李星梅，魏涵靜，乞建勛，郭曉玲

(1.華北電力大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，北京 102206；2.北京北重汽輪電機(jī)有限責(zé)任公司，北京 100040；3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程管理與信息技術(shù)學(xué)院，北京 100049)

資源約束下可打斷項(xiàng)目組合選擇模型研究

李星梅1，魏涵靜2，乞建勛1，郭曉玲3

(1.華北電力大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，北京 102206；2.北京北重汽輪電機(jī)有限責(zé)任公司，北京 100040；3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程管理與信息技術(shù)學(xué)院，北京 100049)

首先，本文在已有可打斷項(xiàng)目組合選擇模型的基礎(chǔ)上，引入了消耗性資源和可更新資源約束，構(gòu)建了一個(gè)更符合實(shí)際的新模型；其次，為了達(dá)到模型簡(jiǎn)化的目的，本文給出了資金約束的現(xiàn)值表示，并給出了理論證明；最后，利用GAMS對(duì)模型進(jìn)行了算例分析。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：1)資源約束下的項(xiàng)目打斷有時(shí)可以給企業(yè)帶來積極效益，這有別于已有的研究；2)在考慮資源約束的情況下，資源消耗少且同時(shí)收益高的項(xiàng)目應(yīng)優(yōu)先執(zhí)行；3)當(dāng)資源的供給量較少時(shí)，資源約束是決定項(xiàng)目選擇的關(guān)鍵因素。此外，通過企業(yè)實(shí)際的案例對(duì)數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。

項(xiàng)目組合選擇；資源約束；可打斷；資金現(xiàn)值

1 引言

自1952年Harry Markowitz提出均值-方差投資組合模型[1]開始，組合選擇問題便引起了人們的關(guān)注。項(xiàng)目組合選擇是指在有限的資源限制下，決策者從一組有限的備選項(xiàng)目中選擇一個(gè)項(xiàng)目組合，使該組合能夠最大限度地實(shí)現(xiàn)組織的戰(zhàn)略目標(biāo)[2]，如使組織利潤(rùn)最大化等。該問題已被應(yīng)用在各個(gè)領(lǐng)域，如研究與發(fā)展[3]、資金預(yù)算[4]、信息系統(tǒng)/技術(shù)[5]等。

項(xiàng)目的執(zhí)行是需要花費(fèi)時(shí)間的。根據(jù)規(guī)劃周期的不同，學(xué)者們將項(xiàng)目組合的執(zhí)行過程抽象成單階段和多階段兩種類型。針對(duì)多階段項(xiàng)目組合選擇問題[6]，Servakh和Sukhikh[7]考慮了收益再投資問題，Stummer和Heidenberger[8]在分析項(xiàng)目間相關(guān)性的基礎(chǔ)上比較了考慮相關(guān)性與不考慮相關(guān)性給組合收益帶來的差異，Ghasemzadeh和Archer[9]建立了一個(gè)針對(duì)項(xiàng)目組合選擇問題的決策支持系統(tǒng)，Medaglia等[10]在項(xiàng)目組合選擇中引入了緊前關(guān)系，壽涌毅和宋淳江[11]在研發(fā)項(xiàng)目合作伙伴選擇問題中考慮了風(fēng)險(xiǎn)及合作伙伴間的協(xié)作關(guān)系，李秉祥和吳建祥[12]在長(zhǎng)短期項(xiàng)目選擇的可分離均衡中考慮了經(jīng)理人的管理防御行為，于超和樊治平[19]在多個(gè)行業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目選擇過程中考慮了決策者后悔規(guī)避因素等等。這些文章都認(rèn)為一旦項(xiàng)目開始直到完成都不能被打斷。然而，項(xiàng)目執(zhí)行過程中一些不可預(yù)見的因素會(huì)導(dǎo)致項(xiàng)目被打斷執(zhí)行，如資金缺乏、原材料供給不足、技術(shù)工人缺失等。只有當(dāng)資金補(bǔ)足、原材料到位、技術(shù)工人補(bǔ)足后，項(xiàng)目才能繼續(xù)執(zhí)行[13]?；诖?，本文的著眼點(diǎn)落在可打斷項(xiàng)目的組合選擇問題的研究上。

