錢　航，鄭建華，李明濤，李　暉，高　東，于錫崢

(1.中國(guó)科學(xué)院 復(fù)雜航天系統(tǒng)電子信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京　100190；

2.中國(guó)科學(xué)院 空間天氣學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京　100190； 3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)， 北京　100190)

?

星際探測(cè)太陽(yáng)帆行星和太陽(yáng)借力軌道全局優(yōu)化*

錢航1,3，鄭建華1，李明濤1，李暉2，高東1，于錫崢1

(1.中國(guó)科學(xué)院 復(fù)雜航天系統(tǒng)電子信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京100190；

2.中國(guó)科學(xué)院 空間天氣學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京100190； 3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)， 北京100190)

摘要：以太陽(yáng)帆在20年內(nèi)飛行至距離太陽(yáng)200 AU以遠(yuǎn)進(jìn)行星際探測(cè)為目標(biāo)，研究太陽(yáng)帆通過(guò)行星借力和太陽(yáng)借力的軌道全局優(yōu)化問(wèn)題。建立太陽(yáng)帆時(shí)間最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道數(shù)學(xué)模型，分析行星借力和太陽(yáng)借力的約束條件，并用這些約束條件構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，從而將軌道優(yōu)化的四點(diǎn)邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解無(wú)約束條件下的多變量?jī)?yōu)化問(wèn)題。通過(guò)選取合理的約束權(quán)重，采用遺傳算法獲得大范圍的粗略解，代入到序列二次規(guī)劃算法中獲得高精度解。仿真結(jié)果表明，雖然太陽(yáng)帆通過(guò)太陽(yáng)借力已獲得相當(dāng)大的加速度，但加上木星借力仍然可以節(jié)省相當(dāng)多的飛行時(shí)間。提出的軌道優(yōu)化思路，可以為太陽(yáng)系逃逸任務(wù)軌道初步設(shè)計(jì)提供參考。

關(guān)鍵詞：星際探測(cè)；太陽(yáng)帆；引力輔助；太陽(yáng)光壓輔助；軌道全局優(yōu)化

外日球?qū)右约靶请H空間是人類從未直接探索過(guò)的嶄新領(lǐng)域，蘊(yùn)含著許多重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)的無(wú)限可能。迄今為止，國(guó)際上還沒(méi)有一個(gè)專門設(shè)計(jì)的飛船計(jì)劃對(duì)其展開綜合性的就位與遙感探測(cè)。作為國(guó)際上首個(gè)為飛出日球?qū)犹剿魅祟悘奈从|及且知之甚少的星際空間而專門設(shè)計(jì)的飛船探測(cè)計(jì)劃，中科院空間中心提出的星際快車(Interstellar Express)——“神梭”探測(cè)計(jì)劃將開展概念研究，旨在設(shè)計(jì)一種能在20年內(nèi)穿過(guò)日球?qū)舆吔绲竭_(dá)200AU(天文單位，1AU=1.495 978 70×1011m，表示地球到太陽(yáng)的平均距離)以外星際空間的飛船方案，實(shí)現(xiàn)對(duì)外日球?qū)雍托请H空間的等離子體、中性成分、塵埃、磁場(chǎng)、高能粒子、宇宙線和太陽(yáng)系外紅外輻射等信息的首次綜合性就位及遙感探測(cè)，從而研究日球?qū)觾?nèi)外的物質(zhì)分布特性、鄰近太陽(yáng)系星際介質(zhì)的性質(zhì)、動(dòng)力學(xué)特征及演化規(guī)律，揭示日球?qū)优c星際介質(zhì)的相互作用過(guò)程及相互影響機(jī)制，促進(jìn)對(duì)外日球?qū)印⑧徑请H空間以及二者之間耦合過(guò)程的深入認(rèn)識(shí)。

