譚積成，孫晨祺,何首賢（.沈陽(yáng)市和平區(qū)城市建設(shè)管理局，沈陽(yáng) 0000；.遼寧工程技術(shù)大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院，遼寧葫蘆島 505；.大連海洋大學(xué)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，遼寧大連 600）

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基于局部均值分解算法的電力系統(tǒng)低頻振蕩研究

譚積成1，孫晨祺2,何首賢3
（1.沈陽(yáng)市和平區(qū)城市建設(shè)管理局，沈陽(yáng) 110000；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院，遼寧葫蘆島 125105；3.大連海洋大學(xué)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，遼寧大連 116300）

摘要：本文針對(duì)在研究電力系統(tǒng)低頻振蕩時(shí)易出現(xiàn)負(fù)頻率和端點(diǎn)效應(yīng)較嚴(yán)重的問(wèn)題，結(jié)合局部均值分解局部均值分解（LMD），提出了基于LMD的電力系統(tǒng)低頻振蕩研究新方法。該方法可將復(fù)雜的振蕩模態(tài)分解為若干振蕩模態(tài)之和，每個(gè)振蕩模態(tài)由幅值函數(shù)和調(diào)頻函數(shù)之積組成。LMD采用了滑動(dòng)平均法擬合幅值函數(shù)，避免了過(guò)包絡(luò)、欠包絡(luò)現(xiàn)象，端點(diǎn)效應(yīng)較??；通過(guò)對(duì)調(diào)頻函數(shù)求導(dǎo)獲得各個(gè)振蕩模態(tài)的瞬時(shí)頻率都是正的、具有物理意義的時(shí)變頻率。幅值函數(shù)反映了振蕩的阻尼特性，頻率函數(shù)反映了振蕩的時(shí)變特性，研究瞬時(shí)幅值函數(shù)和瞬時(shí)頻率函數(shù)可以有效獲取振蕩模態(tài)的暫態(tài)信息和振蕩特性。

關(guān)鍵詞：局部均值分解低頻振蕩阻尼特性電力系統(tǒng)希爾伯特-黃變換

0　引言

電力系統(tǒng)低頻振蕩是長(zhǎng)期以來(lái)影響系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的主要問(wèn)題之一，對(duì)低頻振蕩特性研究一直是研究熱點(diǎn)[1-3]。一類方法是基于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，采用小信號(hào)穩(wěn)定研究、線性化或利用非線性的分歧、混沌理論研究低頻振蕩[4-7]。由于電力系統(tǒng)是復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，線性化方法存在很多不足，分歧、混沌理論也受限于系統(tǒng)方程規(guī)模和方程階次，而且基于系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法，由于參數(shù)和模型的誤差，很難真實(shí)反映低頻振蕩特性[7]。

另一類方法是通過(guò)研究仿真或?qū)崪y(cè)數(shù)據(jù)來(lái)提取振蕩特征，這類方法的算法有FFT算法、小波算法[8]、Prony算法[9]、HHT算法[6-7]等。FFT無(wú)法反映振蕩的瞬時(shí)頻率及阻尼特性問(wèn)題，小波方法存在小波基選取困難、缺乏自適應(yīng)等難題，Prony算法在系統(tǒng)實(shí)際階數(shù)的辨識(shí)、非平穩(wěn)信號(hào)的擬合能力及抑制噪聲方面的效果不夠理想[7]。HHT算法是近年來(lái)興起的一種全新的非線性、非平穩(wěn)信號(hào)處理方法，并具有良好的自適應(yīng)特性。但也經(jīng)常出現(xiàn)難以解釋的負(fù)頻率現(xiàn)象[10]。

局部均值分解算法（Local Mean Decomposition,LMD），是將一個(gè)非平穩(wěn)非線性的多分量信號(hào)分解為系列乘積函數(shù)之和。包絡(luò)信號(hào)的瞬時(shí)幅值可以直接求出；瞬時(shí)頻率是由純調(diào)頻信號(hào)求出。LMD已成功應(yīng)用于腦電信號(hào)研究、機(jī)械故障診斷以及瞬時(shí)頻率提取[10]，本文結(jié)合LMD，提出一種基于LMD的電力系統(tǒng)低頻振蕩研究新方法。

1　局部均值分解原理

局部均值LMD是在EMD分解的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，分解步驟如下【11】：

1）首先計(jì)算兩個(gè)相鄰的局部極值點(diǎn)平均值，

計(jì)算公式如下：

式中ni為信號(hào)局部極值點(diǎn),將局部均值點(diǎn)mi和mi+1用折線連接，并用滑動(dòng)平均方法進(jìn)行平滑處理后，得到局部均值函數(shù)m11（t）。