基于現(xiàn)實(shí)的考慮，Li Xingmei等[14,20-21]假設(shè)項(xiàng)目的執(zhí)行是“可打斷”的，并綜合考慮了項(xiàng)目的資金約束、收益再投資、緊前關(guān)系約束和生產(chǎn)準(zhǔn)備成本等，繼而構(gòu)建了可打斷項(xiàng)目組合選擇模型。然而，文章中卻忽略了資源約束對(duì)項(xiàng)目組合的影響。Ghasemzadeh和Archer[9]在項(xiàng)目選擇問題中考慮了可更新資源約束的影響，Chen Jiaqiong等[15]在項(xiàng)目選擇和調(diào)度問題中引入了資源約束，并認(rèn)為資源是有限的而且可更新的，Liu Shushun等[16]提出了一種依賴于時(shí)間的資源約束，郭研和董超[17]在資源約束的前提下進(jìn)行了高新技術(shù)企業(yè)研發(fā)項(xiàng)目選擇策略研究等等。然而，項(xiàng)目一旦被打斷，資源的分配就會(huì)發(fā)生變化。在項(xiàng)目可打斷的情況下考慮資源約束，目前作者還沒有看到相關(guān)研究。此外，資源也是制約著項(xiàng)目是否被打斷的一個(gè)重要因素，因此在可打斷情況下引入資源約束是很有必要的。

資源約束包括消耗性資源約束和可更新資源約束，消耗性資源是指在項(xiàng)目啟動(dòng)時(shí)以總量出現(xiàn)，并隨著項(xiàng)目進(jìn)展逐漸消耗的資源，例如各種原材料、能源等[18]?？筛沦Y源是指在每個(gè)時(shí)刻的供應(yīng)量都是有限的，在這一時(shí)間段內(nèi)會(huì)消耗，但在下一時(shí)刻初會(huì)重新更新，例如人力、設(shè)備等。本文以項(xiàng)目可打斷為基礎(chǔ)來研究多階段的受兩種資源約束的項(xiàng)目組合選擇問題。

基于上述分析，資源約束這一重要現(xiàn)實(shí)因素加入到可打斷項(xiàng)目組合選擇模型中去，構(gòu)建出新的考慮資源約束的項(xiàng)目組合選擇模型，并給出資金約束現(xiàn)值表示，在附錄部分給出了理論解釋，最后用GAMS對(duì)實(shí)際算例進(jìn)行分析，數(shù)值結(jié)果表明資源約束下的項(xiàng)目可打斷會(huì)給企業(yè)帶來積極的影響。

2 模型建立

2.1 模型參數(shù)

假設(shè)可供選擇的項(xiàng)目集合為V，j∈V，j=1,2,…,n，n表示可供選擇項(xiàng)目的個(gè)數(shù)；A表示計(jì)劃投資期的集合，t∈A，t=1,2,…,T,T代表計(jì)劃投資期的期數(shù),t時(shí)間段表示(t-1)時(shí)刻到t時(shí)刻之間的時(shí)間段間隔；K(t)表示在t時(shí)刻對(duì)所有項(xiàng)目的初始可投入資金,t=0,1，…，T-1；kj代表完成整個(gè)項(xiàng)目j需要的投資；r0表示折現(xiàn)率；cj表示項(xiàng)目j完成后的收益；sj表示項(xiàng)目j的生產(chǎn)準(zhǔn)備成本；∑表示緊前關(guān)系的集合，即若(i,j)∈∑，則直到項(xiàng)目i結(jié)束后項(xiàng)目j才能開始；zj是一個(gè)布爾變量，如果在整個(gè)投資期內(nèi)項(xiàng)目j被選擇，則zj=1，反之zj=0；xjt表示在t時(shí)間段內(nèi)項(xiàng)目j執(zhí)行的比例且xjt∈0∪[αjt,βjt]，其中αjt表示在t時(shí)間段項(xiàng)目j執(zhí)行比例的最小值，βjt表示在t時(shí)間段項(xiàng)目j執(zhí)行比例的最大值；yjt是一個(gè)布爾變量，如果xjt=0則yjt=0，否則yjt=1；N表示整個(gè)投資期內(nèi)可選擇項(xiàng)目的最大數(shù)量；Mt表示在t時(shí)間段內(nèi)可選擇項(xiàng)目最大數(shù)量。

2.2 資源約束

消耗性資源和可更新資源約束將被分別描述如下：

2.3 資源約束下可打斷項(xiàng)目組合選擇模型構(gòu)建

基于上述分析，在考慮消耗性資源和可更新資源約束的前提下，我們?cè)贚i Xingmei等[14]模型基礎(chǔ)上構(gòu)建了一個(gè)新的以收益凈現(xiàn)值最大化為目標(biāo)函數(shù)的項(xiàng)目組合選擇模型，其(Model 1)表示如下：