“神梭”探測(cè)計(jì)劃的首要技術(shù)挑戰(zhàn)就是設(shè)計(jì)一種經(jīng)濟(jì)可行的推進(jìn)技術(shù)方案?，F(xiàn)有四種先進(jìn)星際航行推進(jìn)技術(shù)：放射性同位素電推進(jìn)(Radioisotope Electric Propulsion, REP)、核電推進(jìn)(Nuclear-Electric Propulsion, NEP)、太陽(yáng)帆推進(jìn)(Solar Sail Propulsion, SSP)以及引力輔助推進(jìn)(Gravity Assist Propulsion, GAP，即行星借力)。其中，太陽(yáng)帆航天器雖然受到的太陽(yáng)光壓力很小，但持續(xù)加速可使太陽(yáng)帆航天器在長(zhǎng)時(shí)間后獲得相當(dāng)可觀的速度，并且利用太陽(yáng)帆可以實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)航天器無(wú)法實(shí)現(xiàn)的非開普勒軌道，因而備受重視。

在太陽(yáng)帆借力飛行和軌道優(yōu)化方面，意大利比薩大學(xué)學(xué)者Quarta和Mengali根據(jù)非理想太陽(yáng)帆的最優(yōu)控制律設(shè)計(jì)了通過(guò)一次金星借力與水星交會(huì)的最小時(shí)間轉(zhuǎn)移軌道[1]。Dachwald基于進(jìn)化神經(jīng)元算法研究了關(guān)于理想和非理想太陽(yáng)帆的最優(yōu)逃逸太陽(yáng)系軌道，并以太陽(yáng)帆最大耐熱溫度而不是以最小近日距離為優(yōu)化約束[2]。Leipold總結(jié)了NASA冰火項(xiàng)目任務(wù)，提出高性能太陽(yáng)帆采用單次或雙次太陽(yáng)光壓輔助可以更快地飛往冥王星甚至更遠(yuǎn)目標(biāo)，并認(rèn)為無(wú)須進(jìn)行引力輔助[3]。Matloff在給NASA報(bào)告中提出了在0.2 AU近日點(diǎn)的雙曲軌道展開太陽(yáng)帆、在橢圓軌道的近日點(diǎn)0.2AU展開太陽(yáng)帆和木星借力這三種可能的近星際太陽(yáng)帆探測(cè)方案設(shè)想，但沒(méi)有給出具體任務(wù)軌道設(shè)計(jì)[4]。Vulpetti首次提出了三維角動(dòng)量翻轉(zhuǎn)太陽(yáng)帆日心逃逸軌道設(shè)計(jì)方法[5]。

針對(duì)太陽(yáng)系行星近似共面特點(diǎn)，太陽(yáng)帆逃逸太陽(yáng)系任務(wù)基于平面二體模型，對(duì)從地球出發(fā)在20年內(nèi)通過(guò)行星借力和太陽(yáng)借力獲得巨大加速后到達(dá)距離太陽(yáng)200 AU以遠(yuǎn)的軌道做初步設(shè)計(jì)。該問(wèn)題需要考慮行星借力時(shí)太陽(yáng)帆與行星位置約束，以及太陽(yáng)借力時(shí)不得小于最小近日距離約束，和終端200 AU約束，屬于復(fù)雜四點(diǎn)邊值問(wèn)題，用傳統(tǒng)方法求解存在難以收斂、對(duì)初值敏感或計(jì)算速度慢等缺點(diǎn)。針對(duì)這一問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的優(yōu)化問(wèn)題，并引入相關(guān)算法進(jìn)行求解。

1理想太陽(yáng)帆時(shí)間最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道

給出太陽(yáng)帆運(yùn)動(dòng)方程的極坐標(biāo)形式，軌道半徑為r，軌道相角為θ，徑向速度是vr，橫向速度為vθ，那么太陽(yáng)帆在日心黃道J2000坐標(biāo)系中平面軌道運(yùn)動(dòng)方程[6-9]為：

(1)

(2)

(3)

(4)

由于太陽(yáng)帆不消耗燃料，唯一優(yōu)化指標(biāo)是飛行時(shí)間，故目標(biāo)函數(shù)為：

(5)

