文/靳桂霞

用對(duì)稱美巧解數(shù)學(xué)問題

文/靳桂霞

大自然中具備對(duì)稱美的事物有許許多多，如楓葉、蝴蝶的翅膀等等，對(duì)稱本身就是一種和諧、一種美。對(duì)稱美在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用也非常廣泛，如：大家都非常熟悉的軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形等等，其實(shí)在各知識(shí)領(lǐng)域中，均可發(fā)現(xiàn)對(duì)稱原理的應(yīng)用。如何讓學(xué)生掌握對(duì)稱這一基本原理去解決一些實(shí)際問題，找到事物之間的內(nèi)在統(tǒng)一性，用數(shù)學(xué)的思想去內(nèi)化這一既簡(jiǎn)單又蘊(yùn)涵深刻哲理的原理，這需要教育者深層次地了解問題的本質(zhì)特征。

從回文數(shù)中得到啟發(fā)，巧解等差數(shù)

回文數(shù)有許多，如：2002年就是一個(gè)回文數(shù)。整數(shù)乘法中最有趣的一個(gè)回文數(shù)就是：1×1=1，11×11=121。對(duì)回文數(shù)這一特殊現(xiàn)象，學(xué)生大多會(huì)產(chǎn)生濃厚的興趣。運(yùn)用這種對(duì)稱的思想去解答一些難題時(shí)，就會(huì)事半功倍。在小學(xué)對(duì)于基礎(chǔ)比較好的學(xué)生來說，學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和時(shí)，大都用公式（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2來教學(xué)，可對(duì)于小學(xué)生來說，理解和掌握這個(gè)問題有一定困難。運(yùn)用回文數(shù)的思想巧解等差數(shù)類型題的巧妙之處，在于將抽象的一組等差數(shù)列求和，轉(zhuǎn)化為形象生動(dòng)的形似回文數(shù)一般的對(duì)稱求和方法，這和物理學(xué)中所說的正物質(zhì)和反物質(zhì)有異曲同工之妙。其實(shí)等差數(shù)列求和都可以用這種思路解答，運(yùn)用對(duì)稱的思維來理解等差數(shù)列比單純講求和公式要形象、生動(dòng)得多。

從軸對(duì)稱圖形中發(fā)現(xiàn)對(duì)稱原理的巧用

根據(jù)軸對(duì)稱圖形的一半和對(duì)稱軸可以精確地畫出軸對(duì)稱圖形的另一半圖形，這是在教學(xué)了軸對(duì)稱圖形后常見的習(xí)題。在數(shù)學(xué)中，軸對(duì)稱圖形同時(shí)也為人們研究數(shù)學(xué)提供了某些啟示，例如在博弈問題中也常運(yùn)用這一原理。如：桌面上有21個(gè)棋子，排成一排，你一次可以任意拿取一到三個(gè)棋子，但拿一粒以上棋子時(shí)必須是相鄰的即中間沒有空隔或其他棋子，問：“兩人輪流拿誰拿到最后一粒誰贏？你如果先拿能保證贏嗎？”這題看上去挺復(fù)雜，按排列組合眾多拿法要想一一分析清楚太費(fèi)力，其實(shí)運(yùn)用對(duì)稱原理就非常簡(jiǎn)單，先拿的人只要先拿走中間一粒，左、右兩邊各剩十粒，這樣對(duì)方拿左邊的棋子，你就拿右邊的棋子，并且個(gè)數(shù)和位置和他對(duì)稱，如此一來，只要他有的拿，你也有的拿，因此最后一粒必然落入你手中，因此先拿必勝。如果棋子是20粒（偶數(shù)個(gè)），你就先拿中間的兩粒，讓左右兩邊各剩9粒棋子，這樣你就必勝。

運(yùn)用對(duì)稱原理巧算方程

大家都知道算術(shù)思維是逆向思維，而方程思維是順向思維。用方程的思維可以解答一些算術(shù)方法較難解決的問題。小學(xué)生對(duì)算術(shù)的解法根深蒂固，可對(duì)方程的解法卻始終有排斥的心理。究其原因，是學(xué)生對(duì)方程缺乏深層的理解，沒有認(rèn)識(shí)到方程本身就是運(yùn)用對(duì)稱的原理，不論正反比例關(guān)鍵是要找到不變的量，方程的左邊和右邊就像軸對(duì)稱圖形的左右兩邊，雖然模樣不完全一樣，但是結(jié)果大小一樣。左邊和右邊找到了不變的量也就會(huì)列方程了。同樣的，在解方程中如果運(yùn)用對(duì)稱的原理，就使得問題簡(jiǎn)單得多。“對(duì)稱”在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)是普遍的：軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、對(duì)稱多項(xiàng)式等。奇偶性也可以視為對(duì)稱，從運(yùn)算關(guān)系角度看，互逆運(yùn)算也可視為對(duì)稱關(guān)系。

作為教師不僅要傳授學(xué)生知識(shí)，更重要的是要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美、創(chuàng)造美的能力，讓學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)的過程中滲透數(shù)學(xué)的美，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，從而進(jìn)一步提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，努力探索世界的真、善、美，就像一位物理學(xué)家所說的那樣：如果一個(gè)理論它是美的，那它一定是個(gè)真理。

(作者單位：北京市順義區(qū)龍灣屯中心小學(xué)）