李榮　陳莉　王平鮮

摘 要 針對車險索賠次數(shù)數(shù)據(jù)經(jīng)常出現(xiàn)的過度離散問題，采用數(shù)值模擬的方法，分別使用泊松模型（Poisson）、負二項回歸模型（NB）以及廣義泊松模型（GP）對不同程度的過度離散車險索賠次數(shù)數(shù)據(jù)進行擬合，并用均方誤差、偏差以及AIC和BIC準則對Poisson、NB、GP三種模型的優(yōu)良性進行比較分析，得到了不同條件下三種模型的優(yōu)良性，并針對不同的條件給出了模型選擇的建議.

關(guān)鍵詞 過度離散；車險索賠次數(shù)數(shù)據(jù)；負二項模型；廣義泊松模型

中圖分類號 O212.1 文獻標識碼 A

1 引 言

保險公司在進行費率厘定時，需要建立索賠次數(shù)模型與索賠強度模型，在實際應(yīng)用中，車險索賠次數(shù)數(shù)據(jù)常常出現(xiàn)過度離散現(xiàn)象，亦即觀察值方差大于均值的情況.刻畫車險索賠次數(shù)數(shù)據(jù)最常用的是泊松模型，但當數(shù)據(jù)存在過度離散現(xiàn)象時，泊松模型不再適用，這時可以用負二項模型或者廣義泊松模型替代泊松模型，結(jié)果能從一定程度上改善過度離散問題，但不是所有的情況都適用.楊肇和朱凱旋針（2003）、郭海強等（2005）對logistic回歸中的過度離散現(xiàn)象，通過調(diào)整協(xié)方差以及用估計的離散參數(shù)影響參數(shù)估計和參數(shù)的標準誤來調(diào)整回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗結(jié)果，結(jié)論得到一定的改善[1-，2]；Noriszura Tsmail和Abdul Aziz Jemain（2007）用負二項模型與廣義泊松模型作了實證研究，他們對一組特定的理賠次數(shù)找到了合適的模型[3]；同年，Richard Berk和John MacDonald對泊松模型和負二項模型進行了討論，得出，在犯罪學應(yīng)用中用負二項模型去替代泊松模型不是任何情況都適用[4]；之后的一些文獻討論了過度離散現(xiàn)象的檢驗，也將過度離散模型運用到了不同的領(lǐng)域，楊娟（2013）等基于一組真實的B2C商務(wù)數(shù)據(jù)，比較了泊松模型、負二項模型、Tweedie模型對此數(shù)據(jù)的擬合效果、預(yù)測效果以及對過度離散的刻畫[5]；可見，過度離散現(xiàn)象在理賠次數(shù)中是普遍存在的，因此，為數(shù)據(jù)尋求合適的模型是必要的.

本文將考慮在不同過度離散程度條件下，基于均方誤差準則、偏差準則、AIC準則與BIC準則，對Poisson，NB，GP三種模型的優(yōu)良性進行比較研究，為過度離散數(shù)據(jù)尋求合適的模型.

2 基本模型

2.1 泊松回歸模型

對計數(shù)數(shù)據(jù)進行分析通常采用的最基本的模型是泊松模型，設(shè)隨機變量Y服從Poisson分布，記為Y～Poisson（μ），則概率密度函數(shù)為：

3.3 結(jié)果分析

首先，在均方誤差與偏差準則下對3個模型進行比較研究，如圖1所示，當n=50，μ=1時，Poisson模型、NB模型、GP1模型的均方誤差都隨著離散程度的增大逐漸減小，且3個模型的均方誤差完全相等，其值都非常??；偏差在零的附近波動，且3個模型的偏差完全相等，其值接近于零，可以得出，3個模型對于參數(shù)估計，效果都很好，實際應(yīng)用時，擇一即可.隨著樣本量n以及均值μ的增大，亦即n=50，μ=2、n=100，μ=1、n=100，μ=2的情況，結(jié)論與n=50，μ=1時類似，說明3個模型在參數(shù)估計上差別不顯著，如果只是針對參數(shù)估計，那么3個模型擇一即可.而就Poisson模型來講，針對過度離散車險索賠次數(shù)數(shù)據(jù)，雖然其參數(shù)估計值與NB模型、GP1模型差別不明顯，但它會低估參數(shù)的標準誤與增大參數(shù)的顯著性水平，所以在數(shù)據(jù)存在過度離散現(xiàn)象時，Poisson模型要慎用[5].

