孫燦杭，賈英宏，徐世杰

(北京航空航天大學宇航學院，北京100191)

帶有不確定參數的撓性航天器機動控制*

孫燦杭，賈英宏，徐世杰

(北京航空航天大學宇航學院，北京100191)

將輸入成型技術與閉環(huán)反饋控制結合設計，實現航天器機動控制中撓性附件的振動抑制.針對撓性航天器姿態(tài)機動過程中，系統慣量、模態(tài)矩陣等參數的不確定性對輸入成型器抑制撓性附件振動的影響，提出基于最大允許殘余振動的輸入成型器建模參數的計算方法，并量化分析不確定參數對撓性附件振動的影響，為選擇合適的成型器提供定量的理論依據.該方法可降低傳統輸入成型器設計的保守性，有利于提高控制性能.仿真結果表明，將系統存在的不確定參量考慮在內，系統振動抑制效果要優(yōu)于不考慮的情況.

輸入成型技術;姿態(tài)機動;振動抑制;不確定性

0 引言

航天器在執(zhí)行空間任務時往往需要進行姿態(tài)機動，而機動過程中會激勵衛(wèi)星上撓性部件的振動，進而影響航天器本體的姿態(tài)控制精度.為解決這一問題，很多學者針對空間撓性部件的主動振動抑制問題展開了研究.主動振動抑制技術可分為兩大類:分布式振動抑制［1-3］和集中式振動抑制［4-5］.分布式控制可有負速度反饋［1］、正位置反饋［2-3］等多種設計方法，分布式控制由于將執(zhí)行機構直接布置于撓性部件上，因而對撓性部件的振動抑制效果較好;但在航天工程應用中，受制于結構以及電路設計等多方面因素，往往不具有分布式控制的條件.

集中式振動控制是航天工程中應用較為廣泛的方案，其中輸入成型技術［4-5］是較具代表性的一種控制方法，通過施加一系列的脈沖，使得系統在最后一次脈沖響應后，達到零振動狀態(tài).其內在魯棒性使得系統在存在建模誤差的情況下，撓性結構振動也能得到有效抑制.超不敏感型(EI)輸入成型器［6］相對標準的輸入成型器，更能適應較大范圍的建模誤差.文獻［7］提出指定不敏感度(SI)輸入成型器，有效地抑制多頻段振動，但SI是基于優(yōu)化算法設計的，增加了問題的復雜度，導致實際應用受到限制.文獻［8-9］利用卷積形式實現了輸入成型技術的多模態(tài)振動抑制，其形式簡單有效，但同時也增加了系統的響應時間.由于輸入成型技術形式簡單，又能有效的抑制撓性結構的振動，在機器人［10］、航天器［11-12］等領域有很大的應用價值.文獻［10］將輸入成型技術應用到空間機械臂的控制與振動抑制中，并提出了改進型負輸入成型技術，縮短了系統響應時間.文獻［11］將反饋環(huán)節(jié)與輸入成形器結合起來，實現了航天器姿態(tài)機動中撓性附件的振動抑制.文獻［12］分別分析了軌跡規(guī)劃和輸入成型技術在航天器快速機動中的優(yōu)缺點，并將二者結合起來使用.

然而，以往的輸入成型控制器設計是以系統固有頻率為依據的，設計過程中采取哪種輸入成型器往往取決于系統固有頻率的誤差范圍.由于系統固有頻率與多種因素有關，往往難以精確獲得，其誤差范圍的估計相對保守，因此輸入成型器的選擇和參數設計也通常較為保守.這樣雖然可以獲得滿足要求的殘余振動，但往往會降低系統的響應速度.本文重點考慮航天器慣量和剛柔耦合系數的不確定性對系統頻率和阻尼的影響.依據不確定性的不同數學描述對其量化，分析不確定性對系統頻率和阻尼的影響，以及系統頻率和阻尼變化區(qū)域對殘余振動的影響.在此基礎上，提出了一種新的設計方法來計算建模頻率［5］與阻尼，保證系統在最大和最小頻率處，系統有相同或相近的殘余振動，這在一定程度上增加了系統的魯棒性.分析實際系統的參數(頻率和阻尼)分布區(qū)域在指定殘余振動對應的理論參數分布區(qū)域包含關系，為選擇輸入成型器提供一種定量依據，從而在保證振動抑制效果的前提下降低了輸入成型器設計的保守性.

