錢航 鄭建華 吳霞 高東

（1 中國科學(xué)院空間科學(xué)與應(yīng)用研究中心，北京 100190）（2 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100190）

1 引言

太陽帆航天器以其不受燃料約束、可持續(xù)加速、能夠形成很多新型軌道，而受到航天界的廣泛關(guān)注和研究［1-5］。太陽帆能夠從地球停泊軌道出發(fā)，通過改變帆的朝向來提供所需軌道速度方向推力，從而增加軌道能量實現(xiàn)逃逸出地球影響球。同樣，太陽帆也能夠完成其他行星逃逸軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)。

在19世紀(jì)60年代早期，Sands首先研究了太陽帆地球逃逸任務(wù)，使用模型較簡單，并對仿真條件進行了高度簡化［6］。2004年Macdonald 和McInnes對考慮地球遮擋的太陽帆地球逃逸軌道進行了優(yōu)化設(shè)計，但只分析了錐形地影，采用的也仍是理想太陽帆［7］。國內(nèi)，哈工大的史曉寧等［8］提出了一種太陽帆地球逃逸解析最優(yōu)控制律，可使航天器在逃逸過程中軌道能量變化速率最大，然而沒有考慮地影因素，推力模型也是理想模型。

本文研究考慮地影的非理想太陽帆地球逃逸軌道問題。根據(jù)太陽帆帆面的光學(xué)狀況建立非理想太陽帆模型，并由日地關(guān)系建立三種不同的二維地影模型，采用能量變化率最大的逃逸控制律，以保證時間最優(yōu)，可用于太陽帆地球逃逸軌道的設(shè)計，并為非理想帆面因素和地影遮擋因素的太陽帆控制提供參考。

2 太陽帆力學(xué)模型

2.1 動力學(xué)方程

由運載火箭將太陽帆航天器送入地球停泊軌道，太陽帆展開時的位置矢量和速度矢量分別為r0和v0，通過光壓力的推進逃逸出地球影響球。采用二體模型，不考慮所有攝動力，只有地球引力和太陽光壓力作用在太陽帆航天器上。建立如下坐標(biāo)系：地球質(zhì)心為中心o，日地連線指向地球方向為y軸，x軸與y軸垂直，如圖1所示。太陽帆動力學(xué)方程為

圖1 太陽帆地球逃逸受力示意圖Fig.1 Force vectors for earth departure

式中：r為從地心指向太陽帆質(zhì)心的太陽帆位置矢量；G＝為地球引力，μ是地球引力常數(shù)；FSRP為太陽光壓力（Sun Radiation Pressure，SRP）。

2.2 帆面力學(xué)模型

此前文獻中多采用理想太陽帆帆面模型，即帆面為平面，沒有褶皺，太陽光子在帆面上是鏡面反射［6-7］，而實際上太陽帆的光壓力模型很復(fù)雜。太陽帆的帆膜是正面鍍鋁，主要作用是鏡面反射太陽光，但是由于帆面褶皺和鼓起將導(dǎo)致部分太陽光被漫反射，太陽帆還會吸收部分光子，帆膜反面鍍鉻主要作用就是為了散熱。本文中的非理想太陽帆將考慮這些因素，以建立更為真實的太陽帆模型。

在與太陽距離為r時，太陽光壓力大小可表示為

式中：WE是太陽常數(shù)，WE＝1367 W／m2；c是真空中的光速，c＝2.997 924 58×108m／s；AS為日地距離，AS＝1.495 978 70×1011m。

Wright使用光學(xué)系數(shù)P＝｛ρ，s，εf，εb，Bf，Bb｝，提出一種高階力學(xué)模型，為帆面的材料特性建模［8-9］，其中：ρ是反射系數(shù)；s是鏡面反射因子；εf是太陽帆正面的漫反射系數(shù)；εb是太陽帆背面的漫反射系數(shù)；Bf是太陽帆正面的非朗伯系數(shù)；Bb是太陽帆反面的非朗伯系數(shù)。