2）求出包絡(luò)估計(jì)值，計(jì)算公式如下：

將局部均值點(diǎn)ai和ai+1用折線連接，并用滑動(dòng)平均法對(duì)進(jìn)行滑動(dòng)平滑處理后，得到包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a11（t）。

3）從原始信號(hào)中將m11（t）分離出，得到信號(hào)h11（t）：

4）兩邊同時(shí)除以a11（t），得到調(diào)頻信號(hào)s11（t）：

將上式重復(fù)上述步驟,得到的包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a12（t）。若a12（t）=1， s11（t）是純調(diào)頻信號(hào)；如果不等于1，s11（t）不是純調(diào)頻信號(hào)，把s11（t）重復(fù)上述迭代過(guò)程，直至s1n（t）為一個(gè)純調(diào)頻信號(hào)，所以有：

（5）、（6）式。

終止的條件為：

5）將產(chǎn)生的包絡(luò)估計(jì)函數(shù)做乘積，得到包絡(luò)信號(hào)a1（t）：

6）將上式與s1n（t）做乘積，得到原始信號(hào)的第一個(gè)PF分量：

7） 將PF1（t）分量從原始信號(hào)分離出來(lái)，得到信號(hào)u1（t），將u1（t）信號(hào)重復(fù)以上步驟，循環(huán)k次，直到uk（t）為單調(diào)函數(shù)為止。則有：

從以上步驟可以看出，原始信號(hào)可以由uk（t）和所有PF分量重構(gòu)，即：

由上式可知，每個(gè)PF分量由純包絡(luò)信號(hào)a（t）和純調(diào)頻函數(shù)s（t）=cosφ（t）組成，其頻率f可由純調(diào)頻函數(shù)s（t）直接求解，即：

總之，同HHT方法相比，LMD求取不會(huì)出現(xiàn)HHT中負(fù)頻率的現(xiàn)象。

2　基于LMD的電力系統(tǒng)低頻振蕩研究

可將振蕩信號(hào)表示為幅值按指數(shù)規(guī)律變化、某些頻率固定的正弦信號(hào)（振蕩模式）的線性組合，則一個(gè)振蕩模式通?？杀硎緸椋?/p>

即可提取線性化頻率指標(biāo)。

基于LMD的電力系統(tǒng)低頻振蕩研究和基于HHT的研究方法類似，對(duì)時(shí)域仿真或?qū)崪y(cè)振蕩信號(hào)進(jìn)行LMD分解，可以研究低頻振蕩模式的暫態(tài)信息、振蕩特性和非線性研究。其基本原理利用LMD分解實(shí)現(xiàn)非線性、非平穩(wěn)振蕩信號(hào)的平穩(wěn)化處理。

LMD和HHT雖然都是利用信號(hào)的極值點(diǎn)來(lái)分解復(fù)雜信號(hào)，但在信號(hào)具體的分解過(guò)程中也有區(qū)別。首先，LMD采用滑動(dòng)平均方法擬合包絡(luò)函數(shù)，避免了HHT采用三次樣條插值時(shí)易出現(xiàn)的過(guò)沖、欠沖現(xiàn)象；其次，LMD是通過(guò)除以包絡(luò)函數(shù)得到PF分量，而HHT得到IMF分量時(shí)不斷減去包絡(luò)均值函數(shù)，顯然HHT的“篩分”次數(shù)較多，而“篩分”次數(shù)越多，向內(nèi)污染的程度就越嚴(yán)重；另外，HHT是通過(guò)Hilbert變換求取瞬時(shí)頻率，HHT引入的積分變換增加了計(jì)算量，而且采用HHT所求取的瞬時(shí)頻率經(jīng)常出現(xiàn)頻率是負(fù)值的難以解釋的物理現(xiàn)象，LMD是直接通過(guò)調(diào)頻函數(shù)求取信號(hào)的瞬時(shí)頻率，所求得瞬時(shí)頻率是連續(xù)的正值、具有物理意義的時(shí)變頻率，運(yùn)算量較小。和HHT的低頻振蕩研究方法相比，采用LMD的研究方法理論上具有明顯的優(yōu)勢(shì)，更適合在線應(yīng)用。

3　算例研究

為了與采用HHT的研究方法做對(duì)比，本文算例取電力系統(tǒng)單一振蕩模態(tài)、主導(dǎo)時(shí)間不同的混合振蕩模態(tài)和主導(dǎo)時(shí)間混迭的混合振蕩模態(tài)三種典型信號(hào)。

