、函數(shù)變換技巧構(gòu)造出相應(yīng)系統(tǒng)的上下解，進(jìn)而得到了多種群趨化性系統(tǒng)在不同條件下的全局存在、爆破及坍塌現(xiàn)象.

趨化性系統(tǒng)；全局存在；解的爆破；坍塌

趨化性現(xiàn)象是生命系統(tǒng)中普遍存在的重要現(xiàn)象，研究人員不斷利用數(shù)學(xué)建模和試驗(yàn)方法對(duì)這一問題進(jìn)行深入的探討.自Keller-segel[1]建立了首個(gè)經(jīng)典趨化性數(shù)學(xué)模型后，由于數(shù)學(xué)理論上分析的困難及其強(qiáng)大的實(shí)際背景使得人們不斷對(duì)該模型進(jìn)行修正研究.經(jīng)典拋物-拋物型趨化性模型得到了充分的研究和發(fā)展.當(dāng)刺激物擴(kuò)散速度慢時(shí)，例如刺激物具有較強(qiáng)黏性的情形，Othmer和Stevens構(gòu)建了一類Othmer-Steven模型[2].它與經(jīng)典Keller-Segel模型主要區(qū)別在于忽略了化學(xué)刺激物的自擴(kuò)散因素，數(shù)學(xué)上來看系統(tǒng)變成了拋物-常微組合形式，刺激物擴(kuò)散項(xiàng)的缺失使得原來處理趨化性模型已有的方式不再適用，特別是高微情形下，非線性和強(qiáng)耦合特性使得系統(tǒng)解的存在和性態(tài)結(jié)果難以獲得.

Sleeman和Levine考慮了一維情形下的模型[3]，他們找到了這一模型的精確解，并且發(fā)現(xiàn)在適當(dāng)條件下解可以全局存在或者在有限時(shí)刻爆破.陳學(xué)勇，楊茵得到了一類趨化性模型行波解的存在性條件[4].楊茵等討論了S-L模型在高維下的情形, 并且得到解的全局存在性和爆破的條件[5].

本文中我們討論如下兩個(gè)種群并且?guī)в蟹磻?yīng)項(xiàng)的趨化性模型:

(1)

其中u0(x)>0,v0(x),w0(x)>0∈Cε(Ω)；u表示生物體的濃度或數(shù)量；生物體可以是細(xì)胞、細(xì)菌、昆蟲等等；v代表噬菌體的數(shù)量、w表示與兩種物種有關(guān)的化學(xué)物質(zhì)；D1和D2分別代表兩個(gè)生物種群u,v的擴(kuò)散系數(shù)；Ω是Rn中具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域；n表示邊界?Ω的外法向量；Di,ai,bi(i=1,2),μ為非負(fù)參量，α,β為正常數(shù)；δ>0是化學(xué)引誘物的退化率．

趨化性模型是一類強(qiáng)耦合非線性交叉擴(kuò)散模型，對(duì)其研究具有重要的理論和實(shí)際意義，本文中利用函數(shù)變換技巧、迭代技巧和比較原理得到了關(guān)于模型(1)的解的各種性態(tài)，巧妙地避開了強(qiáng)耦合交叉擴(kuò)散帶來的分析困難，其結(jié)論也印證了生態(tài)系統(tǒng)中一些趨化性系統(tǒng)生態(tài)變化過程．

方便起見，首先給出一些相關(guān)定義．

定義1[5]假設(shè)(u(x,t),v(x,t),w(x,t))是模型(1)定義區(qū)間[0,T)上的正解， 如果T→+∞, 則稱(u(x,t),v(x,t),w(x,t))是模型(1)全局解，否者為局部解.

定義2[5]模型(1)的局部解u(x,t)稱為爆破或者坍塌， 如果存在一個(gè)有限時(shí)刻T>0使得

模型(1)的全局解u(x,t)稱為最終爆破或者最終坍塌， 如果

1 函數(shù)變換

本節(jié)利用函數(shù)變換技巧得到系統(tǒng)(1)的等價(jià)模型．

(2)

本文中取D1=D2=1，否則可以利用伸縮變換化成擴(kuò)散系數(shù)為1的情形.