構(gòu)造該系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)。

(6)

其中：λ=[λ1λ2λ3λ4]T為協(xié)態(tài)矢量。

(7)

(8)

(9)

(10)

根據(jù)龐德里亞金極小值原理，最優(yōu)控制輸入u*≡α*使哈密頓函數(shù)H最小。

(11)

其中：x*和λ*分別表示最優(yōu)狀態(tài)和最優(yōu)協(xié)態(tài)矢量。最優(yōu)方向角α*可以通過(guò)?H/?α=0得到。[10]

(12)

由協(xié)態(tài)方程(7)～(10)和式(12)可以看出，最優(yōu)控制輸入可由協(xié)態(tài)變量初值完全確定。

2借力與優(yōu)化模型

2.1行星借力

(13)

設(shè)vbody為行星在日心黃道慣性坐標(biāo)系中的速度，在太陽(yáng)帆飛越行星前后，相對(duì)行星的速度分別為：

(14)

(15)

(16)

在飛越前后，太陽(yáng)帆相對(duì)于行星的速度大小滿足：

(17)

則當(dāng)進(jìn)行引力輔助時(shí)約束為：

(18)

(19)

引力輔助通過(guò)將相對(duì)速度矢量旋轉(zhuǎn)δ角度，可以張成錐形空間，使得軌道能量增加或減少(相對(duì)速度大小不變)。對(duì)于平面行星借力問(wèn)題，可以將相對(duì)速度δ角度張成扇形空間處理。計(jì)算得到標(biāo)稱轉(zhuǎn)角δ，優(yōu)化轉(zhuǎn)角系數(shù)s，使得相對(duì)速度在扇形空間內(nèi)(實(shí)際轉(zhuǎn)角為轉(zhuǎn)角系數(shù)s與標(biāo)稱轉(zhuǎn)角δ乘積，-1≤s≤1)。

2.2太陽(yáng)借力

太陽(yáng)借力，又稱為太陽(yáng)光壓輔助，是太陽(yáng)帆獨(dú)有的動(dòng)力學(xué)特性。根據(jù)太陽(yáng)光壓加速度的計(jì)算公式(3)和式(4)，太陽(yáng)帆獲得的光壓加速度與帆日距離平方成反比。對(duì)于星際飛行，從地球出發(fā)后先向內(nèi)飛靠近太陽(yáng)，獲得巨大速度后逃逸出太陽(yáng)系?？紤]到材料的耐熱性，太陽(yáng)帆距離太陽(yáng)限制在規(guī)定的距離以外。

rsail≥rmin

(20)

(21)

2.3全局優(yōu)化

太陽(yáng)帆轉(zhuǎn)移軌道的初始條件為

(22)

終端約束條件為

(23)

其中：t0，tf分別為出發(fā)時(shí)刻和到達(dá)時(shí)刻；r0，rf分別為地球軌道半徑和最遠(yuǎn)飛行距離。要求太陽(yáng)帆初始相位角與地球相位角相同θ(t0)=θ0，對(duì)終端時(shí)刻相位角沒(méi)有要求θ(tf)=free。

(24)

由式(8)可知，終端時(shí)刻并沒(méi)有對(duì)相位角進(jìn)行約束，則在時(shí)間區(qū)間[tga,tf]內(nèi)，相位角的協(xié)態(tài)變量滿足λ2=0。由式(8)和式(24)可以看出，在行星借力前的飛行時(shí)間區(qū)間[t0,tga]內(nèi)，相位角的協(xié)態(tài)變量同樣滿足λ2=0，即整個(gè)飛行區(qū)間[t0,tf]內(nèi)λ2=0，這樣就可以減少兩個(gè)優(yōu)化變量，使得優(yōu)化計(jì)算過(guò)程更順利進(jìn)行。

采用行星借力和太陽(yáng)借力的太陽(yáng)帆飛往太陽(yáng)系邊緣的任務(wù)軌道在行星借力處分為兩段，行星借力認(rèn)為是瞬間完成，相當(dāng)于獲得速度增量。而行星借力和太陽(yáng)借力的先后順序以及行星借力高度則是優(yōu)化結(jié)果。