3.1 單一振蕩模態(tài)

振蕩模型如下式：

為減少HHT和LMD的端點(diǎn)效應(yīng)，本文采用鏡像拓延的方法，HHT“篩分”終止條件采用Rilling提出的準(zhǔn)則[17]，采樣頻率為100 Hz，分別對(duì)信號(hào)x（t）進(jìn)行LMD和HHT分解，擾動(dòng)量為0.01，所得相關(guān)波形如圖1所示。

從圖1可知采用LMD的時(shí)頻研究方法可有效提取單一振蕩模態(tài)的瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)頻率。由圖1中的HHT提取幅值函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，HHT方法提取的瞬時(shí)幅值函數(shù)波動(dòng)較大，這一點(diǎn)和文獻(xiàn)采用HHT方法得到的結(jié)果相似；對(duì)比HHT和LMD方法得到的瞬時(shí)幅值函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，本文所提方法提取的瞬時(shí)幅值函數(shù)比較光滑，在端點(diǎn)處的幅值更接近實(shí)際信號(hào)的幅值，而且端點(diǎn)效應(yīng)也??；究其原因一是因?yàn)長(zhǎng)MD采用滑動(dòng)平均方法擬合包絡(luò)函數(shù)，端點(diǎn)效應(yīng)影響更小；二是LMD通過(guò)除以包絡(luò)函數(shù)得到PF，得到一個(gè)PF分量時(shí)“篩分”次數(shù)更少，向內(nèi)污染的程度較輕。由圖1中的瞬時(shí)頻率函數(shù)對(duì)比可知，利用本文所提方法得到的瞬時(shí)頻率波形是一條光滑的直線，頻率始終是正值（頻率為1Hz），HHT方法所求取得瞬時(shí)頻率波動(dòng)較大，而且HHT所求瞬時(shí)頻率出現(xiàn)了難以解釋的負(fù)頻率的物理現(xiàn)象。

圖1　基于 LMD的單一振蕩模態(tài)時(shí)頻研究

對(duì)幅值函數(shù)a1（t）進(jìn)行曲線擬合得到的阻尼特性采用HHT方法所得結(jié)果如表1所示。

表1　測(cè)試信號(hào)的LMD和HHT研究結(jié)果

由表1可知，LMD和HHT方法都可以準(zhǔn)確得到振蕩的阻尼系數(shù)，但LMD方法獲取的振蕩頻率和最大幅值更接近理論值。

3.2 主導(dǎo)時(shí)間不同的混合振蕩模態(tài)

振蕩模型：

分別用LMD和HHT分解x（t）所得的時(shí)頻研究結(jié)果如圖2所示。由圖2（a）可以看出LMD提取的PF1分量的幅值比HHT方法提取的imf1的幅值稍大，說(shuō)明PF1的泄漏的能量更少；從圖2（b）中可已發(fā)現(xiàn)HHT方法提取的瞬時(shí)幅值波動(dòng)較大，這一點(diǎn)和有關(guān)研究表明采用HHT方法所得的波形相同，而且所求取的瞬時(shí)幅值波形受端點(diǎn)效應(yīng)影響較大；和HHT方法相比，用本文所提方法獲得的瞬時(shí)幅值函數(shù)比較平滑，在初始端點(diǎn)出的幅值也較大；從圖2（b）可知LMD方法獲得的瞬時(shí)頻率函數(shù)較平滑，沒(méi)有突變點(diǎn)，而且都是正值，準(zhǔn)確檢測(cè)出了三個(gè)不同時(shí)間的主導(dǎo)模態(tài)信號(hào)頻率分別為1 Hz、0.4 Hz和0.25 Hz。

圖2　主導(dǎo)時(shí)間不同振蕩模態(tài)時(shí)頻研究

根據(jù)圖2中頻率突變點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間可將瞬時(shí)幅值函數(shù)a1（t）分為三段，分別采用曲線擬合，得到的x（t）的振蕩模態(tài)參數(shù)如表2所示。由表2可知研究主導(dǎo)時(shí)間不同的混合振蕩模態(tài)時(shí)，LMD和HHT方法都可以提取振蕩信號(hào)的瞬時(shí)頻率，但LMD方法求取的初始幅值更符合實(shí)際。

3.3 主導(dǎo)時(shí)間混迭的混合振蕩模態(tài)