對(duì)任意給定的QT上的光滑函數(shù)w(x,t)，

(3)

是半線性反映擴(kuò)散方程的初邊值問題，對(duì)此問題比較原理是有效的.由拋物型方程理論可知，系統(tǒng)(3)存在唯一的局部解(p(x,t),q(x,t))，它的正則性依賴于初值. 如果p0(x)∈Cε(Ω), 則p(x,t)∈C2+ε,∞(Ω×(0,T)).

為方便起見本文中系統(tǒng)的解指的是滿足系統(tǒng)(1)且屬于空間C2+ε,∞(Ω×(0,T))的函數(shù)，

引理1[1]p(x,t),q(x,t)∈C2+ε,∞(Ω×(0,T))是系統(tǒng)(3)的有界解當(dāng)且僅當(dāng)(u(x,t),v(x,t),w(x,t))是系統(tǒng)(1)的有界解，且滿足：

我們令

2 解的漸近性態(tài)

(4)

(5)

利用比較原理可得如下結(jié)論：

由比較原理，存在

使得

定理1證畢．

注記1 為考察模型的生物意義,u、v、w非負(fù)；δ>0表示化學(xué)吸引物質(zhì)w的自我揮發(fā)率或損耗率；μ>0表示生物種群u有利于化學(xué)物w的增長，例如,生物種群自身分泌的粘液等.

定理2 若參數(shù)滿足a1>c0(a2+δ),c0≥1,a1≥a2-δ>δ，則系統(tǒng)(1)存在唯一的全局解(u(x,t),v(x,t),w(x,t))，且系統(tǒng)解(u(x,t),v(x,t),w(x,t))最終爆破．

證明 由a1>c0(a2+δ),a1≥a2-δ>δ，可知

再由a1>δ和w(x,t)的表達(dá)式,可以推得

定理2證畢．

定理3 若參數(shù)滿足a1+δ

(i) 當(dāng)c0a2-δ

(ii) 當(dāng)a1+δ-c0a2≤0時(shí)，u(x,t),w(x,t)最終坍塌，v(x,t)一致有界．

證明 由a1+δ

又因?yàn)閏0<1，可知

這意味著w(x,t)一致有界, 進(jìn)而可知u(x,t),v(x,t)也一致有界.

定理3證畢．

利用定理3中類似的方法可以推得如下結(jié)論成立，

定理4 若a1+δ

[1] Keller E F, Segel L A. Initiation of slime mould aggregation viewed as an instability[J]. J Theoret Biol, 1970, 26: 399-415.

[2] Othmer H G, Stevens A. Aggregation, blow-up, and collapse: The ABC’s oftaxis and reinforced random walks[J]. SIAM J Appl Math, 1997, 57: 1044-1081.

[3] Levine H A, Sleeman B D M.Nilsen-Hamilton, Mathematical modeling of the onset of capillary formation initiating angiogenesis[J]. J Math Biol, 2001, 42: 195-238.

[4] 陳學(xué)勇，楊 茵.一類趨化性模型行波解的存在性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2012,55(5):817-828．

[5] Yang Y, Chen H, Liu W A. On existence of global solutions and blow-up to a system of Reaction-Diffusion equations modelling chemotaxis[J]. SIAM J Math Anal, 2001,33:763-785.

[6] Murray J D. Mathematical Biology[M]. Berlin： Springer, 1993.

責(zé)任編輯：周 倫

The Behavior of the Solutions to a Multi-group Chemotaxis Model

CHEN Xue-yong, LI Xue-chen

(SchoolofMathematicsandstatistics,XuchangUniversity,Xuchang461000,China)

In this paper, we study a modified multi-group Othmer-Stevens chemotaxis model. By using the methods of comparison principle and function transformation, the sub-supersolution of corresponding system is obtained. Furthermore, we prove the global existence, blow-up and collapse phenomenon of chemotaxis system under different conditions.

chemotaxis system; global existence; blowing up of solution; collapse

2015-12-01

河南省基礎(chǔ)與前沿項(xiàng)目(142300410103)； 河南省教育廳基礎(chǔ)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(15A110042); 許昌市科技局項(xiàng)目(1404003); 許昌學(xué)院優(yōu)秀青年骨干教師資助項(xiàng)目; 許昌學(xué)院自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目(2015109, 2016078)

陳學(xué)勇(1983—)，男，山東泰安人，講師，博士，研究方向：偏微分方程理論及應(yīng)用.

1671-9824(2016)02-0009-06

O175.29

A