基于上述光學(xué)系數(shù)的垂直帆面方向和平行帆面方向的太陽光壓力如圖2所示，F(xiàn)n和Ft分別為

圖2 非理想太陽帆模型Fig.2 Nonideal solar sail model

式中：A是太陽帆面積；α是太陽光線與帆面法線的夾角（稱為錐角）。且

式中：m是太陽光壓力方向上的單位矢量。

2.3 地影模型

討論衛(wèi)星光壓攝動的地影模型有兩種：圓柱形地影（如圖3所示）和錐形地影（如圖4所示），前者簡單，后者精度較高。由于太陽半徑約為地球半徑的109倍，因此地影實為錐形。由于太陽帆逃逸軌道類似小推力逃逸軌道，是多圈螺旋線飛行，很可能會遇到多次進入地影區(qū)，這對太陽帆的逃逸軌道設(shè)計及姿態(tài)控制至關(guān)重要。

假設(shè)日地距離為恒定值，將大氣衰減效應(yīng)等效于地球半徑增大20km［10］。在以下的討論中需要用到如下一些符號和常量：RS為太陽半徑，取值為696 000km；RE為地球赤道半徑，加上大氣衰減效應(yīng)為6398 km；RSOI為地球影響球半徑，大小為9.246 5×105km；d為地心到陰影錐頂?shù)木嚯x；σ為陰影錐的半錐角。

圖3 圓柱形地影Fig.3 Cylindrical earth shadow model

圖4 錐形地影Fig.4 Cone-shaped earth shadow model

由圖4中的幾何關(guān)系可以得到

3 控制律設(shè)計

控制太陽帆的姿態(tài)就能夠控制太陽光壓力，從而逃逸出地球影響球。McInnes推導(dǎo)了一種最大化瞬時軌道能量增長率的局部最優(yōu)控制律［10］。作用在太陽帆上主要有兩種力：地球引力和太陽光壓力。首先，用太陽帆速度矢量v點乘太陽帆動力學(xué)方程（1），并將地球引力項放入式（1）左側(cè)，可以得到

但是，式（13）右端項可以寫成

實際上，式（14）右端項代表軌道總能量E 的瞬時變化率，可以寫成

為了在軌道上的每一點使獲得的能量最大化，調(diào)整太陽帆的錐角α使太陽光壓力沿著速度矢量方向的分量最大化。定義太陽帆速度矢量與太陽光線矢量之間的夾角是γ，則

最大化軌道能量增長率也就是在給定的γ找出最優(yōu)太陽帆錐角。

從而得到最優(yōu)太陽帆錐角的表達式為

4 數(shù)值仿真

執(zhí)行地球逃逸任務(wù)的太陽帆由于要進行復(fù)雜的變軌控制，所以其姿態(tài)控制方式不適合采用自旋穩(wěn)定，必須采用三軸穩(wěn)定控制。方形帆是比較適宜三軸穩(wěn)定控制的［11-12］，太陽帆的尺寸以200m×200m為宜，整個航天器質(zhì)量225kg，采用工程中常見的材料就能制造滿足任務(wù)需求的太陽帆。根據(jù)美國噴氣推進實驗室（JPL）的太陽帆哈雷彗星交會任務(wù)，方形太陽帆光學(xué)系數(shù)選擇如表1所示。

表1 JPL方形太陽帆光學(xué)系數(shù)［11］Table 1 Opticalcoefficients for JPL square sail

4.1 模型對比分析

假設(shè)太陽帆航天器已經(jīng)發(fā)射到8000 km、16 000km和24 000km 高度的圓形軌道，并從這個軌道出發(fā)逃逸出地球引力范圍，進入日心轉(zhuǎn)移軌道。仿真過程中對距離進行正則化處理，即設(shè)定1地球赤道半徑＝6378km。

表2和表3給出了非理想太陽帆和理想太陽帆在不同模型和不同釋放高度逃逸出地球影響球的飛行時間。通過對比表2和表3可以看出，由于考慮了非理想帆面的因素，非理想太陽帆逃逸所需時間要多一些。之所以理想太陽帆在無地影模型下24 000km初始高度會比非理性太陽帆時間稍多，是因為在95d時理想太陽帆已經(jīng)處在影響球邊界附近但未越過邊界，故需要再飛不到一圈才能真正越過邊界。應(yīng)該說，在相同條件下，還是符合理想太陽帆飛行時間更短的規(guī)律。表2和表3中本影模型的飛行時間比本影＋半影模型稍長，同樣是受到相位因素影響。

