應毓海

(安徽廣播影視職業(yè)技術學院　信息工程系，合肥　230011)

?

Contourlet域分形編碼的圖像插值算法

應毓海

(安徽廣播影視職業(yè)技術學院信息工程系，合肥230011)

摘要：自然圖像具有分形局部自相似結構，不同區(qū)域不同尺寸的圖像塊之間存在相似關系。對圖像作contourlet變換，根據(jù)圖像的contourlet域分形編碼確定子樹與父樹之間的變換參數(shù)，建立相鄰尺度不同區(qū)域子帶系數(shù)間的變換關系，由已知子帶對未知的高頻子帶進行恢復，經(jīng)contourlet逆變換得到高分辨率插值圖像。實驗表明，該算法能夠?qū)D像的結構細節(jié)實現(xiàn)準確有效的恢復，具有較高的插值精度和圖像質(zhì)量。

關鍵詞：圖像插值；分形；局部自相似；contourlet變換

插值是圖像處理中的基本問題，圖像中未知高頻細節(jié)的精確恢復是圖像插值的主要內(nèi)容。根據(jù)Shannon采樣定理，對于一個帶寬有限的圖像，當采樣頻率不低于其Nyquist頻率時，用sinc函數(shù)進行內(nèi)插可以恢復原始的連續(xù)圖像。由于sinc函數(shù)物理不可實現(xiàn)，一些學者提出最鄰近、雙線性和B樣條[1-3]等一系列經(jīng)典的插值算法進行近似。這類方法實現(xiàn)簡單、速度快，但經(jīng)常會在插值圖像中形成模糊或鋸齒效應，插值質(zhì)量不高。其根本原因在于它們所采用的是一個過度簡化的分段光滑圖像模型。基于局部自相似結構的圖像描述方法是近年來提出的一種分形描述方法，它將圖像定義為一個帶映射的局部迭代函數(shù)系統(tǒng)的吸引子，并使用拼貼定理進行重建[4-8]。局部迭代函數(shù)系統(tǒng)通常由“父塊-子塊對”和相應的相似變換關系表示。本文利用圖像中的局部自相似結構，通過contourlet域中的分形圖像編碼，尋找存在相似關系的最優(yōu)“子樹-父樹對”，建立相鄰尺度子帶間的變換關系，由已知子帶對未知的高頻子帶進行恢復，實現(xiàn)圖像的精確插值。

1Contourlet域分形編碼算法

Contourlet變換[9]是利用拉普拉斯分解和方向濾波器組實現(xiàn)的一種多分辨率、局部的、多方向圖像表示方法，與普通的二維可分離小波變換相比，contourlet基函數(shù)具有多方向的各向異性支撐，能夠有效地對圖像中分段光滑的邊界進行表達，較好地反映出圖像中的邊緣結構特征。設空域圖像塊R大小為2J×2J。若不考慮低頻，則R的高頻成份對應于contourlet域中一棵根在第J級子帶的樹TJ，該樹由一簇分別代表不同方向的分支組成。設第j級子帶具有2L個方向，則TJ的第j級子帶數(shù)據(jù)TJ,j由2L-1個水平主導方向數(shù)據(jù)塊(尺寸為2J-j-L+1×2J-j)和2L-1個垂直主導方向數(shù)據(jù)塊(尺寸為2J-j×2J-j-L+1)塊構成，TJ,j的尺寸為2J-j+1×2J-j+1。

空域的塊對應于contourlet域中的樹，因此當空域中兩個塊R與D具有相似性時，它們在contourlet域中所對應的樹TR和TD之間也是相似的。更進一步，因為R與D的相似性不因空域分辨率的降低而改變，因此TR和TD的各級子帶數(shù)據(jù)間也存在相似性(見圖1)。

圖1　自相似結構

(1)

(2)

c為收縮算子，它使樹失去最精細的第1級子帶數(shù)據(jù)，也即下降一級分辨率。c滿足

(3)

gm,n為對比度拉伸因子，可按下式進行最優(yōu)求解

(4)

(5)

分形解碼以迭代方式進行。由(2)式及收縮算子的定義可得

(6)

2插值算法

定義樹的膨脹算子d，它使樹生長更精細的超分辨率子帶Ψ0，也即提升一級分辨率

(7)