行星借力時(shí)要求太陽(yáng)帆和借力天體的日心位置相同，即

rsail(tga)=rbody(tga)

(25)

同時(shí)，考慮到太陽(yáng)帆飛越行星時(shí)必須有距離行星表面的安全高度hmin，這里規(guī)定為500 km，則

(26)

其中：Rbody為行星的半徑。該約束為硬約束，構(gòu)造約束函數(shù)方法同式(21)。

為使優(yōu)化更容易，將行星借力約束和太陽(yáng)借力約束轉(zhuǎn)化在目標(biāo)函數(shù)中，則太陽(yáng)帆最優(yōu)控制的目標(biāo)函數(shù)為：

(27)

將協(xié)態(tài)變量初值作為尋優(yōu)變量，從而太陽(yáng)借力和行星借力組合的太陽(yáng)帆轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)無(wú)約束多變量?jī)?yōu)化問(wèn)題，尋優(yōu)參數(shù)為：

Y=[t0t1tfsλ11λ13λ14λ21λ23λ24]T

(28)

其中：t0為太陽(yáng)帆從地球出發(fā)所經(jīng)歷的時(shí)間，t1為從出發(fā)到借力時(shí)刻所經(jīng)歷的時(shí)間，tf為飛行總時(shí)間，s為轉(zhuǎn)角系數(shù)；λ11，λ13，λ14為第一段軌道的協(xié)態(tài)變量初值；λ21，λ23，λ24為第二段軌道的協(xié)態(tài)變量初值。

如圖1所示，主要討論從地球出發(fā)的太陽(yáng)帆通過(guò)行星借力和太陽(yáng)借力加速的時(shí)間最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)，屬于四點(diǎn)邊值問(wèn)題(Four-Point Boundary Value Problem, 4PBVP)，并且動(dòng)力學(xué)模型復(fù)雜，用傳統(tǒng)方法求解存在難以收斂、對(duì)初值敏感或計(jì)算速度慢等缺點(diǎn)。針對(duì)這一問(wèn)題，通過(guò)混合優(yōu)化算法來(lái)解決，即先采用遺傳算法獲得大范圍的粗略解形成太陽(yáng)帆整體飛行軌跡，代入到序列二次規(guī)劃(Sequential Quadratic Programming，SQP)算法中獲得高精度解以加強(qiáng)約束[13]。圖2是該套算法的流程圖。

圖1復(fù)雜約束的四點(diǎn)邊值問(wèn)題Fig.1　4PBVP with complicated path constraints

圖2　算法流程圖Fig.2　Flow chart of algorithm

3算例與分析

為了便于同僅以太陽(yáng)借力的太陽(yáng)系逃逸任務(wù)軌道對(duì)比，仿真參數(shù)取自Leipold經(jīng)典文獻(xiàn)的算例[14]。太陽(yáng)帆的特征加速度ac=0.75 mm/s2，對(duì)應(yīng)的太陽(yáng)帆尺寸為160 m×160 m，總質(zhì)量為280 kg。特征加速度小于1 mm/s2，是目前國(guó)際上太陽(yáng)帆能夠達(dá)到的制造技術(shù)水平。2000年左右，NASA提出星際探測(cè)器任務(wù)[15]，其太陽(yáng)帆特征加速度選擇為3～4 mm/s2，屬于高性能太陽(yáng)帆，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)當(dāng)今的制造技術(shù)水平。出發(fā)時(shí)雙曲超越速度C3=0 km2/s2，最小近日距離是0.1 AU，最遠(yuǎn)飛行200 AU，總飛行時(shí)間為21.2 h。圖3為該算例的軌道圖。

