陳道云，孫守光，李　強，張亞禹，王金莎，張學(xué)蘋

(1.北京交通大學(xué) 機械與電子控制工程學(xué)院，北京　100044；2.齊齊哈爾軌道交通裝備有限責(zé)任公司 貨車分廠，黑龍江 齊齊哈爾　161002)

結(jié)構(gòu)的動應(yīng)力譜是對結(jié)構(gòu)進(jìn)行疲勞強度評估的重要依據(jù)，其精度直接影響疲勞壽命預(yù)測的準(zhǔn)確性。實測的結(jié)構(gòu)動應(yīng)力時程曲線往往是一個有限長的子樣，由此得到的動應(yīng)力譜不能直接用于結(jié)構(gòu)的疲勞強度評估，需要對其進(jìn)行統(tǒng)計、推斷，以獲得服役期間可能出現(xiàn)最大值的動應(yīng)力擴展譜。

在作統(tǒng)計和推斷之前，需要對實測的動應(yīng)力譜進(jìn)行分布擬合。在擬合工程結(jié)構(gòu)的動應(yīng)力譜分布時，常用的分布函數(shù)類型有截尾正態(tài)分布[1]、對數(shù)正態(tài)分布[2-4]和威布爾分布[5-7]。經(jīng)驗表明，采用單一分布函數(shù)擬合得到的結(jié)構(gòu)動應(yīng)力譜很難通過嚴(yán)格的卡方檢驗，因而只能用于粗略估計。

除此之外，Giddings[8]函數(shù)經(jīng)常被用于擬合色譜領(lǐng)域的色譜峰，這種函數(shù)對數(shù)據(jù)波動具有很好的適應(yīng)性，因此可以嘗試將其應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)動應(yīng)力譜的分布擬合。

為提高結(jié)構(gòu)動應(yīng)力譜分布擬合的精度，需找到能夠順利通過卡方檢驗的分布函數(shù)?？紤]到不同類型的分布函數(shù)在不同譜級間擬合的精度不同，本文首次利用分段函數(shù)將不同類型的分布函數(shù)分段組合，構(gòu)造出的分段分布函數(shù)能夠順利通過卡方檢驗。最后將動應(yīng)力譜擴展并進(jìn)行Miner線性累積損傷分析，進(jìn)而從線性累積損傷的角度對分段函數(shù)的分布擬合效果進(jìn)行校驗。

1　數(shù)據(jù)采集及處理

選取某型動車組制動吊座的疲勞關(guān)鍵點進(jìn)行動應(yīng)力數(shù)據(jù)的采集，測點位置如圖1所示。采樣頻率設(shè)為500 Hz，該頻率足以保證所測信號的完整真實[9]。

信號采集期間會有各種因素對真實信號進(jìn)行干擾，因此測得的數(shù)據(jù)不能直接用于結(jié)構(gòu)動應(yīng)力譜的編制，需要先對其進(jìn)行信號處理，信號處理流程為：原始數(shù)據(jù)→應(yīng)變信號轉(zhuǎn)應(yīng)力信號→未調(diào)平衡處理→去除零點漂移→異常信號處理→濾波→小波處理。處理后的動應(yīng)力數(shù)據(jù)還需要進(jìn)行時間歷程雨流計數(shù)，得到的一維應(yīng)力譜見表1。

圖1　制動吊座的疲勞關(guān)鍵測點

級數(shù)動應(yīng)力中值/MPa觀測頻數(shù)級數(shù)動應(yīng)力中值/MPa觀測頻數(shù)167337867810379029221019208683114136148313669871512448280417124274313482950520581747214517525624057305155521187275130061660418830971301177080893443618

2　動應(yīng)力譜頻率分布直方圖

動應(yīng)力譜的頻率分布直方圖對分布擬合的精度將產(chǎn)生很大影響，而直方圖的起點及每級之間間隔的選取直接決定了直方圖的形狀，并間接影響分布擬合的精度。

在對結(jié)構(gòu)進(jìn)行疲勞可靠性評估時，幅值低于5 MPa的小動應(yīng)力數(shù)據(jù)通常要被過濾掉，因此小幅值動應(yīng)力對結(jié)構(gòu)疲勞損傷的影響可以忽略。由此可以確定，頻率分布直方圖的起點設(shè)為5 MPa較為合理。