(8)

因為d和c為互逆算子，所以

(9)

(10)

當j=0時，得

(11)

圖2　子樹的第0級子帶系數(shù)(以虛線框表示)由其父樹的第1級子帶系數(shù)恢復

以(11)式為基礎，采用下列算法對圖像進行插值，流程如圖3所示。

圖3　插值流程框圖

相應的算法步驟總結如下，

Step 1：給定插值誤差控制閾值εinterp；

Step 2：將根在第J級子帶的所有子樹加入任務隊列Qsearch并標記為“高頻未恢復”；

Step 5：返回Step 3，進行Qsearch中下一棵子樹的恢復，直到Qsearch中的所有子樹都標記為“高頻已恢復”；

Step 6：作contourlet逆變換，得到2×2倍的高分辨率插值圖像。

重復使用上述算法，可以獲得更高倍數(shù)(4×4倍或8×8倍等)的插值圖像。

3實驗

為驗證本文所提出的插值算法的正確性和有效性，對標準測試圖像Lena、Barbara、Goldhill、Mandrill、Boat和Peppers進行插值實驗，從主觀視覺質(zhì)量和客觀PSNR值對插值結果進行考查。所使用的測試圖像全部取自標準測試圖像庫，圖像尺寸為512×512像素，8位灰度量化。插值算法中的參數(shù)為：J=3，εinterp=10，4×4次cycle-spinning循環(huán)位移操作。Contourlet變換采用Daubeches 9/7濾波器組，四個高頻子帶Ψ4、Ψ3、Ψ2和Ψ1的方向數(shù)分別為4、4、8和8，超分辨率子帶Ψ0的方向數(shù)為16。

圖4和圖5給出使用本文插值算法分別對Lena和Barbara進行2×2倍和4×4倍插值的結果。從帽子的邊緣、眼睛的輪廓和衣服的紋理等其他細節(jié)可以看出，本文提出的插值算法得到的圖像具有清晰的邊緣結構，不存在鋸齒和模糊現(xiàn)象。主觀視覺質(zhì)量較高。

圖5　Barbara圖像及插值結果(局部)

圖6給出本文算法與雙立方、邊緣導向插值(New Edge Direct Interpolation[10],NEDI)和基于方向濾波器及數(shù)據(jù)融合插值(Directional Filtering and Coefficients Fusion[11],FDCF)算法的4×4倍插值結果的主觀對比。在參于對比的三種算法中，雙立方插值沒有為圖像中提供任何新的信息，并且在邊緣處造成了模糊，所以效果最差。對于NEDI和FDCF，盡管在圖像的某些區(qū)域內(nèi)提供了比雙立方插值更好的高頻特征，但也引入了一些虛假的邊緣和人工痕跡，降低了圖像質(zhì)量。典型的人工痕跡如圖6(c)和(d)中的屋頂瓦片，該部分因為插值算法的強制性邊緣連接傾向而形成類似于金屬熔融樣式的錯誤結構。與NEDI和FDCF相比，本文算法取得的插值結果邊緣清晰銳利，結構重建真實自然，因此具有最好的圖像質(zhì)量。

圖6　Goldhill圖像及插值結果對比(4×4倍，局部)

盡管PSNR的大小與圖像質(zhì)量的高低之間并無必然的聯(lián)系，作為數(shù)值上的直觀參考，我們?nèi)匀唤o出本文算法與上述三種插值算法之間的PSNR對比。低分辨率圖像的尺寸為256×256，由原始的標準測試圖像作2×2局部平均后下采樣得到。

表1　插值算法PSNR值對比(2×2倍插值)

由表1可見，除Barbara圖像外，本文算法具有比其他三種算法更高的PSNR值(雖然雙立方插值算法在Barbara圖像中取得了較高的PSNR值，但該方法得到的插值圖像質(zhì)量并不高)，這與圖像主觀視覺質(zhì)量的感受基本一致。

