江蘇省啟東市第一中學(xué) 施建華

淺析高中數(shù)學(xué)數(shù)列式解題方法和訓(xùn)練技巧

江蘇省啟東市第一中學(xué) 施建華

高中數(shù)學(xué)知識點中，不等式、三角函數(shù)、解析幾何等部分屬于重頭戲，在歷年的高考試題中占據(jù)半壁江山，而數(shù)列與這這些重點知識不僅具有內(nèi)在的必然聯(lián)系，而且數(shù)列呈現(xiàn)的遞歸思想有利于學(xué)生系統(tǒng)學(xué)好數(shù)學(xué)，尤其能牢固掌握數(shù)列求和公式和數(shù)列通項公式等計算途徑。本文作者與時俱進(jìn)，緊密結(jié)合教學(xué)實際，暢談高中數(shù)學(xué)數(shù)列式解題數(shù)方法和訓(xùn)練技巧。

高中數(shù)學(xué)；數(shù)列教學(xué)；解題方法與技巧

高中數(shù)學(xué)是一門自然學(xué)科，是高中生學(xué)習(xí)生涯中的重頭戲，根據(jù)我省最近幾年的高考數(shù)學(xué)試題分析，設(shè)計數(shù)列方面的試題比例有所提升，因此，我們應(yīng)該高度重視數(shù)列知識的教學(xué)，為學(xué)生打響高考之仗掃清障礙。其實，高考數(shù)學(xué)主要考查是學(xué)生的基本功和活學(xué)活用的程度，作為考生只有在刻苦研讀的基礎(chǔ)上，才能找到解決問題的捷徑。筆者緊緊圍繞高考大綱開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動，現(xiàn)借此平臺淺談高中數(shù)學(xué)數(shù)列式解題方法和訓(xùn)練技巧的體會，以達(dá)拋磚引玉之宗旨。

一、高中數(shù)列知識的重要性

初中數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)重視考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，而高中數(shù)學(xué)側(cè)重于考查學(xué)生的解題能力，高中數(shù)學(xué)教材和高中數(shù)學(xué)教學(xué)也以教授解題方法為主，而不僅僅是掌握一些理論知識或者有限的解題技巧。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中一個獨立的章節(jié)，和三角函數(shù)、不等式等同樣重要，并且數(shù)列知識是其他很多知識的鋪墊和基礎(chǔ)，應(yīng)用數(shù)列知識能夠高效方便地解決很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。數(shù)列實際上是一種簡單的、基礎(chǔ)的離散數(shù)學(xué)，數(shù)列也是一種特殊的函數(shù)，學(xué)好數(shù)列知識，不論是對整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)還是對大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都有重要幫助，因此教師和學(xué)生必須重視數(shù)列知識教學(xué)。

二、高中數(shù)列的解題方法和技巧

出題人在針對數(shù)列這部分知識出題時，考察的往往是學(xué)生的基本能力，考察面無非是數(shù)列的基本概念、數(shù)列的基本性質(zhì)、等比數(shù)列、等差數(shù)列求和方法等，下面針對幾個考察面探討數(shù)列解題的方法和技巧。

1.考查數(shù)列基本概念

一些比較簡單的試題不考察學(xué)生的解題技巧，學(xué)生只需要將通項公式或者求和公式帶入即可得到答案，這種試題需要學(xué)生牢固掌握數(shù)列的基本概念和基本解題方法，并對題目有正確的理解。

例題1：有一等比數(shù)列，已知b1+b2+b3=21，首項b1=3，試求b3+b4+b5的值多少？這個問題雖然此涉及到的相關(guān)知識點學(xué)生都比較熟悉，但如果學(xué)生概念模糊，往往出現(xiàn)失分現(xiàn)象。我要求學(xué)生先求出公比，若公比為1，前三項之和則是9，所以公比不等于1；然后，讓學(xué)生寫出等比數(shù)列前n項和的求和公式，即：3(1-q3)/(1-q)=21，從這個式子解得公比q，再結(jié)合首項就可以得到b3+b4+b5的值。

2.考查數(shù)列的性質(zhì)

