楊鵬　王震　孫衛(wèi)

摘 要 研究了均值方差準(zhǔn)則下，具有負(fù)債的隨機(jī)微分博弈.研究目標(biāo)是：在終值財(cái)富的均值等于k的限制下，在市場(chǎng)出現(xiàn)最壞的情況下找到最優(yōu)的投資策略使終值財(cái)富的方差最小.即：基于均值方差隨機(jī)微分博弈的投資組合選擇問題.使用線性-二次控制的理論解決了該問題，獲得了最優(yōu)的投資策略、最優(yōu)市場(chǎng)策略和有效邊界的顯示解.并通過(guò)對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步分析，在經(jīng)濟(jì)上給出了進(jìn)一步的解釋.通過(guò)本文的研究，可以指導(dǎo)金融公司在面臨負(fù)債和金融市場(chǎng)情況惡劣時(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)耐顿Y策略使自身獲得一定的財(cái)富而面臨的風(fēng)險(xiǎn)最小.

關(guān)鍵詞 均值方差準(zhǔn)則； 隨機(jī)微分博弈； 線性二次控制； 負(fù)債

中圖分類號(hào) F830 ， O225 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

1 引 言

均值方差投資組合選擇的目標(biāo)是，在終值財(cái)富的均值給定時(shí)使其方差最小.文獻(xiàn)[1]第一次用計(jì)量數(shù)學(xué)方法研究了該問題，并給出了求解投資組合策略的理論框架.近年來(lái)，由于人們對(duì)經(jīng)濟(jì)問題的持續(xù)關(guān)注，均值方差投資組合選擇問題已成為數(shù)理金融研究的最熱點(diǎn)問題.文獻(xiàn)[2]研究了動(dòng)態(tài)多個(gè)時(shí)代的均值方差組合問題.文獻(xiàn)[3]在隨機(jī)LQ的框架下研究了連續(xù)時(shí)間均值方差組合問題，通過(guò)隨機(jī)LQ得到了最優(yōu)策略和有效邊界.文獻(xiàn)[4]研究了馬爾柯夫調(diào)制市場(chǎng)上具有資產(chǎn)負(fù)債的均值方差組合問題，獲得了最優(yōu)策略和有效邊界.

在研究中，發(fā)現(xiàn)已有文獻(xiàn)對(duì)均值方差問題的研究，大多只從投資者的角度出發(fā)，獲得最優(yōu)投資組合，而沒有考慮市場(chǎng)不確定性對(duì)投資者的影響.在實(shí)際中，投資者肯定會(huì)受到市場(chǎng)不確定性因素的影響，因此從投資者和市場(chǎng)2個(gè)角度同時(shí)考慮才更符合實(shí)際.這就是隨機(jī)微分博弈問題.隨機(jī)微分博弈屬于博弈論的范疇.博弈論雖然古已有之，但文獻(xiàn)[5]的發(fā)表才標(biāo)志著隨機(jī)微分博弈時(shí)代的真正到來(lái).隨機(jī)微分博弈，假設(shè)市場(chǎng)是博弈的“虛擬”對(duì)手，通過(guò)投資者和市場(chǎng)之間的雙重博弈得到最優(yōu)的投資組合.它如今已成為數(shù)理金融學(xué)、管理學(xué)科的研究熱點(diǎn).文獻(xiàn)[6]在跳-擴(kuò)散金融市場(chǎng)中，利用隨機(jī)微分博弈論研究了風(fēng)險(xiǎn)最小化的投資組合策略問題.文獻(xiàn)[7]利用隨機(jī)微分博弈論研究了Markov調(diào)制模型下的期權(quán)估值問題.文獻(xiàn)[8]研究了兩個(gè)具有相關(guān)但不同投資機(jī)會(huì)的投資者之間基于隨機(jī)微分博弈的最優(yōu)投資問題.文獻(xiàn)[9]在冪效用和指數(shù)效用下研究了具有負(fù)債的隨機(jī)微分博弈.文獻(xiàn)[10]在冪效用和指數(shù)效用下研究了基于再保險(xiǎn)和投資的隨機(jī)微分博弈.

已往文獻(xiàn)對(duì)隨機(jī)微分博弈的研究大多數(shù)都是基于效用的，很少研究基于均值方差準(zhǔn)則的隨機(jī)微分博弈.基于已往文獻(xiàn)對(duì)均值方差問題和隨機(jī)微分博弈的研究，本文嘗試把這2個(gè)問題結(jié)合起來(lái)研究.另外，目前資產(chǎn)負(fù)債管理已經(jīng)受到理論界和許多金融機(jī)構(gòu)的重視，有越來(lái)越多的學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究，這里不再一一列舉.因此本文在文獻(xiàn)[9]基礎(chǔ)上研究了基于均值方差隨機(jī)微分博弈的資產(chǎn)負(fù)債管理.目標(biāo)是當(dāng)終值財(cái)富的均值一定時(shí)，在市場(chǎng)最壞的情況下，投資者選擇一個(gè)最優(yōu)的投資策略最小化終值財(cái)富的方差.應(yīng)用線性二次控制理論求得了最優(yōu)投資策略、最優(yōu)市場(chǎng)策略和有效邊界，并分析了負(fù)債對(duì)它們的影響.本文的創(chuàng)新點(diǎn)是：在資產(chǎn)負(fù)債管理中引入了均值方差隨機(jī)微分博弈.通過(guò)本文的研究在實(shí)踐上可以指導(dǎo)投資者在具有負(fù)債和市場(chǎng)出現(xiàn)最壞情況下，選擇恰當(dāng)?shù)耐顿Y策略使自身獲得一定的財(cái)富而面臨的風(fēng)險(xiǎn)最??；同時(shí)在理論上豐富和發(fā)展了資產(chǎn)負(fù)債管理和隨機(jī)微分博弈.

2 模型設(shè)定

2.1 金融市場(chǎng)

參考文獻(xiàn)

[1] H M MARKOWITZ. Portfolio section [J]. Journal of Finance， 1952， 7（1）：77-91.

[2] D LI， W L NG. Optimal dynamic portfolio selection： multiperiod meanvariance formulation [J]. Mathematical Finance ， 2000， 10（3）：387-406.

[3] X ZHOU， G YIN. Markowitzs meanvariance portfolio selection with regime switching：a continuoustime model [J]. SIAM Journal on control and optimal， 2003， 42（4）：1466-1482.

[4] S X XIE. Continuoustime portfolio selection with liability and regime switching [J]. Insurance： Mathematical and Economics， 2009， 45（1）：148-155.

[5] R ISAACS. Differential Games [M]. New York：Wiley，1965.

[6] S MATARAMVURA， B OKSENDAL. Risk minimizing portfolios and HJBI equations for stochastic differential games [J]. Stochastics An International Journal of Probability and Stochastic Processes， 2008， 4（3）： 317-337.

[7] T K SIU. A game theoretic approach to option valuation under Markovian regimeswitching models [J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2008， 42（3）：1146-1158.

[8] S BROWNE. Stochastic differential portfolio games [J]. Journal of Applied Probability， 2000， 37 （1）：126-147.

[9] 楊鵬，林祥.隨機(jī)微分博弈下的資產(chǎn)負(fù)債管理[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，52（6）： 30-33.

[10]楊鵬.基于再保險(xiǎn)和投資的隨機(jī)微分博弈[J].數(shù)學(xué)雜志，2014， 34（4） ： 779-786.

[11]楊鵬，林祥.具有隨機(jī)利率、隨機(jī)變差的最優(yōu)投資和聯(lián)合比例超額損失再保[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2012， 29（1）： 42-46.endprint