江蘇省海門市第一中學(xué)　姜春蕾

從應(yīng)用問題之中剖析特點，為數(shù)學(xué)題目解答提供啟示

江蘇省海門市第一中學(xué)姜春蕾

學(xué)生進(jìn)入高中的學(xué)習(xí)以后，他們的興趣點發(fā)生了質(zhì)的轉(zhuǎn)變，他們更趨向于學(xué)習(xí)內(nèi)容內(nèi)在價值的彰顯。因此，數(shù)學(xué)學(xué)科的價值在此需要更加突出。應(yīng)用問題在近些年的高考中表現(xiàn)尤為突出，在考查和變通的過程中，它不僅能充分彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力所在，還能引領(lǐng)學(xué)生的思維和習(xí)慣。因此，它的價值需要教師在實際教學(xué)中深入地實踐與研究。

應(yīng)用問題；啟示；思維；建模

應(yīng)用問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的“常客”。無論何種數(shù)學(xué)測試或是競賽，題目當(dāng)中都少不了應(yīng)用問題的影子。的確，應(yīng)用問題不僅僅是一種問題出現(xiàn)的形式，更是數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的一個出口。一方面，對于數(shù)學(xué)理論進(jìn)行探索，為的就是能夠用它來解決實際生活當(dāng)中的問題，也就是我們所說的應(yīng)用；另一方面，只有學(xué)生們能夠?qū)⒗碚撝R應(yīng)用起來，才是將數(shù)學(xué)內(nèi)容真正掌握到位了。具體至高中數(shù)學(xué)當(dāng)中，學(xué)生們對于應(yīng)用問題的解答能力對于整個知識掌握效果的影響就更大了。

一、識別問題模式，匹配知識內(nèi)容

應(yīng)用問題往往是以某個現(xiàn)實化情境的形式出現(xiàn)的，其中所涉及的理論性內(nèi)容總是被掩藏得比較深。這也讓許多學(xué)生不知道應(yīng)當(dāng)選擇何種方法來進(jìn)行解答。之所以會出現(xiàn)這種現(xiàn)象，原因在于學(xué)生們在面對應(yīng)用問題時略過了一個必要的環(huán)節(jié)，那就是“識別”。我們在這里所說的識別，就是透過文字?jǐn)⑹?，從題目當(dāng)中將知識理論剝離出來，進(jìn)而找到與之相匹配的數(shù)學(xué)方法的過程。

例如，學(xué)習(xí)過解析幾何后，我請學(xué)生們試著解答這個問題：某監(jiān)測中心的正北、正東、正西有三個觀測點，其中，正北與正西兩處同時聽到了一聲巨響，但正東觀測點晚4s聽到該響聲。若三個觀測點距離監(jiān)測中心的距離均為1020m，聲音傳播速度是340m/s，各點處于同一平面，那么，該巨響出現(xiàn)在什么位置？學(xué)生們通過分析發(fā)現(xiàn)，這個問題最終轉(zhuǎn)化為了雙曲線的內(nèi)容。由此，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生們對這類問題的特點進(jìn)行總結(jié)，題目中的4s所表示的是一個固定的長度差，當(dāng)出現(xiàn)這類條件時，以解析幾何方法予以解答的可能性就很大了。

對應(yīng)用問題背后的理論性內(nèi)容進(jìn)行識別，是解答該類題目的一個必要的前置性程序。只有以此為前提，學(xué)生們才能夠撥云見日，從實際性的文字?jǐn)⑹霎?dāng)中看到數(shù)學(xué)知識之所在，然后匹配到處理這類問題應(yīng)當(dāng)采用的思維方法，從而使問題順利求解。也只有在這個步驟的鋪墊之下，學(xué)生們才能開始打一場有準(zhǔn)備的仗。

二、適時數(shù)形結(jié)合，具化題目情境

在很多情況下，應(yīng)用問題出現(xiàn)的方式是比較抽象的。如果單從字面上來看，雖然能夠分析出其所要考查的內(nèi)容指向，卻很難順利地找到具體的解答方法。這就進(jìn)入到了應(yīng)用問題的具體操作階段，我們所需要思考的也就是相應(yīng)的解題策略了。在這之中，數(shù)形結(jié)合是應(yīng)用最為廣泛且效果最為顯著的解題方法之一。