其中，目標(biāo)函數(shù)(1)是以收益凈現(xiàn)值最大化為目標(biāo)；約束(2)表示項(xiàng)目在每個(gè)時(shí)間段所執(zhí)行的比例是受限制的，要介于最大值和最小值之間；約束(3)為緊前關(guān)系約束，即一個(gè)項(xiàng)目直到另一個(gè)項(xiàng)目完成后才能開始；約束(4)和(5)分別為消耗性資源約束和可更新資源約束；約束(6)和(7)分別是對(duì)整個(gè)投資期和每個(gè)時(shí)間段可執(zhí)行項(xiàng)目數(shù)量的約束；約束(8)表示若一個(gè)項(xiàng)目被選擇，則它必須在整個(gè)投資期內(nèi)完工；原有的資金約束采用資金的將來值表示，約束(9)給出了資金約束采用資金的現(xiàn)值表示，具體的理論解釋見附錄；公式(10)-(12)表示變量取值范圍的界定。

該模型為混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，其中有“nT+n”個(gè)0-1變量，“nT”個(gè)連續(xù)變量，約束的個(gè)數(shù)取決于集合∑中包含元素的個(gè)數(shù)。

2.4 資源約束下不可打斷項(xiàng)目組合選擇模型構(gòu)建

如果項(xiàng)目在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)要么不執(zhí)行(xjt=0)，要么就執(zhí)行完(xjt=1)，這稱為不可打斷?；诖?，在可打斷項(xiàng)目組合選擇模型基礎(chǔ)上，得到了資源約束下不可打斷項(xiàng)目組合選擇模型，其(Model2)表示如下：

該模型為整數(shù)線性規(guī)劃模型，其中有“nT+n”個(gè)0-1變量，約束的個(gè)數(shù)取決于集合∑中包含元素的個(gè)數(shù)。

2.5 兩個(gè)模型比較分析

Model 1引入了介于αjt和βjt的連續(xù)變量xjt，即通過這個(gè)連續(xù)變量把“可打斷”的思想引入到項(xiàng)目組合選擇的模型中來；Model2中xjt的取值是0-1變量，它表示項(xiàng)目在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)，要么不選，要選就要執(zhí)行完。若Model1中αjt和βjt都取特殊值，即αjt=0，βjt=1，Model2就是Model1的一個(gè)特殊情況，它的最優(yōu)解也是Model1的可行解。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

由于可打斷項(xiàng)目組合選擇問題屬于NP-hard問題，因此根據(jù)新模型的特點(diǎn)，本文采用GAMS軟件求解。通過選取B公司的一些數(shù)據(jù)，應(yīng)用GAMS軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值，以此來證明研究資源約束下可打斷項(xiàng)目組合選擇模型的必要性。

首先B公司整個(gè)投資期內(nèi)可供選擇項(xiàng)目的數(shù)量是20(n=20)；整個(gè)計(jì)劃投資期分為10個(gè)時(shí)間段(T=10)；每個(gè)項(xiàng)目所需的投資和項(xiàng)目完成后的收益以及每個(gè)時(shí)刻的初始資金如表1和表2所示。

項(xiàng)目緊前關(guān)系的集合Σ={(1,5), (2,12), (3,5), (5,10), (8,11), (8,20)}，如(1,5)表示項(xiàng)目1完成后項(xiàng)目5才能開始；折現(xiàn)率r0為5%；每個(gè)項(xiàng)目的生產(chǎn)準(zhǔn)備成本sj都為100萬美元；整個(gè)投資期內(nèi)可執(zhí)行項(xiàng)目的最大數(shù)量N=12；每個(gè)時(shí)間段內(nèi)可執(zhí)行項(xiàng)目的最大數(shù)量Mt=2；表3代表每個(gè)項(xiàng)目對(duì)消耗性資源的需求量，我們將每種消耗性資源的總量固定為25，即Gm=25。

表1 每個(gè)項(xiàng)目所需投資和項(xiàng)目完成后的收益 單位：百萬美元

表2 每個(gè)時(shí)刻的初始資金 單位：百萬美元

表3 每個(gè)項(xiàng)目對(duì)消耗性資源的需求量(由于資源是一種統(tǒng)稱，故不設(shè)單位)

