木 仁，馬占新，文宗川

(1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；2.內(nèi)蒙古大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010021)

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法中決策單元偏序關(guān)系的建立

木 仁1，馬占新2，文宗川1

(1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；2.內(nèi)蒙古大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010021)

針對(duì)基于偏序集理論的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法中無(wú)法給出非規(guī)模收益不變模型中決策單元偏序關(guān)系的缺陷，提供了三種常見數(shù)據(jù)包絡(luò)分析模型中偏序關(guān)系的建立理論及偏序關(guān)系確定算法。該算法能夠給出各個(gè)決策單元之間的偏序關(guān)系矩陣的同時(shí)也能夠給出偏序關(guān)系圖，這為決策者提供了更多的決策依據(jù)。最終將這一方法應(yīng)用到了某省自然科學(xué)基金評(píng)價(jià)問(wèn)題中。

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法；偏序關(guān)系；規(guī)模收益；投影

1 引言

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法(Data Envelopment Analysis, DEA)是用于評(píng)價(jià)具有多投入多產(chǎn)出決策單元效率的方法。在過(guò)去三十年期間DEA方法得到了快速的發(fā)展與應(yīng)用[1]。

早期，學(xué)者們從不同角度提出了適合不同規(guī)模收益情形下的DEA模型——CCR[2]，BCC[3]，F(xiàn)G[4]，ST[5]模型，并將其匯總為了綜合DEA模型[6]。然而，這些模型依然不適用于眾多實(shí)際問(wèn)題的評(píng)價(jià)與決策，從而又分別提出了隨機(jī)DEA模型[7]，模糊DEA[8]模型，區(qū)間DEA[9]模型，超效率DEA模型[10]，廣義DEA模型[11]，網(wǎng)絡(luò)DEA模型[12]，多階段DEA模型[13]等。同時(shí)對(duì)模型的推廣及應(yīng)用方面近期研究工作者們又展開了進(jìn)一步的研究[14-23]。不難發(fā)現(xiàn)這些研究在決策單元投影、決策單元關(guān)系的深入挖掘、決策單元的分類與排序、決策單元真實(shí)有效的投影方式及逐步改進(jìn)方式方面的研究依然存在一定的缺陷。

基于建立決策單元特殊關(guān)系的目的，早期有馬占新首次提出了基于偏序集理論的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法[24]，并由木仁等共同對(duì)其進(jìn)行了推廣[25-27]。通過(guò)建立決策單元之間的特殊關(guān)系，進(jìn)一步完善了決策單元的投影理論。然而，這些方法中僅對(duì)規(guī)模收益不變的CCR模型進(jìn)行了研究，對(duì)其他DEA模型并未展開深入研究。

本文對(duì)規(guī)模收益不變，規(guī)模收益遞減及規(guī)模收益遞增的三種常見模型CCR、FG及ST模型中引進(jìn)了決策單元之間的偏序關(guān)系，并通過(guò)相關(guān)定理及其性質(zhì)，揭示了這一偏序關(guān)系的特性，最終通過(guò)相關(guān)算法給出了決策單元之間的偏序關(guān)系矩陣及偏序關(guān)系圖獲取方法。這一偏序關(guān)系矩陣及其偏序關(guān)系圖不僅為決策者提供了決策單元的逐步改進(jìn)方式，也為決策單元的分類及決策單元關(guān)系的確定提供了新的依據(jù)，也為規(guī)模收益可變DEA模型中決策單元特殊關(guān)系的建立提供了相關(guān)依據(jù)。

2 數(shù)據(jù)說(shuō)明及相關(guān)定義

假設(shè)CCR、ST及FG模型中的DMUi和DMUj的投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)表示為:

Xi=(x1i,x2i,…,xmi)T,Yi=(y1i,y2i,…,ysi)T

Xj=(x1j,x2j,…,xmj)T,Yj=(y1j,y2j,…,ysj)T

假定投入產(chǎn)出的每個(gè)分量都大于零，如果存在零或負(fù)的投入產(chǎn)出分量，則對(duì)所有投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)同時(shí)加上某一正數(shù)保障所有數(shù)據(jù)都大于零即可。 此時(shí)存在ap(p=1,2,…,m),bh(h=1,2,…,s)使得:

xpi=apxpj，yhi=bhyhj

如果令:

kij=min{a1,a2,…,am},

rij=max{b1,b2,…,bs}

則:

xpi≥kijxpj，yhi≤rijyhj

注：在上述數(shù)據(jù)中如果對(duì)ap,bh沒(méi)有約束，則所研究結(jié)論將適合于CCR模型，如果ap≥1且bh≥1，則所研究結(jié)論適合于ST模型，如果ap≤1且bh≤1，則所研究結(jié)論適合于FG模型。在文中后續(xù)部分我們不再進(jìn)行相關(guān)敘述。

定義1.1 如果a1=a2=…=am=b1=b2=…=bs，則稱CCR、ST及FG模型中的DMUi和DMUj是等價(jià)的，記為DMUi～DMUj。

定義1.2 如果kij≥rij，則稱CCR、ST及FG模型中的DMUi和DMUj存在序關(guān)系“”，將其記為DMUiDMUj。

定義1.3 如果kij>rij且kji>rji，則稱CCR、ST及FG模型中的DMUi和DMUj存在嚴(yán)格序關(guān)系“”，將其記為DMUiDMUj。

定義1.4 如果kij

定義1.5 設(shè)(P,)是一偏序集，x∈P，如果對(duì)任意的y∈P，若xy，則必有y=x，則稱x為偏序集(P,)的極大元[28]。

3 決策單元偏序關(guān)系相關(guān)定理及其性質(zhì)

定理1.1 定義1.2中引進(jìn)的CCR、ST及FG模型中序關(guān)系“”構(gòu)成一個(gè)偏序集。

證明 根據(jù)偏序集的相關(guān)定義，對(duì)任意的DMUi,DMUj,DMUl(i,j,l=1,2,…,n)，需證明自反性，反對(duì)稱性及傳遞性。

反對(duì)稱性：假定DMUiDMUj且DMUjDMUi，需證明DMUi=DMUj。

對(duì)于xpi=apxpj,yhi=bhyhj，kij,rij及在ap,bh相應(yīng)的約束下有:

kij≥rij

及其相應(yīng)約束下有:

kji≥rji

kji=min{1/a1,1/a2,…,1/am}=max{a1,a2,…,am}

rji=max{1/b1,1/b2,…,1/bs}=min{b1,b2,…,bs}

xpi≥kijxpj=min{a1,a2,…,am}xpj≥min{a1,a2,…,am}max{a1,a2,…,am}xpi

yhi≤max{b1,b2,…,bs}yhj≤max{b1,b2,…,bs}min{b1,b2,…,bs}yhi

于是:

min{a1,a2,…,am}max{a1,a2,…,am}≤1

max{b1,b2,…,bs}min{b1,b2,…,bs}≥1

由kij≥rij及kji≥rji得知kijkji≥rijrji，即:

min{a1,a2,…,am}max{a1,a2,…,am}≥max

{b1,b2,…,bs}min{b1,b2,…,bs}

于是:

min{a1,a2,…,am}max{a1,a2,…,am}=1

max{b1,b2,…,bs}min{b1,b2,…,bs}=1

這表明xpi=kijxpj,ypi=rijypj，若kij>rij，即min{a1,a2,…,am}>max{b1,b2,…,bs}，則:

max{a1,a2,…,am}

即kji

kij=rij。

這就證明了DMUi=DMUj。

傳遞性：如果DMUiDMUj成立且DMUjDMUl，需證明DMUiDMUl。

對(duì)于xpi=apxpj，yhi=bhyhj，kij，rij及其ap,bh相應(yīng)的約束下有：

kij≥rij

及其相應(yīng)約束下有：

kjl≥rjl

于是：

令kil=kijkjl,ril=rijrjl，則：

kil≥ril

這表明：

DMUiDMUl

證畢。

定理1.2 CCR、ST及FG模型中的DMUi是有效的，則DMUi必是CCR、ST及FG模型中的極大元。

證明 假設(shè)DMUi是有效的，但DMUi不是極大元，則存在DMUj≠DMUi使得：

DMUiDMUj

則對(duì)于kij,rij，有：

kij≥rij

此時(shí)：

xpi≥kijxpj,yhi≤rijyhj。

(1)如果kij>rij,則xpi≥kijxpj,yhi0，均有：

這說(shuō)明DMUj的效率值要大于DMUi的效率值。從而DMUi的效率值小于1，這與DMUi有效矛盾。

(2)如果kij=rij，則xpi≥kijxpj,yhi≤kijyhj此時(shí)由DMUi≠DMUj得知必存在p0或h0使得：

xp0i>kijxp0j或yh0i

從而：

這也與DMUi有效矛盾。

定理1.3 CCR、ST及FG模型中如果DMUiDMUj，則DMUi必是無(wú)效的。

證明 如果存在一個(gè)DMUj，使得：

DMUiDMUj

則對(duì)于xpi≥kijxpj,yhi≤rijyhj，由于kij>rij，故：

xpi≥kijxpj,yhi

此時(shí)?u,v≥0，均有：

即DMUi是無(wú)效的。

反之，如果DMUi是無(wú)效的，則不一定存在DMUj，使得DMUiDMUj。

定理1.4 CCR、ST及FG模型中DMUiDMUj，且DMUi與DMUj不等價(jià)，則DMUi至多是弱有效。

證明 如果DMUiDMUj，則kij,rij，有：

kij≥rij

從而：

xpi≥kijxpj,yhi≤rijyhj

如果kij>rij，則：

DMUiDMUj

根據(jù)定理1.3，DMUi是無(wú)效的。如果kij=rij，則：

xpi≥kijxpj,yhi≤rijyhj

因DMUi≠DMUj，故必存在p0或h0使得：

xp0i≥kijxp0j或yh0i≤rijyh0j

從而，對(duì)?u,v>0，必有：

這說(shuō)明DMUi不是有效的，但如果對(duì)任意給定的u,v≥0，我們可通過(guò)將某些權(quán)重設(shè)為零就有可能滿足：

這表明DMUi可能是弱有效的。

定理1.2說(shuō)明了CCR、ST及FG模型中極大元不一定是有效的，那么極大元滿足什么條件時(shí)必是有效的？以下對(duì)CCR、ST及FG模型中的決策單元的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)一步展開分析。

定理1.5 CCR、ST及FG模型中如果兩個(gè)決策單元DMUi及DMUj之間不存在序關(guān)系“”，則存在某兩組權(quán)重u1,v1≥0及u2,v2≥0使得：

證明 對(duì)于：

xpi=apxpj,yhi=bhyhj,kij,rij,kji,rji

及滿足相應(yīng)約束的變量有：

xpi≥kijxpj，yhi≤rijyhj，

xpj≥kjixpi，yhj≤rjiyhi

成立。因DMUi及DMUj之間不存在序關(guān)系“”，故DMUiDMUj及DMUjDMUi均不成立。從而：

kij

于是：

xpi>rijxpj,yhi≤rijyhj,

xpj>rjixpi,yhj≤rjiyhi

同理也可取定u2,v2≥0使得：

定理1.5表明，對(duì)于不存在偏序關(guān)系的兩個(gè)決策單元存在某一組權(quán)重使得一個(gè)決策單元的效率值低于另一個(gè)決策單元的效率值。

進(jìn)一步通過(guò)定義1.3及定理1.5不難發(fā)現(xiàn)CCR、ST及FG模型中的極大元本質(zhì)上是沒(méi)有任何決策單元的效率值能夠在任何權(quán)重下大于等于該決策單元。那么，為什么該極大元有時(shí)會(huì)是無(wú)效的？這是因?yàn)闆Q策單元對(duì)于其他決策單元的相對(duì)優(yōu)勢(shì)并不一定能夠轉(zhuǎn)化為對(duì)所有決策單元的絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。定理1.6對(duì)其進(jìn)行了進(jìn)一步的說(shuō)明。