例如，在學(xué)習(xí)過函數(shù)知識后，學(xué)生們遇到了這樣一道應(yīng)用問題：某商店進(jìn)了一批單價80元的商品，總量為400，且將售價確定為90元。經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的售價每增加1元，就會使得銷售量減少20。那么，為了讓商店所獲的利潤最大，應(yīng)當(dāng)將商品售價確定為多少？列方程求解的思路對于學(xué)生來講并不困難，但當(dāng)大家設(shè)售價增加x元，總利潤y元，并列出y=-20x2+200x+4000的方程之后，結(jié)果便無法一目了然了。為了求得y的最大值，馬上將該一元二次方程的圖像畫出來，借助對稱軸對拋物線走勢進(jìn)行分析，問題順利求解。

適時進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，可以將原本抽象的問題瞬間具化。以圖形的方式來闡釋文字的理論，更有利于學(xué)生們對之進(jìn)行感知和分析。對問題理解了，解答的方法也就自然隨之出現(xiàn)了。數(shù)形結(jié)合的思想，不僅可以適用于應(yīng)用問題的解答當(dāng)中，在高中數(shù)學(xué)的各類問題中幾乎都是可以廣泛適用的。

三、善用建模思維，搭建解題橋梁

建模思維是高中數(shù)學(xué)解題中十分常用且必要的一個思維方式，它指的是通過建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，來對現(xiàn)有問題進(jìn)行呈現(xiàn)與分析。在這個過程當(dāng)中，數(shù)學(xué)模型就像是一架橋，連通了數(shù)學(xué)問題與解答路徑，也為學(xué)生們提供了一個理論性的平臺，對解題思維進(jìn)行分析與設(shè)計，進(jìn)而找到最佳解題方式，準(zhǔn)確快速解題。

例如，學(xué)生們曾經(jīng)遇到過這樣一個問題：在房屋建筑當(dāng)中，我們將窗戶面積與房間面積之比稱為房間的“采光率”。一個房間的采光率越高，說明房間內(nèi)的亮度越高。那么，若是將窗戶的面積與房間的面積同時增大，該房間的亮度是增大了還是減小了呢？在這個問題當(dāng)中，沒有一個數(shù)字或字母出現(xiàn)，應(yīng)當(dāng)如何與數(shù)學(xué)之間建立聯(lián)系呢？這就需要建模思維的介入了。我鼓勵學(xué)生們大膽運用字母來表示未知，于是，大家將窗戶的面積設(shè)為a，將房間的面積設(shè)為b，二者共同增加的面積為m。這樣一來，原來的采光率便可以表示為a/b，之后的采光率則為a+m/b+m。對于采光率進(jìn)行比較，便轉(zhuǎn)化為了對兩個分式大小進(jìn)行比較，數(shù)學(xué)模型就這樣建好了。

善于運用建模思維的前提是學(xué)生們對于既有知識理論的熟練掌握。教師們在進(jìn)行基礎(chǔ)知識的教學(xué)時，應(yīng)當(dāng)有意識地將理論本身與相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型之間建立聯(lián)系，并經(jīng)常性地對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，使得知識與模型之間的對應(yīng)成為學(xué)生們的思維慣性。這樣一來，便可以大大簡化數(shù)學(xué)建模的思維過程，學(xué)生們在面對數(shù)學(xué)問題時也會更加從容了。

從之前的敘述當(dāng)中不難發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)當(dāng)中的應(yīng)用問題，其存在的意義不僅僅只在對學(xué)生知識掌握效果的檢驗上。在很多時候，解答應(yīng)用問題時所涉及的思維與方法，對于其他內(nèi)容與類型的問題解答來講都是大有助益的。遇到問題時，先進(jìn)行內(nèi)容剖析與識別，匹配出適合的方法，并在解題過程中適時運用數(shù)形結(jié)合與建模思維，化抽象為具體。這一系列分析方式，在高中數(shù)學(xué)解題當(dāng)中都是共通的。應(yīng)用問題對于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來講，就像是一盞明燈，為問題解答提供了普適性的路徑啟示。