根據(jù)Luise[10]的建議，動應(yīng)力每級之間的間隔(直方圖組距)Δ應(yīng)由下式確定。

(1)

式中：R為動應(yīng)力變化范圍；N為樣本總數(shù)。

利用這種方法得到的直方圖是等組距直方圖。對于實測的軌道車輛結(jié)構(gòu)動應(yīng)力數(shù)據(jù)來說，在直方圖尾部的高幅值區(qū)域數(shù)據(jù)通常非常少，因此等組距帶來的1個問題就是分布估計時的精度較低。為了克服這個缺陷并滿足后續(xù)卡方檢驗的需要，從等距分組的最大幅值對應(yīng)的頻次開始，逐步向上累加頻次，直到累加頻次大于等于5，停止累加，作為1個頻次。然后按同樣的方法累加合并其他小于5 的頻次，直到所有小于5 的頻次都被累加，最后按累加頻次對應(yīng)的區(qū)間調(diào)整區(qū)間邊界值，完成分組合并。

結(jié)合表1，按照上述方法繪制的制動吊座動應(yīng)力譜頻率分布直方圖如圖2所示。

圖2　動應(yīng)力譜頻率分布直方圖

3　單一分布函數(shù)擬合

截尾正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f1(x)為

(2)

式中：K為正規(guī)化常數(shù)；μ1為截尾正態(tài)分布的均值；σ1為截尾正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差；x為動應(yīng)力譜每級的動應(yīng)力中值。

對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f2(x)為

(3)

式中：μ2為對數(shù)正態(tài)分布的均值；σ2為對數(shù)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差。

三參數(shù)威布爾分布的概率密度函數(shù)f3(x)為

(4)

式中：β為威布爾分布形狀參數(shù)；η為威布爾分布尺度參數(shù)；γ為威布爾分布位置參數(shù)。

Giddings分布的概率密度函數(shù)f4(x)為

(5)

其中，

式中：A為Giddings分布的面積系數(shù)；ω為Giddings分布的寬度系數(shù)；xc為Giddings分布的中心系數(shù)；Jl(x)為柱貝塞爾函數(shù)。

采用單一分布函數(shù)擬合得到的參數(shù)值見表2。

表2　單一分布函數(shù)擬合參數(shù)值

對頻率分布直方圖進(jìn)行分布擬合后，還需要進(jìn)行擬合效果的檢驗，通過檢驗的分布才能作為最終的動應(yīng)力譜分布。比較嚴(yán)格的檢驗方法是采用擬合優(yōu)度的卡方檢驗對動應(yīng)力譜分布進(jìn)行檢驗，卡方值的計算公式為

(6)

式中：χ2為動應(yīng)力譜分布擬合檢驗的總卡方值；k為分組數(shù)；i為動應(yīng)力譜的級數(shù)；vi為觀測頻數(shù)；F為累積分布函數(shù)；xi為動應(yīng)力譜第i級的動應(yīng)力下限；xi+1為動應(yīng)力譜第i級的動應(yīng)力上限。

根據(jù)式(6)分別計算以上4種分布函數(shù)的各級卡方值，結(jié)果見表3。

表3　4種分布的各級卡方值及總卡方值

由表3可見，在4種分布函數(shù)中截尾正態(tài)分布函數(shù)的總卡方值最大，擬合效果最差，另外3種分布函數(shù)的總卡方值較截尾正態(tài)分布函數(shù)小。

由表3得到對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)、威布爾分布函數(shù)和Giddings分布函數(shù)擬合檢驗的各級卡方值圖，如圖3所示。

圖3　3種分布函數(shù)擬合檢驗的各級卡方值對比

由圖3可見，由Giddings分布函數(shù)得到的前6組卡方值較小，即對前6組的數(shù)據(jù)擬合較好，威布爾分布函數(shù)對中間組(7～12組)的數(shù)據(jù)擬合較好，對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)對尾部(13～17組)數(shù)據(jù)擬合較好。

4　分段函數(shù)擬合

考慮到Giddings分布函數(shù)、威布爾分布函數(shù)和對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)在不同譜級段的擬合優(yōu)勢，構(gòu)造1個分段函數(shù)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分段擬合。分段函數(shù)的概率密度函數(shù)f5(x)為

f5(x)=

(7)