定理1.6 CCR、ST及FG模型中如果DMUi是一極大元，但不是有效的。則對(duì)任意滿足條件：

的u,v>0，總存在DMUl，使得在該組權(quán)重下：

則在改組權(quán)重下對(duì)任意的決策單元DMUk均有：

成立，這表明DMUi是有效的，矛盾。

定理1.6說(shuō)明，如果DMUi是一極大元，但不是有效的，則在任何一組權(quán)重下DMUi均不能夠建立與其他決策單元的絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。

定理1.7 CCR、ST及FG模型中如果DMUi是一極大元，且存在一組權(quán)重u,v>0，使得對(duì)任意的DMUl，總有：

成立，則DMUi是有效的。

證明 根據(jù)定理1.6立即得到證明。

定理1.7表明CCR、ST及FG模型中極大元有效的充分必要條件是該決策單元相對(duì)其他所有決策單元具備絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。

4 決策單元偏序關(guān)系確定算法及決策

單元偏序關(guān)系圖的繪制

通過(guò)定理1.3得知了在CCR、ST及FG模型中有效的決策單元本質(zhì)上是相應(yīng)偏序集理論的極大元。為了更加直觀地觀察出各個(gè)決策單元的偏序關(guān)系，我們以各個(gè)決策單元的效率值為高度，各個(gè)決策單元經(jīng)單位化處理后的平均投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)為橫軸和縱軸給出了決策單元偏序關(guān)系圖繪制算法。算法具體步驟如下：

步驟1：對(duì)投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)做無(wú)量綱化處理[24]；

步驟2：選定具體模型，并根據(jù)定義1.2、1.3及算法給出各個(gè)決策單元之間的偏序關(guān)系及嚴(yán)格偏序關(guān)系；

步驟3：計(jì)算各個(gè)決策單元的效率值；

步驟4：計(jì)算各個(gè)決策單元的平均投入數(shù)據(jù)及產(chǎn)出數(shù)據(jù)；

步驟5：以各個(gè)決策單元的效率值為豎軸，以各個(gè)決策單元的平均投入數(shù)據(jù)及平均產(chǎn)出數(shù)據(jù)為橫軸和縱軸畫出各個(gè)決策單元的分布圖；

步驟6：連接具有偏序關(guān)系的各個(gè)決策單元，對(duì)于具有嚴(yán)格偏序關(guān)系的決策單元利用不同直線連接，對(duì)于通過(guò)傳遞性可以獲取偏序關(guān)系的決策單元，不再直接通過(guò)直線進(jìn)行連接。

5 決策單元偏序關(guān)系實(shí)例

例1.1表1中給出了“十二五”期間內(nèi)蒙古七大高校獲批內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金數(shù)量和經(jīng)費(fèi)、獲批國(guó)家自然科學(xué)基金數(shù)量和經(jīng)費(fèi)及發(fā)表的SCI期刊論文，EI期刊論文及中文核心期刊論文數(shù)量數(shù)據(jù)。試?yán)闷蚣碚摰臄?shù)據(jù)包絡(luò)分析方法對(duì)各大高校進(jìn)行分析。

解：我們以各大高校獲批內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金數(shù)量和經(jīng)費(fèi)為投入數(shù)據(jù)，以各大高校獲批國(guó)家自然科學(xué)基金數(shù)量和經(jīng)費(fèi)及發(fā)表的SCI期刊論文，EI期刊論文及中文核心期刊論文數(shù)量為產(chǎn)出數(shù)據(jù)對(duì)各大高校進(jìn)行評(píng)價(jià)。

利用相關(guān)算法計(jì)算獲得CCR模型、FG模型及ST模型中的各個(gè)決策單元之間的偏序關(guān)系矩陣及偏序關(guān)系圖。結(jié)果表明CCR模型中存在的偏序關(guān)系最多，它同時(shí)包含了FG模型及ST模型中的偏序關(guān)系，但反之并不成立。表2中給出了CCR模型中的偏序關(guān)系矩陣，圖1中給出了具體偏序關(guān)系圖，表1及表2中對(duì)大學(xué)名稱進(jìn)行了縮寫，具體大學(xué)名稱參見表2中的第一列。

