卿光輝，吳宏偉

（中國民航大學(xué)航空工程學(xué)院，天津　300300）

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功能梯度壓電材料的參數(shù)處理與自由振動特性分析

卿光輝，吳宏偉

（中國民航大學(xué)航空工程學(xué)院，天津300300）

摘要：隨著壓電材料的應(yīng)用越來越廣泛，對壓電材料的性能分析也越來越受到重視。針對功能梯度材料固有頻率的分析，采用ANSYS 12.0中的Solid98單元進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上采用ANSYS中的APDL語言進(jìn)行編程，為實(shí)現(xiàn)參數(shù)的變化，假定材料的所有性能參數(shù)是變化且按同一方向進(jìn)行變化，變化的方向?yàn)榘搴穹较?，從而?shí)現(xiàn)了壓電材料性能的梯度化變化，并對其固有頻率做了計(jì)算與探討。

關(guān)鍵詞：功能梯度；壓電；ANSYS；固有頻率

功能梯度材料（functionallygradedmaterials，F(xiàn)GM），即材料本身的構(gòu)成與布局連續(xù)變化，材料的宏觀特性，諸如彈性模量、壓電系數(shù)不會發(fā)生跳躍性的變化，而在空間上呈現(xiàn)梯度變化，此種材料性能可以減輕或者解決應(yīng)力集中的問題。當(dāng)結(jié)構(gòu)的不同位置有著不同的參數(shù)要求時，可以提供相應(yīng)的功能，改善結(jié)構(gòu)的整體性能。而功能梯度壓電材料（FGPM）的出現(xiàn)，則更進(jìn)一步解決了壓電材料物理性質(zhì)與結(jié)構(gòu)材料不匹配造成的應(yīng)力集中現(xiàn)象，使得智能結(jié)構(gòu)與傳感器的機(jī)電耦合性能得到更大程度的發(fā)揮。

壓電材料可以用于很多方面，壓電驅(qū)動器和傳感器就是典型的例子。合理運(yùn)用壓電驅(qū)動器和傳感器，首先需要計(jì)算力與電場對壓電板的具體影響。大量文獻(xiàn)研究了如何對均勻壓電板進(jìn)行三維控制，也給出了相應(yīng)的精確解。HUANG等[1]建議沿著厚度方向?qū)ξ灰坪碗妱葸M(jìn)行坐標(biāo)展開，運(yùn)用傅立葉級數(shù)來描述動態(tài)響應(yīng)。但有時傅立葉級數(shù)并不能很方便地解出，因此在對未知傅立葉級數(shù)進(jìn)行求解時，需要有特殊的邊界條件和外部輸入。GAO和SHEN等[2]對自由振動問題的精確解進(jìn)行了研究，分析的模型為壓電層合板，求解方法為冪級數(shù)展開法。但考慮到壓電功能梯度板的材料性能會沿著板厚的方向進(jìn)行變化，因此想要求解三維壓電方程是相當(dāng)困難的。LIU等[3]研究了波在FGPM板中的傳播特性，采用的方法為混合數(shù)值法。CHEN 和DING[4]對彎曲問題做了一些探討，其模型基于壓電功能梯度板，而分析方法則是基于狀態(tài)方程。同時CHEN和DING[5]還針對自由振動問題進(jìn)行了分析，所用模型也為壓電功能梯度板，形狀為矩形。

考慮到一般的有限元軟件只能分析參數(shù)均勻的壓電結(jié)構(gòu)，而本文需要對材料參數(shù)呈梯度變化的壓電結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，故采用ANSYS 12.0中的APDL語言進(jìn)行編程，實(shí)現(xiàn)材料的梯度變化，從而實(shí)現(xiàn)對功能梯度材料的振動頻率進(jìn)行模擬。

1　基本理論與公式

對于一塊壓電梯度板，沿著z軸進(jìn)行了極化，在彈性體內(nèi)沿x，y，z方向的運(yùn)動平衡方程為

其中：fx，fy，fz分別為沿著x，y，z方向的單位體積的體積力；c為材料阻尼系數(shù)，u為位移。

壓電材料的電學(xué)平衡方程為

其中：Dx，Dy，Dz分別是x，y，z方向的電位移

線性壓電梯度材料的本構(gòu)方程為

其中：σij為應(yīng)力張量，Di為電位移向量，εkl為應(yīng)變張量，Ek為電場強(qiáng)度向量，cijkl為彈性常數(shù)，eikl為壓電應(yīng)力系數(shù)，ξik為介電常數(shù)。

在這里，材料力學(xué)和電學(xué)常數(shù)不是固定的，它們都沿著板厚的方向進(jìn)行變化。變化規(guī)律則可用同一函數(shù)

矩陣形式為來表示，其中K可以代表彈性剛度系數(shù)、壓電常數(shù)或應(yīng)變介電系數(shù)，K0是相應(yīng)的材料常數(shù)在處的值[6]。

根據(jù)有限元的基本理論，材料的有限元單元耦合方程為

其中：[Kuu]是結(jié)構(gòu)剛度矩陣，[Kφφ]是介電常數(shù)矩陣，[Kuφ]是壓電耦合矩陣，是作用的邊界條件。

2　參數(shù)分析與APDL語言程序

運(yùn)用ANSYS進(jìn)行有限元分析主要包括如下步驟：建立模型、定義參數(shù)、劃分網(wǎng)格、問題求解。而APDL語言的作用在于可將輸入靈活化，使用者可根據(jù)自身需要輸入自己設(shè)定的函數(shù)或者分析標(biāo)準(zhǔn)，可以說這是一種比較智能的技術(shù)措施。這種分析手段充分給予使用者自主能力，可以讓使用者自由修改設(shè)計(jì)或分析屬性。在傳統(tǒng)有限元分析的基礎(chǔ)上，該語言擴(kuò)充了額外的分析能力，對于更高級的靈敏度研究、參數(shù)化建模也有著很好的分析能力[7]。