以下借力參數(shù)根據(jù)實(shí)際情況合理選取。太陽(yáng)帆出發(fā)的窗口時(shí)間選擇在2020年1月1日00:00：00至2035年1月1日00:00：00，借力時(shí)間是第100至1000天，整個(gè)飛行時(shí)間從15年到25年(每年按365.25天算)。選擇借力天體為木星，木星的引力常數(shù)為1.266 87×108km3/s2，其半徑為71 400 km。出發(fā)天體為地球，按二體圓軌道進(jìn)行遞推。選擇歷元為MJD 54000時(shí)兩個(gè)天體的軌道根數(shù)，以此時(shí)長(zhǎng)半軸為圓軌道半徑，以此時(shí)平近點(diǎn)角為相角，相應(yīng)軌道參數(shù)見(jiàn)表1。

圖3　Leipold文獻(xiàn)中的最優(yōu)太陽(yáng)帆軌跡[14]Fig.3　Leipold’s optimal trajectory with dual solar photonic assist

行星長(zhǎng)半軸/AU平近點(diǎn)角/(°)木星5.207048482836224.406064159641地球1.000840371998260.350295639764

采用MATLAB的ode113積分器，積分相對(duì)和絕對(duì)精度為1×10-10。經(jīng)過(guò)反復(fù)調(diào)試，在算法的最優(yōu)性和收斂性上做了平衡，遺傳算法的參數(shù)最終設(shè)定為種群代數(shù)為10，種群大小為10 000，交叉概率為0.8，精英解保持個(gè)數(shù)為2；SQP算法最終設(shè)定為迭代次數(shù)為10 000；目標(biāo)函數(shù)中最小近日不等式約束權(quán)重k1=1018，等式約束k2=103，借力天體徑向約束權(quán)重k3=102，相角約束權(quán)重k4=102，借力高度不等式約束k5=1018，終端最遠(yuǎn)距離約束k6=10，硬約束的權(quán)重遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于軟約束。

仿真得到太陽(yáng)帆出發(fā)時(shí)刻是2023年12月4日06：37：09，到達(dá)時(shí)刻是2041年05月10日18：10：58，借力飛行時(shí)間是第734.463天，總飛行時(shí)間是17.4年。太陽(yáng)帆距離太陽(yáng)最近為0.100 004 AU，最遠(yuǎn)飛行距離距日200.005 022 AU，解來(lái)出的初始值是Y=[1 036.981 672 586 412.634 310 670 6109.534 052 051 51.000 000 000 00.842 889 169 70.217 008 775 10.298 441 508 6-0.114 242 867 11.365 045 386 7-0.043 180 891 0]T。

圖4　太陽(yáng)帆飛行至200 AU以遠(yuǎn)軌道圖Fig.4　Sailcraft interstellar trajectory beyond 200 AU

圖4為優(yōu)化得到的太陽(yáng)帆飛行至200 AU以遠(yuǎn)軌道，可見(jiàn)算法優(yōu)化的結(jié)果是先進(jìn)行太陽(yáng)借力，而后進(jìn)行行星借力。對(duì)比圖3和圖4，兩個(gè)軌道在進(jìn)行太陽(yáng)借力軌道段是大致相同的，都是進(jìn)行了兩次太陽(yáng)借力，本文給出的算法算例在太陽(yáng)帆飛越木星時(shí)獲得借力，飛行方向發(fā)生明顯變化，比Leipold算例節(jié)省3.8年的時(shí)間正是木星借力的結(jié)果。

圖5　太陽(yáng)帆控制角曲線圖Fig.5　Solar sail control angle curve

圖5是太陽(yáng)帆控制角隨時(shí)間變化曲線。從圖5中可以看出太陽(yáng)帆姿態(tài)角發(fā)生3次突變，第1次突變和第2次突變均是太陽(yáng)帆姿態(tài)角從一個(gè)極限位置轉(zhuǎn)變到另一個(gè)極限位置。結(jié)合圖6太陽(yáng)帆速度隨時(shí)間變化曲線，控制角第1次突變和第2次突變是太陽(yáng)帆在其遠(yuǎn)日點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整，第3次突變是由木星借力產(chǎn)生。從圖6看出，木星借力得到的速度增量將太陽(yáng)帆加速(Δv=39.920 km/s)，并且使太陽(yáng)帆速度方向偏轉(zhuǎn)43°。在獲得木星加速后，也就是距離太陽(yáng)5 AU后，太陽(yáng)帆所受光壓力很小，獲得加速也很小，拋掉太陽(yáng)帆更有利于科學(xué)載荷開展工作(圖5和圖6由于后續(xù)曲線幾乎不發(fā)生改變，故只取前5年的變化曲線)。