隨后我們給出了可更新資源約束的數(shù)據(jù)。由于可更新資源在每個(gè)時(shí)刻初期都能重新更新，并且可能每個(gè)時(shí)間段的量是相同的。我們假設(shè)一種可更新資源在每個(gè)時(shí)間段可用的量是固定的。每個(gè)項(xiàng)目對(duì)可更新資源的需求量如表4所示，表5給出每個(gè)時(shí)刻可更新資源供給量。

表4 每個(gè)項(xiàng)目對(duì)可更新資源的需求量(由于資源是一種統(tǒng)稱，故不設(shè)單位)

基于這些數(shù)據(jù)，我們得到了在資源約束下項(xiàng)目不可打斷時(shí)執(zhí)行的項(xiàng)目以及項(xiàng)目執(zhí)行的時(shí)間，結(jié)果如表6所示。此時(shí)目標(biāo)函數(shù)值為1.27億美元，在整個(gè)投資期內(nèi)執(zhí)行的項(xiàng)目數(shù)量為4個(gè)，分別是1、2、4、16，從結(jié)果我們可以看出，由于資源的約束使得很多項(xiàng)目不被選擇，同時(shí)當(dāng)資源供給量少時(shí)，資源是決定項(xiàng)目組合的決定因素。以項(xiàng)目5為例，項(xiàng)目5的凈收益在所有項(xiàng)目中是最大的，但是由于項(xiàng)目5對(duì)可更新資源p1的需求超過任何時(shí)間段內(nèi)p1的供給量，從而導(dǎo)致項(xiàng)目5不被選擇。而項(xiàng)目16盡管凈收益很少，但是綜合多個(gè)方面的因素，項(xiàng)目16在被選擇行列中。

表5 每個(gè)時(shí)刻可更新資源的供給量

當(dāng)考慮到項(xiàng)目可打斷時(shí)，則規(guī)定了每個(gè)時(shí)間段內(nèi)項(xiàng)目執(zhí)行比例的最大值為0.5，最小值為0.2，即αjt=0.2，βjt=0.5。此時(shí)的結(jié)果如表7所示，其中18(0.29)表示在該時(shí)間段項(xiàng)目18執(zhí)行，并且執(zhí)行比例為29%，在項(xiàng)目可打斷時(shí)，執(zhí)行的項(xiàng)目為1、2、4、8、14、15、18，這時(shí)凈現(xiàn)值為1.47億美元。

由表6和表7對(duì)比可以看出，在資源約束的前提下，項(xiàng)目可打斷與項(xiàng)目不可打斷時(shí)相比，凈現(xiàn)值由1.27億增加到了1.47億，增長(zhǎng)了很多，執(zhí)行的項(xiàng)目從1、2、4、6變?yōu)?、2、4、8、14、15、18，同時(shí)執(zhí)行的項(xiàng)目數(shù)量由4個(gè)增加為7個(gè)。資源約束下項(xiàng)目可打斷會(huì)影響選擇的項(xiàng)目、項(xiàng)目的數(shù)量、項(xiàng)目的執(zhí)行比例，進(jìn)而影響項(xiàng)目組合的凈現(xiàn)值。以上結(jié)果表明：考慮到資源約束則資源是影響著項(xiàng)目組合的關(guān)鍵因素，同時(shí)資源約束下考慮到項(xiàng)目可打斷可以為企業(yè)帶來更大的收益，從而證明了資源約束下可打斷項(xiàng)目組合選擇模型的必要性。

為進(jìn)一步說明模型的實(shí)際可應(yīng)用性，現(xiàn)以華電集團(tuán)新能源技術(shù)公司項(xiàng)目決策為例。2015年該公司可供選擇的總承包工程項(xiàng)目共20個(gè)，其中風(fēng)電項(xiàng)目14個(gè)，光伏項(xiàng)目6個(gè)。經(jīng)專家預(yù)測(cè)，各項(xiàng)目的收益與成本如表8所示，初始投入資金如表9所示，項(xiàng)目執(zhí)行比例的最大值為0.7，最小值為0.3，項(xiàng)目的生產(chǎn)準(zhǔn)備成本為0.1億元。此時(shí)，其資源約束下可從表10可以看出，華電集團(tuán)新能源技術(shù)公司選擇執(zhí)行風(fēng)電項(xiàng)目1、2、3、5、7、10和光伏項(xiàng)目19時(shí)，收益最大，其凈現(xiàn)值為11.55億元。以上實(shí)際案例的應(yīng)用，證明本文研究在項(xiàng)目決策中是具有實(shí)際意義的。

