浙江杭州市蕭山區(qū)萬向小學(xué)（311200）朱燕鋒

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運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)律提升想象能力——例析動(dòng)態(tài)規(guī)律在柱體體積計(jì)算公式推導(dǎo)與運(yùn)用的實(shí)踐

浙江杭州市蕭山區(qū)萬向小學(xué)（311200）朱燕鋒

［摘要］數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活，尤其是圖形類知識(shí)，在現(xiàn)實(shí)生活中都能找到原型，在多姿多彩的世界里，只要用心觀察，處處是圖形，處處是數(shù)學(xué)。教師要充分利用學(xué)生現(xiàn)有的基本生活經(jīng)驗(yàn)，正確引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去關(guān)注、去體會(huì)美麗多彩的世界，從而把課堂教學(xué)中學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活聯(lián)系起來。借助幾何直觀，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，開展綜合實(shí)踐活動(dòng)。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)原型圖形運(yùn)動(dòng)模型思想幾何直觀

2011版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出：在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。為了適應(yīng)時(shí)代發(fā)展對(duì)人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。滲透模型思想和借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。

學(xué)生其實(shí)很早就在實(shí)際生活中接觸過平移和旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，例如一個(gè)人在行走的過程中就是人的平移或位移，體育課中的四面轉(zhuǎn)法就是旋轉(zhuǎn)……學(xué)生對(duì)于圖形的運(yùn)動(dòng)方式理解起來應(yīng)該不難。因此，在剛接觸規(guī)則柱體時(shí)，教師就應(yīng)該滲透規(guī)則柱體可以看成是由基礎(chǔ)圖形運(yùn)動(dòng)形成的模型思想，聯(lián)系生活實(shí)際，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，為后續(xù)的深入教學(xué)進(jìn)行鋪墊。

以人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)關(guān)于圓柱的體積計(jì)算公式的推導(dǎo)為例，圓柱的體積計(jì)算是在六年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)了圓的知識(shí)的基礎(chǔ)上才研究的課題，課本介紹了圓柱可以看成是由長(zhǎng)方形繞其中一邊旋轉(zhuǎn)而成，但沒有深入介紹其中的知識(shí)點(diǎn)，沒有介紹和提及“圓柱可以看成是由圓平移一定距離形成的”。因此，關(guān)于此類知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題，學(xué)生錯(cuò)誤率比較高，造成這種現(xiàn)象的其中一個(gè)重要原因是學(xué)生的空間想象能力欠缺，沒有得到最大限度的開發(fā)和利用。事實(shí)上，教師可先讓學(xué)生自學(xué)課本上介紹的方法，課堂上著重介紹圓柱的形成過程，讓多種思維方式發(fā)生碰撞，碰撞出智慧的火花。

【思維方式一】圓柱可以看成是由圓平移一定的距離形成的運(yùn)動(dòng)軌跡。

教師課前準(zhǔn)備了大量的圓形墊片，在學(xué)生進(jìn)行擺拼和拆分的實(shí)踐操作后提問：“在擺拼的過程中，形成的圖形是什么圖形？（圓柱）擺拼的長(zhǎng)度或高度是圓柱的什么？（高）圓形墊片是圓柱的什么？（底面）擺拼出來的圓柱占了一定的空間，這在數(shù)學(xué)中是什么？（圓柱的體積）現(xiàn)在你能說出圓柱的體積是怎么計(jì)算的嗎？（圓柱的體積＝底面積（圓的面積）×高（擺拼的長(zhǎng)度或高度））”在一步一步推導(dǎo)出“圓柱的體積＝圓周率×半徑的平方×高”后利用多媒體設(shè)備將圓柱的形成過程進(jìn)行演示，加深學(xué)生的理解，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，最后引導(dǎo)學(xué)生尋找生活中的實(shí)例，如筒狀月餅、圓形餅干的包裝等。通過上述的教學(xué)，學(xué)生一定牢牢記住了圓柱體積的計(jì)算公式。

圖1面動(dòng)成體——圓經(jīng)過平移成圓柱

在拆分（一分為二）的過程中，引導(dǎo)學(xué)生觀察并提問：“圓柱的什么發(fā)生了變化，什么沒有發(fā)生變化？（表面積發(fā)生了變化，體積不變）表面積是增加還是減少？（增加）增加了多少？（兩個(gè)底面積即兩個(gè)圓的面積）在合并（二合為一）的過程中，表面積是增加還是減少？（減少）減少了多少？（兩個(gè)底面積即兩個(gè)圓的面積）這個(gè)過程其實(shí)在我們的生活中也是經(jīng)常出現(xiàn)的，即物體的橫切，表面積增加（減少）的是2個(gè)橫切面——底面。如切黃瓜、鋸木頭等?！?/p>

圓柱底面積（圓）圓柱橫切的數(shù)量增加的表面積　備注S＝π×r×r 2 2S　在合并的過程中，減少的表面積與增加的表面積一樣。5 5S……n 2（n－1）S 3 3S 4 4S

經(jīng)過對(duì)一系列問題的探究，在解決圓柱體橫切表面積增加（減少）的問題時(shí)，學(xué)生自然就沒有困難了。

最后教師進(jìn)行歸納提升：“圓柱體有這樣的規(guī)律，其他的規(guī)則柱體，如長(zhǎng)方體、正方體等是不是也可以這樣來理解？”舉例：書本、方形餅干等。

通過多媒體演示建立模型，給學(xué)生滲透模型思想。

圖2長(zhǎng)方形或正方形經(jīng)過平移成正方體或長(zhǎng)方體

例1（小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)導(dǎo)學(xué)新作業(yè)（B）第10頁(yè)第3題）如圖3所示是一個(gè)柱體，高為15厘米，底面是一個(gè)半徑為4厘米、圓心角為270度的扇形，求這個(gè)柱體的體積。