在圖1中不難發(fā)現(xiàn)CCR模型中存在四個(gè)有效的極大元，分別是內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)，內(nèi)蒙古大學(xué)，內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)和內(nèi)蒙古師范大學(xué)。兩個(gè)無(wú)效的極大元，分別是內(nèi)蒙古科技大學(xué)和內(nèi)蒙古民族大學(xué)，一個(gè)無(wú)效的決策單元，是內(nèi)蒙古醫(yī)科大學(xué)。內(nèi)蒙古醫(yī)科大學(xué)與所有其他大學(xué)之間均存在嚴(yán)格偏序關(guān)系，其他決策單元之間并不存在偏序關(guān)系。在ST模型中僅存在內(nèi)醫(yī)大與內(nèi)工大、內(nèi)民大和內(nèi)師大的之間的嚴(yán)格偏序關(guān)系，在FG模型中僅存在內(nèi)醫(yī)大與內(nèi)農(nóng)大、內(nèi)大和內(nèi)科大之間的嚴(yán)格偏序關(guān)系。圖1中有向箭頭表示了不同決策單元之間的嚴(yán)格偏序關(guān)系，箭頭上方的是較優(yōu)決策單元。通過(guò)上例不難發(fā)現(xiàn)不同DEA模型中決策單元之間的偏序關(guān)系是不同的。對(duì)于上例而言通過(guò)近一步的數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)不同高校的學(xué)科發(fā)展均走向了規(guī)模收益遞減階段，即利用FG模型確定其偏序關(guān)系是比較合理的。

表1 “十二五”期間內(nèi)蒙古各大高校獲批基金及發(fā)表論文相關(guān)數(shù)據(jù)(經(jīng)費(fèi)單位：萬(wàn)元)

表2 CCR模型中各大高校偏序關(guān)系矩陣

圖1 各大高校偏序關(guān)系展示圖

6 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)在CCR、ST及FG模型中引進(jìn)新的偏序關(guān)系，提供了規(guī)模收益不變、規(guī)模收益遞增及規(guī)模收益遞減DEA模型中的決策單元之間的偏序關(guān)系。該方法中通過(guò)對(duì)決策單元進(jìn)行等比率的放大或縮小之后的投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)比較確定了決策單元之間的偏序關(guān)系。同時(shí)，基于展示及應(yīng)用的目的給出了決策單元偏序關(guān)系矩陣的獲取及偏序關(guān)系圖展示算法。該矩陣和圖更加全面且直觀的給出了決策單元之間的偏序關(guān)系，這為決策者提供了更為詳盡的決策依據(jù)。最后，通過(guò)相關(guān)實(shí)例的演示為廣大應(yīng)用者提供了相關(guān)方法的應(yīng)用步驟，也表明了方法具有較強(qiáng)的可推廣性及應(yīng)用性。今后的近一步研究熱點(diǎn)是如何確定規(guī)模收益可變的諸如BCC模型中的偏序關(guān)系，其研究可緊密圍繞生產(chǎn)前沿面及數(shù)據(jù)包絡(luò)面展開研究。

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The Establishment of Partial Ordered Relations among Decision Making Units in Data Envelopment Analysis Method

MU Ren1，MA Zhan-xin2, WEN Zong-chuan1

(1.Management College, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot 010051, China;2.School of Economics and Management, Inner Mongolia University, Hohhot 010021, China)

Based on the defects that are unable to determine the partial order relations other than constant returns to scale model of the data envelopment analysis method based on partially ordered set theory, a new method and algorithm which determine partial order relations of three different frequently used models are provided. This algorithm can not only give the partial order matrix among the various decision making units but also visualize the results directly, which should provide important decision making information for decision-makers. At last, this method is used in the evaluation of a Provincial Natural Science Fund.

data envelopment analysis; partial ordered relation; return to scale; projection

1003-207(2016)11-0103-06

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.11.012

2015-09-30；

2016-02-19

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(71401084，71540040);內(nèi)蒙古自治區(qū)草原英才項(xiàng)目(CYYC6006)

文宗川(1973-)，男(漢族)，內(nèi)蒙古烏蘭浩特人，內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向：創(chuàng)新方法、評(píng)價(jià)與決策理論，E-mail:287797817@qq.com.

N94；C934

A