不同于一般的建模方式，功能梯度材料的性能是沿厚度方向變化的，因此需要對其進(jìn)行分層建模，但是這種建模也難以脫離基本的層合板理論，可以視為基本層合板理論的一種延伸。建模時可根據(jù)計(jì)算的精度和計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力確定所需要的層數(shù)。在進(jìn)行模型網(wǎng)格劃分時，需要給每一層模型賦予材料屬性[8]。由此可知，當(dāng)需要按照要求變化數(shù)據(jù)時，就需要采用APDL語言來進(jìn)行編程計(jì)算。

利用ANSYS分析時，采用Solid98單元，這是一種10節(jié)點(diǎn)的Tetrahedral，該單元在分析體模型或劃分不規(guī)則形狀時特別有優(yōu)勢[9-10]，如圖1所示。

圖1　Solid 98單元Fig.1 Solid 98 elem ent

Solid98單元共有10個節(jié)點(diǎn)，分別為圖中的I、J、K、L、M、N、0、P、Q、R[11]。在單元中，可以根據(jù)需要控制其自由度，而自由度是由KEYOPT（1）這一選項(xiàng)的值來確定的[12-14]。在對壓電材料進(jìn)行分析時，通常把KEYOPT（1）的值設(shè)置為3，相應(yīng)的自由度分別為UX、UY、UZ和VOLT。

采用APDL語言編寫的計(jì)算程序?yàn)?/p>

3　算例分析

考慮一個四邊簡支的功能梯度壓電板，板的長度和寬度分別為a= 1 m和b = 1 m，板厚為h并且滿足關(guān)系式：2h/a = 0.1，0.2，0.3，假設(shè)壓電材料PZT-4材料為功能梯度板的底面材料，其彈性系數(shù)、密度的材料常數(shù)如表1所示[10]。功能梯度材料的性能參數(shù)變化規(guī)律為，材料屬性梯度變化系數(shù)k = 0，0.1，1.0，2.0，3.0。以下計(jì)算功能梯度壓電板在四邊簡支情況下的自振頻率。

表2給出了不同梯度變化情況下功能梯度壓電材料板的固有頻率，并與文獻(xiàn)[15]的有限元計(jì)算結(jié)果作了比較。

由數(shù)據(jù)分析可知，對與梯度分布情況相同的壓電板，隨著板厚的增加，板厚的固有頻率也隨之增加。隨著壓電板屬性梯度幅度的增大，壓電板固有頻率則隨之減小。很明顯，材料屬性梯度變化系數(shù)k的改變，壓電材料的性能參數(shù)在厚度方向上也隨之發(fā)生改變。從數(shù)據(jù)可看出：對于k = 2.0，3.0，當(dāng)系數(shù)變化時，頻率的下降幅度很小，但隨著板厚的增加，頻率的下降幅度越來越大。由誤差數(shù)據(jù)可以看出，隨著板厚的增加，誤差總體上呈現(xiàn)出下降趨勢，這是由于隨著板厚的增加，有限元劃分的網(wǎng)格越來越規(guī)則，因而計(jì)算精度也隨之提高。

應(yīng)當(dāng)指出，相比于六面體單元，文中采用的Solid 98單元適合分析形狀不規(guī)則的物體與單元，因而適用性更廣，在實(shí)際中應(yīng)用更多。當(dāng)然，對于實(shí)際中的有些問題，將六面體單元與四面體單元結(jié)合起來分析，可能會得到更好的效果，這也是需要進(jìn)一步研究的內(nèi)容。

表1　PZT-4的材料常數(shù)Tab.1 M aterial constant of PZT-4

表2　功能梯度板的固有頻率Tab.2 Natural frequency of functionally graded plate

4　結(jié)語

本文利用ANSYS的壓電分析模塊對功能梯度壓電層合板進(jìn)行了分析，利用APDL參數(shù)程序化設(shè)計(jì)程序?qū)崿F(xiàn)了性能參數(shù)的梯度化，對其振動頻率進(jìn)行了計(jì)算，同時，文中采用了Solid 98單元，該單元對于構(gòu)造體模型和不規(guī)則形狀的網(wǎng)格劃分有著獨(dú)特的優(yōu)勢。通過計(jì)算結(jié)果的分析可知：固有頻率與文獻(xiàn)中的精確解基本一致，因此利用APDL語言對材料功能梯度化處理方法是可行的。

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（責(zé)任編輯：劉智勇）

Param eter processing and free vibration characteristic analysis of functionally graded piezoelectricm aterials

QING Guanghui，W U Hongwei
（College of Aeronautical Engineering，CAUC，Tianjin 300300，China）

Abstract：W ith the growing application of piezoelectricmaterials，the characteristic analysis of piezoelectricmaterials is takenmore andmore seriously.For the natural frequency analysis of functionally gradedmaterials，the Solid 98 element in the ANSYS 12.0 and the parameter designing of APDL language are adopted，supposing that the characteristic parametersof thematerial change alongwith the thicknessof the plate.The gradientchange about characteristic parameters of piezoelectricmaterial is realized，and natural frequency of the functionally graded piezoelectric laminate isanalyzed.

Key words：functionally gradient；piezoelectricity；ANSYS；natural frequency

作者簡介：卿光輝（1968—），男，湖南湘潭人，教授，博士，研究方向?yàn)閺?fù)合材料力學(xué).

收稿日期：2014-12-29；修回日期：2015-03-01基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（60979001）

中圖分類號：O177.91；O241.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1674-5590（2016）01-0036-04