1 撓性航天器動力學模型

撓性航天器動力學模型，一般具有高耦合、無窮維特性.利用Lagrange方法對帶有撓性部件的航天器進行姿態(tài)動力學建模，可得姿態(tài)動力學方程如下［12］:

其中，q=［θTτT］T，θ，τ分別為姿態(tài)角向量和模態(tài)坐標向量，J為航天器的總慣量陣，F為剛柔耦合系數矩陣，Λ，ξ分別為附件的振動頻率矩陣與阻尼比矩陣，Tc為作用于航天器本體的控制力矩，Jvb=，θ為姿態(tài)角.

首先考慮采用如下PD控制器實現航天器姿態(tài)控制

其中:θd，θd分別為期望姿態(tài)角和姿態(tài)角速度，Kp，Kd為控制器對應的參數.

將式(2)代入式(1)，并記x=［qTqT］T，加入PD控制后的閉環(huán)系統方程為

其中:

系統的模態(tài)參數(頻率與阻尼)與矩陣A的特征值的關系為［13］

其中，λs為矩陣A的特征值，ωs、ξs分別為系統頻率與阻尼.

2 不確定參數分析

實際應用中，航天器的轉動慣量、剛柔耦合系數都不能精確獲得，其具有不確定性，則M陣可寫為如下形式:

其中，M0為標稱值，ΔM為不確定項.

為了方便處理，將不確定矩陣ΔM分為如下二種情況.

情況1.ΔM的元素有界

其中，ΔM中元素的精確值未知，但元素是有界的.即，當H={hij}，ΔM={Δmij}有|Δmij|≤hij，hij≥0.

針對具有該類型的不確定矩陣，引進隨機變量t，作如下處理:

Ht={tijhij}，t=［t1… tm］T∈Rm(［－1，1］)情況2.ΔM具有拓撲結構不確定性

其中，ti為未知參數，timin≤ti≤timax，Mi為已知矩陣.

考慮到M中有相同的元素，簡化處理將其相同元素的不確定量用相同的不確定參數處理，比如慣量矩陣的對稱性，矩陣M中剛柔耦合矩陣組成的部分.

那么，令Ht=tiMi，t∈Ω

考慮不確定問題后，重寫方程(3)，可得

其中，M=M0+Ht.

A的特征值、系統的頻率與阻尼為

考慮到系統頻率與阻尼的變化，為了增加系統的魯棒性，必須選定一個適當的建模頻率與阻尼設計輸入成型器，使得系統在最壞情況下，對撓性附件有較好的振動抑制效果.

圖1給出了三種類型輸入成型器的殘余振動與建模誤差的理論關系示意圖［5］.可以看出，殘余振動隨著建模誤差的增大逐漸增加，選定5%殘余振動為設計誤差范圍，對應區(qū)間Ierr=［珚ωl珚ωr］.

圖1 二脈沖、三脈沖、四脈沖輸入成型器誤差敏感曲線Fig.1 Vibration error versus system natural for ZV，ZVD，ZVDD

單位化系統頻率得到

其中:ωm∈［ωminωmax］;ωmin、ωmax分別為系統的最小和最大頻率.

由于系統頻率所處范圍是一定的，只有選擇的建模頻率使得系統在最小與最大頻率處，殘余振動有相等或者近似相等的值.實際系統頻率區(qū)間到1的距離與理論殘余振動為5%的頻率區(qū)間到1的距離對應成比例

求得

同理，可以求出系統阻尼的建模值

3 輸入成型器設計

在設計輸入成型器時，必須考慮建模阻尼誤差帶來的影響.殘余振動可表示為頻率誤差(真實頻率/建模頻率)與阻尼誤差(真實阻尼/建模阻尼)的函數.殘余振動為引入輸入成型器與未加輸入成型器時系統振動幅值的百分比.

圖2為ZVD成型器殘余振動與誤差頻率和誤差阻尼之間的關系.每給定一個系統阻尼值時，殘余振動和誤差頻率間的關系與只有誤差頻率時的大致走勢類似，只是當建模頻率為精確值時，系統的殘余振動不一定為零.圖3給出了ZVD成型器殘余振動5%以內時，不同殘余振動的分布區(qū)域示意圖.由內至外，閉合區(qū)域依次為殘余振動1%，2%，3%，4%，5%以內的頻率與阻尼分布，記為S1，S2，S3，S3，S4，S5.可以得出相應關系為 S1S2S3S4S5.考慮最大可接受殘余振動為5%，在實際應用中，處理不確定問題時，所求系統可能的頻率與阻尼對(ω，ξ)組成的區(qū)域Sv.如果SvSi(Si為集合{S1，S2，S3，S4，S5}的某個元素)，則ZVD輸入成型器可以接受，否者，放寬殘余振動要求標準，或采用魯棒性更強的 ZVDD輸入成型器.