為了考查學(xué)生掌握數(shù)列的性質(zhì)，命題者在命題時給出的條件往往比較隱晦，學(xué)生必須縝密審題，并借助發(fā)散思維才能找到正確的解題途徑。

例題2：有一等差數(shù)列{xn}，已知x1+x7=27，試求x2+x3+x5+x6的值是多少？教師在指導(dǎo)學(xué)生解答此題的時候，先要搞清楚等差數(shù)列和等比數(shù)列之間的關(guān)系：p+q=m+n，然后利用這個關(guān)系解答：x1+x7=x2+x6=x3+x5=27，則x2+x3+x5+x6=(x2+x6)+(x3+x5)=54。

3.考查數(shù)列的通項公式

為了考查學(xué)生掌握數(shù)列通項公式的熟練程度，可以采取如下方式命題：①借助Sn-Sn-1=xn求數(shù)列的通項公式；②利用疊加或者疊乘的方法求通項公式；③在給出一個數(shù)列的前提下，讓學(xué)生根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，求出相應(yīng)數(shù)列的通項公式；④巧妙利用構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法求出通項公式。

4.考查數(shù)列的前n項和

就最近幾年我省高考數(shù)學(xué)題而言，數(shù)列求和等題目占據(jù)一定比例，我們只有高度重視這類題目的指導(dǎo)，才能讓學(xué)生掌握這些題型的解題方法，而數(shù)列求和主要包括分組求和、錯位相加（或相減）求和、合并求和等方法。

例題3：現(xiàn)有等差數(shù)列{xn}，前n項和為Sn，等比數(shù)列{yn}滿足y1=x1=2，y4+x4=27，S4-y4=10。（1）求出兩個數(shù)列的通項公式；（2）n為 正 整 數(shù)，Tn=xny1+xn-1y2+…+x1yn， 證 明Tn+12=-2xn+10yn。在求解第一（1）時，可以讓學(xué)生先求出xn=3n-1,yn=2n；(2)Tn=2xn+22xn-1+…+2nx1；2Tn=22xn+…+x,兩式相減可以得出Tn+12=-2xn+10yn。針對這種給出的式子為等比數(shù)列和等差數(shù)列相乘的形式，可以采用錯位相減法求證。

三、高中數(shù)列教學(xué)要點

1.重視考試大綱和重難點

考試大綱是學(xué)生在知識海洋里頂風(fēng)破浪前進(jìn)的航標(biāo)，是學(xué)生參與學(xué)習(xí)的指南針。但是，有些教師忽視考試大綱的研究，盲目開展教學(xué)活動，教條主義嚴(yán)重，導(dǎo)致學(xué)生即使掌握了理論知識，也不能找到解決問題的有效途徑。因此，我們一定要認(rèn)真學(xué)習(xí)、研究考試大綱，圍繞教學(xué)重點和難點進(jìn)行師生互動，緊密結(jié)合學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的典型性錯誤進(jìn)行分析、總結(jié)，讓學(xué)生自己整理出考數(shù)列知識中重點內(nèi)容，逐步構(gòu)建系統(tǒng)化的知識網(wǎng)絡(luò)。

2.掌握基礎(chǔ)性質(zhì)和概念

數(shù)列知識較為抽象，學(xué)生必須對基礎(chǔ)性質(zhì)和概念有全面深入的理解，才能以此為基礎(chǔ)運用多種解題方法和技巧，不應(yīng)通過題海戰(zhàn)術(shù)來訓(xùn)練學(xué)生的解題能力，而是應(yīng)該舉一反三，從基礎(chǔ)題下手，通過合理地利用公式和概念，再加上精確的計算來解決問題。

綜上，高中數(shù)列知識是其他部分知識的基礎(chǔ)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此教師必須重視數(shù)列教學(xué)，通過若干不同類型的數(shù)列題目有針對性地教學(xué)，讓學(xué)生掌握解題方法，培養(yǎng)學(xué)生的基礎(chǔ)能力，以提高學(xué)生的解題效率和準(zhǔn)確率。

[1]李娜.高中數(shù)列通項公式求解“一點通”[J].文理導(dǎo)航，2016（04）：65.