表2 非理想太陽帆在不同模型和不同釋放高度逃逸出地球影響球的飛行時間Table 2 Departure time of nonideal sail

表3 理想太陽帆在不同模型和不同釋放高度逃逸出地球影響球的飛行時間Table 3 Departure time of ideal sail

對比不同的地影模型可以看出，考慮地影比不考慮地影時太陽帆的飛行時間更長。同時，不同地影模型下，太陽帆的飛行時間也不相同。

4.2 太陽帆逃逸仿真分析

從16 000km 高度釋放的非理想太陽帆在本影＋半影模型下仿真得到逃逸出影響球需要184.48d，而太陽帆在地影的累計總時間3.56d，可見陰影時間還是不能忽略的。圖5給出了考慮地影的非理想太陽帆地球逃逸段的全程軌跡，可以看出其軌道是多圈向外逃逸，并且整體軌道是垂直于太陽光線方向逐圈逃逸展開。

圖6（a）是太陽帆到地心的距離圖，紅色虛線標(biāo)出地球影響球的高度，藍色窄條是地影時間窗口，可見每圈地影時間很小。太陽帆逐圈抬升軌道高度，最終逃逸出地球影響球。圖6（b）是速度變化曲線，從速度的包絡(luò)可以看出速度也是逐圈增大，最終達到逃逸速度。

圖5 考慮地影的非理想太陽帆地球逃逸軌道Fig.5 Earth departure trajectory of nonideal sail in the shadow

圖6 太陽帆飛行位置和速度Fig.6 Time histories of sail position and velocity

圖7（a）是每圈軌道的陰影時間，一直都是略有增加。地球陰影盡管每圈作用時間短，對每圈軌道的影響很小，但隨著時間的推移，會對整體逃逸軌道和逃逸時間產(chǎn)生累積影響。圖7（b）是光壓推進時間，呈指數(shù)增加趨勢。圖7（c）的近地點高度也逐漸減小趨勢，但最低高度是8 347.80km，太陽帆既不會與地球發(fā)生碰撞，也不用考慮大氣阻力的影響。

通過以上仿真分析可以看出，作為無工質(zhì)推進的新型航天器，太陽帆可以不借助運載火箭和自身的發(fā)動機逃逸出地球，這對質(zhì)量有苛刻要求的航天工程來說具有重要意義。太陽帆帆面因素和地影遮擋因素對于太陽帆這種航天器來說，其影響是不可忽視的。太陽帆逃逸也有自身約束：由于推力小，則存在逃逸時間相對較長，處于地影時調(diào)姿困難等問題。

圖7 每圈軌道參數(shù)變化圖Fig.7 Time histories of departure parameters per orbit

5 結(jié)論

作為一種無需燃料的新型推進方式，太陽帆相對于其他傳統(tǒng)航天器有更多的優(yōu)勢，采用太陽帆逃逸方式可以減輕對運載火箭能力的要求。目前，太陽帆逃逸軌道的研究多集中于控制律的設(shè)計，采用的太陽帆動力學(xué)模型都很簡單，本文根據(jù)太陽帆帆面的光學(xué)狀況建立非理想太陽帆模型，并由日地關(guān)系建立錐形地影模型，最后采用能量變化率最大的逃逸控制律，以保證時間最優(yōu)。對比仿真數(shù)據(jù)可以看出，由于考慮了非理想帆面的因素，非理想太陽帆逃逸所需時間要多一些；考慮地影比不考慮地影時太陽帆所需逃逸時間更長；考慮不同地影模型同時受相位因素影響，太陽帆的逃逸時間也不相同。地球陰影盡管每圈作用時間短，對每圈軌道的影響很小，但隨著時間的推移，會對整體逃逸軌道和逃逸時間產(chǎn)生累積影響。文中的逃逸軌道的平面特殊，在該平面內(nèi)，太陽帆只能在赤道面內(nèi)運動，并且忽略了黃赤夾角的存在，所以三維情況下的分析討論應(yīng)是進一步深入研究的方向。

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