朱玉揚

( 合肥學院　數(shù)學與物理系,合肥　230601 )

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一個與Riemann假設(shè)相關(guān)的不等式的研究

朱玉揚

( 合肥學院數(shù)學與物理系,合肥230601 )

摘要：運用分析的方法以及Chebyshev函數(shù)與素數(shù)定理的等價性質(zhì)證明 ≥0，由此得到≥0。

關(guān)鍵詞:Riemann 假設(shè); 非平凡零點; 調(diào)和數(shù); 不等式; 素數(shù)。

0引言

1984年,G. Robin[15-16]指出,如果 Riemann 假設(shè)成立 , 那么 n≥5 041時, 有

事實上，根據(jù)G. Robin的結(jié)論可知[15]，Riemann假設(shè)成立的充要條件是：存在正常數(shù)A, 對所有自然數(shù) n≥A, 有

以下將用運用分析的方法以及Chebyshev函數(shù)的性質(zhì)與素數(shù)定理的等價性質(zhì)證明

(1)

由此得到

1引理

為敘述方便計, 本文中所述的自然數(shù)不為零, 自然數(shù)集合記為 N, 全體素數(shù)的集合記為 P。

這里ph為P的所有元素按自小到大排列的第h(h=1,2,…,m)個元素,γ是 Euler 常數(shù)。

證法1

由于

(2)

證畢。

f1(q1,q2,…,qm)≥f1(2,3,5,…,pm),

ρ(q1)≤ρ(2),ρ(q2)≤ρ(3),ρ(q3)≤ρ(5),…,ρ(qm)≤ρ(pm),

又 ρ(qh)>0(h=1,2,…,m), 所以

于是 f2(q1,q2,…,qm)≥f2(2,3,5,…,pm), 但

f(q1,q2,…,qm)=f1(q1,q2,…,qm)+f2(q1,q2,…,qm),

由以上知, f(q1,q2,…,qm)≥f(2,3,…,pm)=f(p1,p2,…,pm), 即

證畢。

這里 γ 是Euler常數(shù),c 是大于零的常數(shù), ε 為任意小的正數(shù), p 為素數(shù)。

推論1 ?m∈N,αk≥1(k=1,2,…,m), 則有

(3)

這里pk為P的所有元素按自小到大排列的第k個元素,γ是Euler 常數(shù), c 是大于零的常數(shù), ε 為任意小的正數(shù)。

證明由于m∈N,αk≥1(k=1,2,…,m), 所以

由引理2

證畢。

引理3?αk≥1, 有

這里 pk為P的所有元素按自小到大排列的第k個元素。

由素數(shù)定理知, Chebyshev 函數(shù) ?(pm) 有如下性質(zhì)。

證明π(x)表示不超過x的素數(shù)的個數(shù), 那么(見文獻[20-21])

所以

另一方面[22]

所以

當 x=pm即證畢。

由 L′Hospital法則得到

令 μ=logx, 那么

再運用 L′Hospital法則得到

(4)

這里 γ 是Euler常數(shù) , pk為 P 的所有元素按自小到大排列的第 k 個元素。

證明 由推論3的(3)式知

另一方面,由引理4

由引理5知

所以

由于 ε 為任意小的正數(shù), 故由引理6得

因此(4)成立，證畢。

應(yīng)用Euler-Maclaurin求和公式可得如下結(jié)論[22]。

這里 γ 是Euler常數(shù),θ∈[0,1]

推論2

Hn>γ+logn

(5)

這里c1=0.2614…。

這里p,pm都為素數(shù)。

2主要結(jié)果

由推論9中的(5)式知

exp(Hn)log(Hn)>eγ+lognlog(γ+logn)>eγnloglogn

所以

(6)

故由(6)式知, 即要證下面(7)式

(7)

(8)

(I)m是無限大的, 即m→+∞；

①m有限, ?a1,a2,…,ar∈{1,2,…,m},a1

②m有限, ?b1,b2,…,bl∈{1,2,…,m}, 使得αbj→+∞(j=1,2,…,l。1≤l≤m)。

由引理1得

這里pk為P的所有元素按自小到大排列的第k個元素。由引理7的(4)式得

所以

即(8)式也成立，所以定理成立，證畢。

由上面定理即得如下推論。

本文中最關(guān)鍵的命題是引理1, 通過這個引理, 可以將任意自然數(shù)的素數(shù)分解式中的不同素數(shù)因子q1,q2,…,qm轉(zhuǎn)化為按照素數(shù)集合中從小到大順序排列的m個素數(shù)p1=2,p2=3,…,pm的情形來求證, 由此可方便地利用素數(shù)定理的相關(guān)性質(zhì)來證明本文定理。

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[責任編輯：張永軍]

On A Riemann Hypothesis Related Inequality

ZHU Yu-yang

(Department of Mathematics & Physics, Hefei University， Hefei 230601, China)

Abstract:Using mathematical analysis, Chebyshev function and the equivalence property of prime number theorem we give that ≥0.Here .

Key words:Riemann hypothesis;non-trivial zeros; harmonic number; inequality; prime number.

中圖分類號：O156

文獻標識碼：A

文章編號：1673-162X(2016)01-0001-08

作者簡介：朱玉揚(1957—)，男，安徽合肥人，合肥學院數(shù)學與物理系教授；研究方向：數(shù)論與組合學。

基金項目：合肥學院人才基金項目(14RC12)、合肥學院自然科學基金重點項目(12KY04ZD)、合肥學院重點建設(shè)學科項目(2014xk08)資助。

收稿日期：2014-06-20修回日期：2016-01-10