其次，對3個模型進行擬合優(yōu)度檢驗，如圖2所示，當n=50，μ=1時，Poisson模型、GP1模型的AIC值逐漸減小且隨著離散程度的增大趨于平穩(wěn)，NB模型的AIC值逐漸增大且隨著離散程度的增大也逐漸趨于平穩(wěn)；GP1、NB模型整體優(yōu)于Poisson模型；當θ<0.5時，NB模型優(yōu)于GP1模型，當0.5<θ<0.8時，NB模型與GP1模型幾乎無差別，當θ>0.8時，NB模型優(yōu)于GP1模型.樣本量n=50不變，均值增大到μ=2時，結(jié)論如圖3所示，可以看出，模型AIC值變化趨勢和μ=1時一致，說明數(shù)據(jù)均值變化對模型的優(yōu)良性沒有影響，同樣，當n=100，μ=1、n=100，μ=2的情況，結(jié)論也類似，說明樣本量n的變化對模型的優(yōu)良性也沒有影響.對于BIC值，其變化趨勢與AIC值大致相同，這里不再贅述.

4 結(jié) 論

本文應(yīng)用Monte Carlo模擬方法比較研究了Poisson模型、NB模型、GP1模型對于不同離散程度的車險索賠次數(shù)數(shù)據(jù)的擬合效果，并且對3個模型的優(yōu)良性進行了比較研究.得出以下結(jié)論：1）從模型參數(shù)估計值來看，Poisson模型、NB模型、GP1模型3個模型之間沒有顯著的區(qū)別，如果只是參數(shù)估計，三者擇一即可，但當數(shù)據(jù)存在過度離散現(xiàn)象時，用Poisson模型去擬合過度離散數(shù)據(jù)會低估參數(shù)的標準誤與增大參數(shù)的顯著性水平，出現(xiàn)較大的模型偏差，所以Poisson要慎用；2）由模型擬合優(yōu)度檢驗來看，NB模型與GP1模型整體優(yōu)于Poisson模型，當θ<0.5時，NB模型優(yōu)于GP1模型，此時選擇NB模型較好；當0.5<θ<0.8時，NB模型與GP1模型幾乎無差別，二者擇一即可；當θ>0.8時，NB模型優(yōu)于GP1模型，此時選擇NB模型較好；并且模型選擇與樣本量n、均值μ的大小無關(guān).

參考文獻

[1] 楊肇，朱凱旋.Logistic回歸分析中的過度離散現(xiàn)象及糾正[J].中國衛(wèi)生統(tǒng)計，2003（4）：48-49.

[2] 郭海強， 程大麗，黃德生，等.Logistic回歸中數(shù)據(jù)過度離散及其軟件處理[J].中國醫(yī)科大學學報，2005（2）：144-145+166.

[3] Noriszura ISMAIL， Abdul Aziz JEMAIN. Handing overdispersion with negative binomial and generalized poission regression models[C]//Proceedings of Casualty Actuarial Society Forum，2007：102-158.

[4] Richard BERK， John M.MACDONALD. Overdispersion and Poisson regression [J]. Journal of Quantitative Criminology， 2008，24 （3）：269-284.

[5] 楊娟，謝遠濤.基于過度離散廣義線性模型的來電量預(yù)測[J].統(tǒng)計與決策， 2013（6）：33-36.

[6] Jiewu HUANG， Hu YANG. A twoparameter estimator in the negative binomial regression model[J]. Journal of Statistical Computation and Simulation， 2014，84（1）：124-134.