圖6　太陽(yáng)帆速度曲線圖Fig.6　Solar sail velocity curve

表2給出了借力時(shí)太陽(yáng)帆與借力天體絕對(duì)差，反映太陽(yáng)帆與借力天體交會(huì)時(shí)，兩者位置差是73 592 km，即借力高度是2192 km；并獲得了39.920 km/s的速度增量，相當(dāng)于8.421 AU/a，使得太陽(yáng)帆絕對(duì)速度增加了1.857 AU/a。

表2　借力時(shí)太陽(yáng)帆與借力天體絕對(duì)差

4結(jié)論

研究了太陽(yáng)帆通過(guò)行星和太陽(yáng)借力飛行至太陽(yáng)系邊緣的軌道全局優(yōu)化問(wèn)題，將復(fù)雜的四點(diǎn)邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為無(wú)約束的參數(shù)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，通過(guò)合理地設(shè)計(jì)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和約束參數(shù)，利用混合優(yōu)化算法，計(jì)算得到了滿足條件的組合借力逃逸太陽(yáng)系軌道。仿真結(jié)果表明，雖然太陽(yáng)帆通過(guò)太陽(yáng)借力已獲得相當(dāng)大加速，但加上行星借力仍然可以節(jié)省相當(dāng)多的任務(wù)時(shí)間；到達(dá)木星軌道后，太陽(yáng)帆所受光壓力很小，速度幾乎不再發(fā)生變化。該太陽(yáng)帆軌道設(shè)計(jì)思路，可以為采用行星借力和太陽(yáng)借力的軌道初步設(shè)計(jì)提供參考。

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Global optimization of solar sail gravity assist and solar photonic assist trajectory for interstellar mission

QIANHang1,3,ZHENGJianhua1,LIMingtao1,LIHui2,GAODong1,YUXizheng1

(1. Key Laboratory of Electronics and Information Technology for Space Systems, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China；2. State Key Laboratory of Space Weather, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China；3. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)

Abstract：With the goal of solar sail mission to near interstellar space (200AU) in 20 years, a global optimization problem of solar sail gravity assist and solar photonic assist trajectory for interstellar mission was studied. A mathematical model for solar sail time-optimal trajectory was established. By taking the constrains of solar sail gravity assist and solar photonic assist into the object function, the four-point boundary value problem of orbit optimization can be converted to multi-variable optimization problem of no constraint. With choosing appropriate constrain proportions, the problem was solved by using genetic algorithm and sequential quadratic programming method. Optimization result shows that plenty of time can be saved by adding Jupiter gravity assist, though solar sail gains a large velocity with solar photonic assist. The proposed global optimization algorithm will provide a reference for the preliminary design of solar system escape orbit.

Key words：interstellar flight; solar sail; gravity assist; solar photonic assist; global optimization of trajectory

中圖分類號(hào)：V423.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-2486(2016)01-137-06

作者簡(jiǎn)介：錢航(1987—)，男，湖北黃岡人，博士研究生，E-mail：qianhang10@mails.ucas.ac.cn；鄭建華(通信作者)，女，研究員，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail：zhengjianhua@nssc.ac.cn

基金項(xiàng)目：中國(guó)科學(xué)院戰(zhàn)略性先導(dǎo)科技專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(XDA04060303，XDA04076700)

*收稿日期：2015-01-19

doi:10.11887/j.cn.201601022

http://journal.nudt.edu.cn