表6 資源約束下不可打斷模型求解結(jié)果

打斷模型求解結(jié)果如表10所示。

表7 資源約束下可打斷模型求解結(jié)果

表8 每個(gè)項(xiàng)目所需投資和項(xiàng)目完成后的收益 單位：億元

表9 每個(gè)時(shí)刻的初始資金 單位：億元

表10 資源約束下可打斷模型求解結(jié)果

4 結(jié)語

文章在可打斷項(xiàng)目組合選擇模型中加入資源約束，并引入實(shí)際算例證明了加入資源約束對(duì)現(xiàn)有模型的影響，研究結(jié)果表明：當(dāng)資源供給量較少時(shí)，資源約束是決定項(xiàng)目選擇的關(guān)鍵約束；在資源約束的前提下，項(xiàng)目可打斷會(huì)給企業(yè)帶來更多的收益，從而說明在項(xiàng)目組合選擇問題中對(duì)項(xiàng)目可打斷以及資源約束的研究的必要性。

研究下一階段將在原有的可打斷項(xiàng)目組合選擇模型的基礎(chǔ)上考慮多目標(biāo)，即不單單以收益最大化為目標(biāo)，同時(shí)考慮成本最小，效用最大等目標(biāo)，以期構(gòu)建更加完善的、符合企業(yè)長(zhǎng)期發(fā)展的項(xiàng)目組合選擇模型。

附錄

已知資金將來值表示為

(13)

現(xiàn)值=將來值×(1+r0)-t。

將(13)×(1+r0)-t得:

(14)

展開(14)得：

(15)

當(dāng)τ=0時(shí)，該式=K(0)，

(16)

(17)

(18)

(19)

綜合以上(16)-(19)式可以把(15)式整理為：

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Research on Project Portfolio Selection Model with Divisibility and Resource Constraints

LI Xing-mei1, WEI Han-jing2, QI Jian-xun1, GUO Xiao-ling3

(1.School of Economics and Management, North China Electric Power University, Beijing 102206, China;2.Beijing Beizhong Steam Turbine Generator Co., Ltd., Beijing 100040, China;3.College of Engineering & Information Technology, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

With the development of scientific technology and the acceleration of economic globalization, managers who own much capital face more and more projects to choose. How to invest the scarce resources such as budget, people and time. on a most profitable subset is crucial for a firm/organization. This is the main concern of project portfolio selection problem. In real world, managers note that project interruptions may happen, which come from some managerial concerns, such as the lack of cash, materials and technicians. When managers consider the project interruptions as a strategy in choosing the best execution scheduling for projects, i.e., in fact, they try to optimize the project execution by running the projects by portions, and the consideration of the project interruptions as the above strategy is manager’s initial intent. These types of interruptions are called divisibility. In this paper this type of project portfolio selection problem considering divisibility is mainly concerned. To the best of our knowledge, there is yet not research about resource constraints introduced into the project portfolio selection problem considering divisibility. Therefore, based on the model of project portfolio selection considering divisibility, a new model considering consumptive and renewable resource constraints is constructed. This model is a mixed integer programming problem with a linear objective function. And then a model of project portfolio selection problem without divisibility is set up. This model is an integer programming problem. The comparison analysis of the above two models is presented.More specifically, the second model is the special case of the first model under some assumptions. Secondly, for the purpose of simplifying the above models, the capital present value presentation is introcluced and proved. Finally, one numerical example is given to illustrate the characteristic of the new model with using GAMS. The result shows that: 1) unlike the research of the past, project divisibility can bring positive influence for the enterprise under the resource constraints. 2) Those projects with more profits and less use of resources are required precedence over all others. 3) When resources are limited, resource constraints are key factors for the selection of projects. A practical case provides the proof for the above results.

project portfolio selection; resource constraints; divisibility; capital present value

1003-207(2016)11-0040-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.11.005

2015-01-06；

2015-12-29

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71171079)；北京市產(chǎn)學(xué)研聯(lián)合培養(yǎng)研究生共建項(xiàng)目資助

李星梅(1971-)，女(滿族)，河北承德人，華北電力大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，副教授，研究方向：項(xiàng)目管理、技術(shù)經(jīng)濟(jì),E-mail:xingmeil@163.com.

F270.7

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