振蕩模型：

采樣頻率為400 Hz，信號(hào)x（t）的波形及其經(jīng)過(guò)LMD分解得到的時(shí)頻研究結(jié)果如圖3所示。

由圖3中的PF1、PF2和PF3可知，LMD方法可有效分離x（t）中的混合振蕩模態(tài)，PF1對(duì)應(yīng)基波，PF2對(duì)應(yīng)1Hz的振蕩模態(tài)，PF3對(duì)應(yīng)0.42Hz的振蕩模態(tài)，有關(guān)文獻(xiàn)如采用HHT方法提取了4個(gè)模態(tài)，而LMD提取了3個(gè)模態(tài)，用本文方法提取的模態(tài)更符合x(chóng)（t）的振蕩模態(tài)；幅值a1（t）、a2（t）和a3（t）分別是基波、1Hz的振蕩模態(tài)和0.42Hz的振蕩模態(tài)的瞬時(shí)幅值，和采用HHT的方法相比，用LMD方法得到幅值函數(shù)更平滑；從圖3中的各個(gè)PF分量的頻率可知，采用LMD方法獲取的不同振蕩模態(tài)的瞬時(shí)頻率更準(zhǔn)確，瞬時(shí)頻率波形效果明顯優(yōu)于采用HHT的方法。

和采用HHT的方法一樣，LMD所得數(shù)據(jù)在端點(diǎn)處也受端點(diǎn)效應(yīng)影響，只不過(guò)影響程度較低；除基波振蕩外，為了準(zhǔn)確知道端點(diǎn)處的相關(guān)數(shù)值，對(duì)幅值函數(shù)a2（t）和a3（t）分別進(jìn)行曲線擬合，得到的系統(tǒng)振蕩模態(tài)參數(shù)如表3所示。

表2　不同主導(dǎo)時(shí)間的混合振蕩模態(tài)時(shí)頻研究結(jié)果

表3　主導(dǎo)時(shí)間的混迭的振蕩模態(tài)時(shí)頻研究結(jié)果

由表3可知，對(duì)主導(dǎo)時(shí)間混迭的振蕩模態(tài)，LMD方法所得到的振蕩模態(tài)參數(shù)也優(yōu)于HHT方法得到的振蕩模態(tài)參數(shù)。

圖3　基于 LMD的主導(dǎo)時(shí)間混迭的振蕩模態(tài)時(shí)頻研究

4　結(jié)語(yǔ)

本文結(jié)合局部均值分解，提出了基于LMD的電力系統(tǒng)低頻振蕩研究新方法，該方法可將復(fù)雜的振蕩模態(tài)分解為若干振蕩模態(tài)之和，每個(gè)振蕩模態(tài)由幅值函數(shù)和調(diào)頻函數(shù)之積組成。LMD和 HHT方法相比，仿真結(jié)果表明了用LMD方法提取的瞬時(shí)幅值函數(shù)和瞬時(shí)頻率函數(shù)曲線較平滑，受端點(diǎn)效應(yīng)的影響也很小，所得振蕩幅值初始值更接近理論值。

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Research on Low Frequency Oscillation of Power System Based on LMD

Tan Jicheng1,Sun Chenqi2，He Shouxian3
（1.Urban Construction Administrative Bureau of Heping Area of Shenyang,Shenyang 110000,China；2.Faculty of Electrical and Control Engineering of Liaoning Technical University,Huludao 125105,Liaoning,China；3.Applied Technology College of Dalian Ocean University,Dalian 116300,Liaoning,China）

Abstract:Aimed at more serious problem of negative frequencies and the end effect in the analysis of power system low frequency oscillation for HHT,and combined with the local mean decomposition,this paper presents a new analysis of the LMD-based power system low frequency oscillation.The method separates complex oscillation mode into certain number of oscillation modes,each oscillation mode of which is composed of amplitude function and FM function integrated.LMD uses sliding average method to fit the amplitude function,avoiding over and low envelope,due to the phenomenon of the envelope,and having small the end effect.By the derivation of the FM function,the instantaneous frequency of the oscillation modes obtained is positive,and has the physical meaning of the time-varying frequency.That means,the amplitude function reflects the oscillation damping characteristics ,and the frequency function reflects the time-varying characteristics of oscillation.

Keywords:local mean decomposition;low frequency oscillation;damping characteristics;power system;Hilbert-Huang Transform

作者簡(jiǎn)介：譚積成（1960-），男，工程師。研究方向：電氣工程及其自動(dòng)化。

收稿日期：2015-09-09

中圖分類號(hào)：TM712

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-4862（2016）01-0057-05