圖3

解析：由題已知該柱體的底面是一個(gè)半徑為4厘米、圓心角270度的扇形，高為15厘米，要求這個(gè)柱體的體積，即可以把這個(gè)柱體看成是一個(gè)由四分之三圓向上或向下平移15厘米形成的。列式為“π×4×4×15＝180π（立方厘米）”。

例2（小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)導(dǎo)學(xué)新作業(yè)（B）第11頁(yè)第2題）一根2米長(zhǎng)的圓柱形木材，橫截成3段后，表面積增加了80平方厘米。這根木材的體積是多少？

解析：本題要考慮兩個(gè)問題。（1）單位不統(tǒng)一，首先要換算單位，2米＝200厘米；（2）求體積，沒有圖，比較直觀的方法是畫出圖形，借助圖形解決問題。

圓柱體橫截成3段后，表面積增加了80平方厘米，即圓柱橫切增加4個(gè)相等的底面，4個(gè)相等的底面等于80平方厘米。故列式為“80÷4×200＝4000（立方厘米）”。

例3有3個(gè)底面相等、長(zhǎng)是5分米的圓柱體，將它們拼成一個(gè)圓柱體，表面積減少了120平方分米，拼成后的長(zhǎng)方體體積是多少平方分米？

解析：首先要畫出圖形，借助圖形解決問題。3個(gè)相等的圓柱體拼成一個(gè)圓柱體，表面積減少120平方分米，即減少了4個(gè)底面，4個(gè)底面的面積等于120平方分米，高變成了“5＋5＋5＝15（分米）”，故列式為“120÷4×15＝450（立方分米）”。

【思維方式二】圓柱可以看成是由長(zhǎng)方形或正方形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而成的運(yùn)動(dòng)軌跡。

讓學(xué)生嘗試轉(zhuǎn)動(dòng)課前準(zhǔn)備的一面帶柄的長(zhǎng)方形小旗（硬質(zhì)）后思考：“在小旗轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，形成了一個(gè)什么圖形？（圓柱）小旗的寬度是什么？（圓柱的高）小旗的長(zhǎng)度是什么？（圓柱的底面半徑）在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中小旗占有了一定的空間，是什么？（圓柱的體積）圓柱的體積可以怎么計(jì)算？（圓柱的體積＝圓周率×半徑的平方×高，即圓柱的體積＝底面積×高）”教師利用多媒體演示轉(zhuǎn)動(dòng)的過程，引導(dǎo)學(xué)生在生活中找到對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，如酒店的旋轉(zhuǎn)門等。

圖4面動(dòng)成體——長(zhǎng)方形或正方形繞長(zhǎng)或?qū)捫D(zhuǎn)一周形成圓柱體

學(xué)生探究后發(fā)現(xiàn)：在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，當(dāng)長(zhǎng)方形或正方形繞長(zhǎng)或?qū)捫D(zhuǎn)到180度時(shí)，相當(dāng)于把圓柱縱切成相等的兩份，表面積增加了4個(gè)長(zhǎng)方形或正方形的面積，即增加的表面積＝半徑×高×4或直徑×高×2。

縱切面面積　圓柱增加的表面積S＝dh＝2rh　2S

教師通過引導(dǎo)學(xué)生想象“一個(gè)半圓形繞直徑旋轉(zhuǎn)一周形成（球體），一個(gè)直角梯形繞高旋轉(zhuǎn)一周形成（水桶體），一個(gè)直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成（圓錐）……”發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，讓學(xué)生在頭腦中建立數(shù)學(xué)模型。

圖5

例4（小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)導(dǎo)學(xué)新作業(yè)（B）第13頁(yè)第3題）把一根圓柱形木料沿底面直徑和高切成大小相等的4份，如圖5，表面積增加了800平方厘米，已知圓柱的底面半徑是5厘米，這根木料的體積是多少？

解析：沿底面和高切成大小相等的4份，即縱切，增加8個(gè)以底面半徑為寬的長(zhǎng)方形，8個(gè)以底面半徑為寬的長(zhǎng)方形的面積等于800平方厘米，可以求出1個(gè)長(zhǎng)方形的面積“800÷8＝100（平方厘米）”，然后求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，即圓柱體的高“100÷5＝20（厘米）”，最后利用圓柱的體積公式求圓柱的體積，列式為“5×5×π×20＝500π（立方厘米）”。

例5（小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)導(dǎo)學(xué)新作業(yè)（B）第66頁(yè)填空題第10題）如圖6所示，把底面直徑為8厘米的圓柱切成若干等份，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體。這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積和原來比增加了80平方厘米，那么圓柱的高是（）厘米，長(zhǎng)方體的體積是（）立方厘米。

圖6

解析：如圖6所示，圓柱縱切后拼成近似的長(zhǎng)方體，表面積增加了1個(gè)以底面直徑8厘米為寬的長(zhǎng)方形，即增加了80平方厘米，這時(shí)可以求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，即圓柱的高“80÷8＝10（厘米）”。利用轉(zhuǎn)化的思想得到圓柱體體積即長(zhǎng)方體體積，體積不變，圓柱體積（長(zhǎng)方體體積）為“π×4×4×10＝160π（立方厘米）”。

在課堂教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生從多種思維角度去分析問題、思考問題，讓學(xué)生形成靈活運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力?？傊瑪?shù)學(xué)來源于生活，但又高于生活，是從生活中抽象出來的，數(shù)學(xué)教學(xué)只有聯(lián)系學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生的思考與想象，才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

（責(zé)編童夏）

［中圖分類號(hào)］G623.5

［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A

［文章編號(hào)］1007-9068（2016）08-011