式中：x1,x6,x7,x12,x13和x17分別為動應(yīng)力譜頻率分布直方圖第1級、第6級、第7級、第12級、第13級和第17級的動應(yīng)力。

采用式(7)對表1的動應(yīng)力譜數(shù)據(jù)進(jìn)行分布擬合，得到的各參數(shù)值見表4。

結(jié)合式(6)，擬合檢驗的各級卡方值見表5。

表4　分段函數(shù)擬合參數(shù)值

表5　分段函數(shù)擬合檢驗的各級卡方值

由表5可見，分段函數(shù)擬合的各級卡方值均較小且17級譜的總卡方值小于卡方檢驗的臨界值，因此分段函數(shù)分布順利通過了卡方檢驗。

為了更加直觀地觀察分段函數(shù)的擬合效果，將分段函數(shù)的概率密度曲線與實測動應(yīng)力譜的頻率分布直方圖作比較，如圖4所示。

圖4分段函數(shù)分布概率密度曲線與實測動應(yīng)力譜頻率分布直方圖比較

由圖4可見，基于分段函數(shù)分布的概率密度曲線與實測動應(yīng)力譜頻率分布直方圖的吻合程度很好，表明分段函數(shù)分布能夠很好地用于描述實測的動應(yīng)力譜分布趨勢。

由于研究動應(yīng)力譜分布擬合的最終目的是要通過計算損傷來預(yù)測結(jié)構(gòu)的疲勞壽命，因此分布擬合的優(yōu)劣還需要經(jīng)過疲勞損傷的校驗。

5　譜分布擬合的疲勞損傷校驗

易當(dāng)祥[11]建議以概率為10-6的動應(yīng)力為最大動應(yīng)力，利用超越概率10-6反解分布函數(shù)，得到服役期可能出現(xiàn)的動應(yīng)力最大值。

由于制動吊座的實測動應(yīng)力譜的總循環(huán)次數(shù)不足106，因此為得到實測擴展譜，需對實測譜的各級統(tǒng)一乘以1個系數(shù)，使總循環(huán)次數(shù)達(dá)到106，假設(shè)動應(yīng)力譜的最小值仍為5 MPa，由利用分段函數(shù)推斷得到的動應(yīng)力譜最大值為81.13 MPa，稍大于實測最大值77.72 MPa。由實測譜推斷的擴展譜與由分段分布推斷的擴展譜對比結(jié)果見表6。

表6　實測動應(yīng)力譜和分段函數(shù)動應(yīng)力譜的擴展譜對比

動應(yīng)力譜損傷的計算基于Miner線性累積損傷法則[12]，則動應(yīng)力譜損傷D為

(8)

式中：zi為各級動應(yīng)力實際循環(huán)次數(shù)；Ri為各級動應(yīng)力作用下循環(huán)至破壞的壽命；C1和m為材料的S—N曲線參數(shù)；σ-1i為各級動應(yīng)力。

由表6和式(8)得到各級損傷值如圖5所示。

由圖5可見，分段函數(shù)的動應(yīng)力譜損傷與實測譜損傷的總體走勢一致；2種損傷在前幾級與后幾級的損傷值比較接近，中間級的損傷值相差較大且分段分布每一級的損傷都大于實測損傷，這表明分

圖5　Miner線性累積損傷對比

段分布對動應(yīng)力譜中間段的擬合估計偏保守，使得利用分段分布損傷估算疲勞壽命時的壽命偏低，這種保守的結(jié)構(gòu)疲勞壽命估計對于保證結(jié)構(gòu)在運用時的安全是非常有必要的。

6　結(jié)　論

(1) 對于軌道車輛結(jié)構(gòu)的動應(yīng)力譜分布估計而言，單一分布函數(shù)的分布擬合不能通過卡方檢驗。

(2) 當(dāng)應(yīng)力譜的組數(shù)較多時，不同分布函數(shù)對應(yīng)的擬合精度不同。截尾正態(tài)分布的擬合精度最差，Giddings分布對前6組數(shù)據(jù)擬合較好，威布爾分布對中間組(7～12組)數(shù)據(jù)擬合較好，對數(shù)正態(tài)分布對尾部(13～17組)數(shù)據(jù)擬合較好；利用這一特點，將不同的分布函數(shù)分段組合得到1個分段分布函數(shù)，該分段函數(shù)的分布擬合能夠順利通過卡方檢驗。

(3) 利用分段函數(shù)分布推斷得到的動應(yīng)力譜，其Miner線性累積損傷走勢與實測譜的總體走勢一致，且其每級損傷均大于實測譜損傷，使得其對結(jié)構(gòu)的疲勞壽命能做出偏安全的預(yù)估。

[1]李強，劉志明，張桂青，等. 提速客車轉(zhuǎn)向架動應(yīng)力分布擬合的研究[J]. 鐵道學(xué)報，2001，23 (4)：105-108.

