文/常　青

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領(lǐng)悟數(shù)學(xué)真諦， 感受數(shù)學(xué)魅力

文/常青

中學(xué)生在初中或高中所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用，通常在出校門后不到一兩年就忘掉了。然而不管他們從事什么職業(yè)，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長(zhǎng)期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用。

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，方法是數(shù)學(xué)的行為，思想是數(shù)學(xué)的靈魂。不管是數(shù)學(xué)概念的建立，數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，還是數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，乃至整個(gè)“數(shù)學(xué)大廈”的構(gòu)建，核心問(wèn)題在于數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)和建立。數(shù)學(xué)家喬治·波利亞說(shuō)過(guò)，完善的思想方法猶如北極星，許多人通過(guò)它而找到正確的道路。課堂教學(xué)在教給學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí)，更重要的是讓學(xué)生真正領(lǐng)悟隱含于數(shù)學(xué)問(wèn)題探索中的數(shù)學(xué)思想方法。

基本的數(shù)學(xué)思想是指從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉出的一些觀點(diǎn)，它在后繼認(rèn)識(shí)中被反復(fù)證實(shí)其正確性，帶有一般意義和相對(duì)穩(wěn)定的特征。它包括符號(hào)思想、集合思想、對(duì)應(yīng)思想、建模思想、數(shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想、函數(shù)與方程的思想、極限思想等。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法的升華與結(jié)晶。數(shù)學(xué)方法是在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中所運(yùn)用的具體手段（或途徑）。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段，因此，兩者必須結(jié)合在一起。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要求教師鉆研教材時(shí)，挖掘數(shù)學(xué)思想方法；教學(xué)過(guò)程時(shí)，滲透數(shù)學(xué)思想方法；突破難點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法；練習(xí)反思時(shí)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法；歸納總結(jié)時(shí)，提升數(shù)學(xué)思想方法。使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，懂得數(shù)學(xué)的價(jià)值，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考和解決問(wèn)題，能把知識(shí)的學(xué)習(xí)與培養(yǎng)能力、發(fā)展智力有機(jī)地統(tǒng)一起來(lái)。下面就談?wù)勗谄匠５慕虒W(xué)中如何加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透：

分析教材，挖掘數(shù)學(xué)思想方法

例如在研究“可能性”時(shí)，展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想；研究“三角形內(nèi)角和”時(shí)，滲透化歸思想；在研究“分類”時(shí)，挖掘分類思想；研究“運(yùn)算定律”時(shí)，滲透符號(hào)、轉(zhuǎn)化思想；研究“平面圖形之間的關(guān)系”時(shí)，滲透集合思想、轉(zhuǎn)化思想；在挖掘“循環(huán)小數(shù)”時(shí)，滲透極限思想等等。教師要認(rèn)真分析和研究教材，理清教材的體系和脈絡(luò)，高屋建瓴，建立各類概念、知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，歸納和揭示其蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法。特別要學(xué)會(huì)根據(jù)教材特點(diǎn)和學(xué)生實(shí)際研究教學(xué)方法，創(chuàng)造如何把數(shù)學(xué)思想方法滲透到具體的數(shù)學(xué)知識(shí)中的條件，設(shè)計(jì)出便于學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)、掌握方法，形成思想的課堂教學(xué)。

呈現(xiàn)過(guò)程，滲透數(shù)學(xué)思想方法

在知識(shí)形成過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法呈隱蔽形式，滲透在學(xué)生獲得知識(shí)和解決問(wèn)題的過(guò)程中，如果能有效地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程，讓學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、抽象、概括的過(guò)程中，看到知識(shí)背后蘊(yùn)涵的思想，那么學(xué)生所掌握的知識(shí)才是可遷移的，學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)才能得到質(zhì)的飛躍。

如圓的面積教學(xué)，重點(diǎn)是化歸思想的滲透，難點(diǎn)是極限思想的滲透。因此，筆者是這樣設(shè)計(jì)的：第一，能不能用數(shù)方格的方法推導(dǎo)圓面積計(jì)算？第二，能不能用幾個(gè)相同圓拼成已學(xué)圖形？第三，能不能把圓剪拼割補(bǔ)成已學(xué)圖形？前兩個(gè)問(wèn)題學(xué)生異口同聲：不能！而第三個(gè)問(wèn)題一提出，學(xué)生有的說(shuō)行，有的說(shuō)不能，這時(shí)老師就與學(xué)生完成實(shí)驗(yàn)。學(xué)生有的拼成近似長(zhǎng)方形，有的拼成近似三角形，近似梯形等。然后讓學(xué)生閉上眼睛想，如果分的份數(shù)再多呢，這條線將怎么樣？這個(gè)圖形將怎么樣？越來(lái)越多……無(wú)限多呢？這樣的教學(xué)雖然練習(xí)做得很少，但學(xué)生對(duì)極限思想，化歸思想領(lǐng)悟較深。

在解題過(guò)程中讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題是最基本的活動(dòng)形式之一。教師在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中注意引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化、符號(hào)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法，優(yōu)化解題技巧，提高解題效率。要在解題過(guò)程中揭示后續(xù)解題活動(dòng)中解決類似問(wèn)題的通用思想方法。讓數(shù)學(xué)習(xí)題的解答過(guò)程，既是數(shù)學(xué)思想方法親身體驗(yàn)和獲得的過(guò)程，也是通過(guò)運(yùn)用加深認(rèn)識(shí)的過(guò)程。