4結論

本文對contourlet域高頻子帶中的樹狀局部自相似結構進行研究，通過contourlet域分形編碼實現(xiàn)子樹與父樹的最佳搜索配對，建立相鄰尺度子帶間的變換關系，由已知子帶對未知的高頻子帶進行估計。與經(jīng)典方法相比，本文提出的圖像插值算法主要優(yōu)勢為：一、contourlet小波基具有多方向性和各向異性，能夠?qū)D像中物體的邊緣輪廓進行稀疏表達，有效地反映了圖像的結構特征；二、算法著眼于相鄰高頻子帶間變換關系的建立，利用不同區(qū)域的局部邊緣結構之間的相似性進行插值，強調(diào)對圖像邊緣的恢復與重建，與人類視覺系統(tǒng)的特點相吻合。

下一步的研究目標應主要集中在進一步提高插值的精度上，可以對contourlet域分形編碼算法進行改進，使用子樹尺度可變的自適應四叉樹編碼策略，減小匹配誤差，進一步提高圖像的質(zhì)量。針對插值算法中分形編碼運算量較大，計算時間較長的缺點，可以研究利用GPU進行加速，縮短編碼時間。

參考文獻：

[1]Lehmann T M, G?nner C, Spitzer K. Survey: Interpolation Methods in Medical Image Processing[J].IEEE Trans Medical Imaging, 1999,18(11): 1049 -1075.

[2]Unser M. Splines: a Perfect Fit for Signal and Image Processing[J].IEEE Trans Signal Processing Magazine, 1999,16(6): 22-38.

[3]Lehmann T M, G?nner C, Spitzer K.Addendum: B-spline Interpolation in Medical Image Processing[J].IEEE Trans Medical Imaging, 2001,20(7): 660-665.

[4]Barnsley M F, Jacquin A. Application of Recurrent Iterated Function Systems to Images[J].Mathematics and Statistics, 1989,5(1): 3-31.

[5]Jacquin A. Image Coding Based on a Fractal Theory of Iterated Contractive Image Transformations[J]. IEEE Trans Image Processing, 1992,1(1): 18-30.

[6]Davis G. A Wavelet-based Analysis of Fractal Image Compression[J].IEEE Trans Image Processing, 1998,7(2): 141-154.

[7]Hyun J, Lickho S. A Spectrum-based Searching Technique for the Most Favorable Section of Digital Music[J]. IEEE Trans Consumer Electronics, 2009,55(4): 2122-2126.

[8]Lu J, Ye Z X, Zou Y R. Huber Fractal Image Coding Based on a Fitting Plane[J].IEEE Trans Image Processing, 2013,22(1): 134-145.

[9]Do M N, Vetterli M. The Contourlet Transform: an Efficient Directional Multiresolution Image Representation[J].IEEE Trans Image Processing, 2005,14(2): 2091-2106.

[10] Li X, Orchard M T. New Edge Directed Interpolation[J].IEEE Trans Image Processing, 2001,10(10): 1521-1527.

[11] Zhang L. An Edge Guided Image Interpolation Algorithm via Directional Filtering and Coefficients Fusion[J].IEEE Trans Image Processing, 2006,15(8): 2226-2238.

[責任編輯：張永軍]

Image Interpolation Based on Fractal Encoding in Contourlet Domain

YING Yu-hai

(Department of Informaition and Engineering, Anhui Broadcasting Movie and Television Vocational College,Hefei 230011, China)

Abstract:Local self-similarities exist in nature images widely. Image blocks with different sizes in different areas are similar to each other. In this paper,such main research contents are conducted:Decompose the image using contourlet transform,calculate the parameters involves in the transform relation between child tree and parent tree based on the fractal encoding in contourlet domain,and establish the transform relation connecting different areas in adjacent subbands. With the help of relations between adjacent subbands,a restoration algorithm of the unknown high frequency subband using known subbands is studied and the high-resolution image is obtained by performing the inverse contourlet transform. Experimental results show that the proposed interpolation algorithm can effectively recover the structural details of images,and as a result high interpolation accuracy and image quality are achieved.

Key words:image interpolation; fractal; self-similarity; contourlet transform

中圖分類號：TP301.6

文獻標識碼：A

文章編號：1673-162X(2016)01-0035-06

作者簡介：應毓海(1965—)，男，安徽肥東人，安徽廣播影視職業(yè)學院信息工程系副教授。

基金項目：安徽省教育廳科學技術研究重點項目(kj2014A033)資助。

收稿日期：2015-10-04修回日期：2015-12-08