(LI Qiang，LIU Zhiming，ZHANG Guiqing，et al. Research on Distribution of Dynamic Stress for Speed Increased Passenger Car Bogies[J]. Journal of the China Railway Society，2001，23 (4)：105-108. in Chinese)

[2]趙宇剛，毛保華，蔣玉琨. 基于列車運行時間偏離的地鐵列車運行圖緩沖時間研究[J]. 中國鐵道科學(xué)，2011，32 (1)：118-121.

(ZHAO Yugang，MAO Baohua，JIANG Yukun. Study on the Buffer Time of Metro Train Diagram Based on Train Running Time Deviation[J]. China Railway Science，2011，32(1)：118-121. in Chinese)

[3]惠曉龍，王文靜. 動車組構(gòu)架垂向載荷統(tǒng)計特性研究[J]. 鐵道機車車輛，2015，35(增1)：91-95.

(HUI Xiaolong，WANG Wenjing. Research on Statistics Characteristic of Vertical Load for High-Speed Train Bogie[J]. Railway Locomotive & Car，2015，35 (Supplement 1)：91-95. in Chinese)

[4]薛廣進(jìn)，李強，王斌杰，等. 軌道車輛結(jié)構(gòu)動應(yīng)力譜分布的估計[J]. 機械工程學(xué)報，2013，49 (4)：102-105.

(XUE Guangjin，LI Qiang，WANG Binjie，et al. Estimation of Distribution for Rail Vehicle Dynamic Stress[J]. Journal of Mechanical Engineering，2013，49(4)：102-105. in Chinese)

[5]周素霞，謝基龍，趙方，等. 基于概率分布函數(shù)的動車組車軸應(yīng)力譜試驗分析[J]. 中國鐵道科學(xué)，2013，34 (2)：95-99.

(ZHOU Suxia，XIE Jilong，ZHAO Fang，et al. Experimental Analysis on the Stress Spectrum of EMU Axle Based on Probability Distribution Function[J]. China Railway Science，2013，34 (2)：95-99. in Chinese)

[6]張永亮. 基于跟蹤測試的高速動車組構(gòu)架載荷特性研究[D]. 北京：北京交通大學(xué)，2013.

(ZHANG Yongliang. Study on Load Characteristic of High-Speed EMU's Bogie Frame Based on Tracking Test[D]. Beijing：Beijing Jiaotong University，2013. in Chinese)

[7]毛賀. 高速列車載荷譜編制方法的研究[D]. 北京：北京交通大學(xué)，2009.

(MAO He. Study of Load Spectrum Compiling Method of High Speed Train[D]. Beijing：Beijing Jiaotong University，2009. in Chinese)

[8]OriginLab Corporation. Origin Help[EB/OL]. Northampton：OriginLab Corporation, 2015[2015]. http：//www.originlab.com/doc/Origin-Help/Giddings-FitFunc.

[9]王萌, 李強, 孫守光. 耦合作用下各載荷對結(jié)構(gòu)疲勞損傷影響程度的評估方法[J]. 中國鐵道科學(xué)，2015，36(3)：94-99.

(WANG Meng, LI Qiang, SUN Shouguang. Evaluation Method for Influence Degree of Each Load on Fatigue Damage of Mechanical Structure under Coupling Effect[J]. China Railway Science, 2015, 36(3)：94-99. in Chinese)

[10]LEWES E E. Introduction to Reliability Engineering [M]. New York：Wiley，1986.

[11]易當(dāng)祥，呂國志，周雄偉. 用概率推斷法確定多工況二維疲勞設(shè)計譜的載荷最大值[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報，2006，23 (3)：484-487.

(YI Dangxiang，Lü Guozhi，ZHOU Xiongwei. Maximal Loading Calculation for Two Dimensional Fatigue Design Spectrum under Multiple Working Conditions with Probability Extrapolation Method[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics，2006，23(3)：484-487. in Chinese)

[12]MINER M A. Cumulative Damage in Fatigue[J]. Journal of Applied Mechanics, 1945, 12 (3)：159-164.