例如，在解決“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，學(xué)生初讀題目，有些無(wú)從下手。這時(shí)就需要教師引導(dǎo)學(xué)生用容易探究的小數(shù)量代替原題中的大數(shù)量讓學(xué)生探究。第一，重點(diǎn)滲透假設(shè)思想。第二，滲透建模思想。引導(dǎo)學(xué)生掌握“雞兔同籠”問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和求解模型，并引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用這一模型解決其他問(wèn)題。第三，滲透化歸思想。讓學(xué)生意識(shí)到許多問(wèn)題都可以化為“雞兔同籠”問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到這類問(wèn)題在日常生活中的廣泛性。

在解決實(shí)際問(wèn)題中滲透數(shù)學(xué)思想方法加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去分析解決生活實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生抽象、概括、建立數(shù)學(xué)模型，探求問(wèn)題解決的方法，使學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)一步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法。

例如：生活中“付整找零”的生活原型是學(xué)生熟悉的事例。教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情景：小明的爸爸原來(lái)有325元錢，這個(gè)月又可以領(lǐng)到298元獎(jiǎng)金，讓學(xué)生扮演爸爸和發(fā)獎(jiǎng)人，發(fā)獎(jiǎng)人給爸爸3張100元的，爸爸要找回2元。把這樣的生活原型提煉為數(shù)學(xué)模型，學(xué)生在計(jì)算325+298時(shí)，用325+298=325+300-2，從而明白“多加要減”的算理。像這樣從學(xué)生熟悉的“常識(shí)”上升為“數(shù)理”就是一個(gè)建模的過(guò)程。

突破重難點(diǎn)，巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)，往往就是需要有意識(shí)地運(yùn)用或揭示數(shù)學(xué)思想方法之處。數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，往往與數(shù)學(xué)思想方法的更新交替、綜合運(yùn)用、跳躍性較大有關(guān)。因此，教師要掌握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，更要有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法組織教學(xué)。

領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法為我所用

數(shù)學(xué)思想方法的獲得，不僅要求教師有意識(shí)地滲透，而更多的是要靠學(xué)生自身在練習(xí)和反思的過(guò)程中領(lǐng)悟。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)該精心設(shè)計(jì)練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)不斷的練習(xí)自覺地檢查自己的思維活動(dòng)，反思自己是怎樣發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題，運(yùn)用了哪些基本的思考方法、技能和技巧。只有這樣才能對(duì)數(shù)學(xué)思想方法有所認(rèn)識(shí)，由此對(duì)數(shù)學(xué)的理解一定會(huì)由量的積累發(fā)展到質(zhì)的飛躍。

例：一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？此題若把五次所喝的牛奶加起來(lái)，即1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32就為所求，但這不是最好的解題策略。先畫一個(gè)正方形，并假設(shè)它的面積為單位“1”，由圖可知，1－1/32就為所求，這里不但向?qū)W生滲透了數(shù)形結(jié)合思想，還向?qū)W生滲透了類比的思想。

在歸納總結(jié)中提煉數(shù)學(xué)思想方法

探索數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程，其重要性絕不亞于結(jié)論本身。在課堂教學(xué)小結(jié)、單元復(fù)習(xí)時(shí)，適時(shí)對(duì)某種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行概括和強(qiáng)化，不僅可以使學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的高度把握知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)在的規(guī)律，而且可使學(xué)生逐步體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的精神實(shí)質(zhì)。

如：幾何教學(xué)中運(yùn)用化歸思想，將原圖形通過(guò)割補(bǔ)、分割、平移、翻折等途徑加以“變形”，把未知的面積計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知圖形的面積計(jì)算問(wèn)題，可使題目變難為易，求解也水到渠成。這樣，不僅使每個(gè)學(xué)生明確了不同圖形面積計(jì)算的相應(yīng)方法，而且領(lǐng)悟到了還有比計(jì)算公式更重要的東西。那就是：把新知轉(zhuǎn)化為舊知，再利用舊知解決新知的化歸思想方法。

在一個(gè)人的一生中，最有用的不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是數(shù)學(xué)的思想和數(shù)學(xué)的意識(shí)。數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生過(guò)程的提煉、抽象、概括和升華，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。只要認(rèn)真發(fā)掘教材內(nèi)容中隱含的數(shù)學(xué)思想方法，把它滲透到學(xué)生思維過(guò)程中，滲透到知識(shí)形成的過(guò)程中去，滲透到課堂小結(jié)中去，滲透到學(xué)生作業(yè)中，才能使學(xué)生在探究學(xué)習(xí)中親身經(jīng)歷、感受、理解、掌握和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，才能真正地讓數(shù)學(xué)思想方法在與知識(shí)能力形成的過(guò)程中共同生成。做一個(gè)真正的“智”者，引領(lǐng)孩子揚(yáng)起思想的風(fēng)帆，感受數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力！

（作者單位：重慶市大學(xué)城第一小學(xué)）

數(shù)學(xué)教材體系有兩條基本線索：一條是數(shù)學(xué)知識(shí)，這是明線；另一條是數(shù)學(xué)思想方法，這是蘊(yùn)含在教材中的暗線。因此，作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師必須在備課時(shí)深入鉆研教材，認(rèn)真體會(huì)教材內(nèi)容的編排意圖，能夠從中挖掘出一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，了解它們?cè)谛W(xué)教材中是怎樣滲透的，教學(xué)應(yīng)達(dá)到怎樣的要求。