圖2 ZVD成型器誤差敏感曲面Fig.2 Vibration error versus system natural frequency and damping

圖3 5%以內ZVD成型器誤差敏感區(qū)域分布Fig.3 Domain of 5%vibration error versus system natural frequency and damping for ZVD

4 仿真分析

仿真中選取具有一對對稱太陽帆板的衛(wèi)星模型.設置三軸期望角度X=［20°15° 0°］，衛(wèi)星本體質量 mb=1 062.8 kg，單個帆板的質量 ma= 40.25 kg，太陽帆板的阻尼比ξ=0.5%，前三階模態(tài)頻率分別為3.19 Hz、15.16 Hz、19.80 Hz，本體慣量Ib及單個帆板慣量Ia分別為:

太陽帆板相對星本體坐標的安裝位置(m):

ra1b=［0 0.8 0］，ra2b=［0－0.8 0］剛柔耦合系數為

PD控制器參數:

算例1.整星有相對其轉動慣量距5%的最大不確定量，單個帆板剛柔耦合系數矩陣具有30%的不確定量.

圖4給出了只采用標稱值設計輸入成型器(實線，下同)與將慣量不確定項和剛柔耦合系數不確定項慮在內設計輸入成型器(虛線，下同)的Euler姿態(tài)角響應曲線，表明后者的振動抑制效果要優(yōu)于前者.圖5顯示兩種情況下，一階模態(tài)坐標與二階模態(tài)坐標的響應曲線，后者的振動抑制效果優(yōu)于前者.

圖4 航天器Euler角Fig.4 Euler angle of spacecraft

圖5 一階模態(tài)與二階模態(tài)坐標Fig.5 first-order and second-order modal coordinates

圖6為航天器的控制力矩.圖7、8給出了ZVD成型器在5%殘余振動下，系統姿控模態(tài)和一階模態(tài)的頻率與阻尼的分布區(qū)域(Sv).在ZVD成型器下系統可能的參數(頻率與阻尼)范圍在理論5%的殘余振動區(qū)域內，可以確定采用ZVD成型器能滿足精度需求.算例2.假設系統具有較大的不確定性，整星有相對其轉動慣量距10%的最大不確定量，單個帆板耦合系數具有50%的不確定量.

圖6 航天器控制力矩Fig.6 Control torque of spacecraft

圖7 整星姿控模態(tài)頻率與阻尼分布Fig.7 Domain of rigid modal frequency and damping for spacecraft

圖8 系統一階模態(tài)頻率與阻尼分布Fig.8 Domain of first modal frequency and damping

圖9、10分別給出了ZVD成型器、ZVDD成型器在5%殘余振動下，系統姿控模態(tài)頻率與阻尼的分布區(qū)域(Sv).在ZVD成型器下系統可能的參數范圍超出了理論5%的殘余振動區(qū)域，而ZVDD成型器下系統參數范圍在理論5%殘余振動以內.如果對姿態(tài)角精度要求不高，可以放寬殘余振動的限制，采用ZVD成型器.如果對姿態(tài)角精度要求高，增強殘余振動限制，采用ZVDD成型器，但系統響應時間會有所增加.由于考慮了不確定項后，ZVD不能滿足精度要求，而ZVDD滿足精度需求，因此，航天器姿控模態(tài)采用ZVDD成型器抑制振動.

圖9 整星姿控模態(tài)頻率與阻尼分布Fig.9 Domain of rigid modal frequency and damping for spacecraft

圖10 整星姿控模態(tài)頻率與阻尼分布Fig.10 Domain of rigid modal frequency and damping for spacecraft

圖11 航天器Euler角Fig.11 Euler angle of spacecraft

圖11給出了ZVD(實線)、ZVDD(虛線)下航天器姿態(tài)角響應曲線.姿態(tài)角響應曲線的走勢表明了ZVDD的振動抑制效果要好于ZVD，驗證了殘余振動的頻率阻尼分布域分析方法的有效性.圖12給出了采用本文提出的方法與傳統方法設計輸入成型器的一階模態(tài)與二階模態(tài)坐標幅值曲線，考慮不確定性后，前者對振動抑制效果優(yōu)于后者.

圖12 一階模態(tài)與二階模態(tài)坐標Fig.12 First-order and second-order modal coordinates

5 結論

本文將系統慣量與剛柔耦合系數不確定性考慮在內，并定量分析了不確定參數對設計輸入成型器的影響.針對系統可能的頻率與阻尼的變化范圍，提出了一種新的計算方法來設計輸入成型器.保證在實際應用中最壞情況下，輸入成型器對振動的抑制效果比不考慮不確定項的好.仿真結果顯示，當不確定量較小時，在給定的精度下，采用ZVD即可滿足系統要求，而當不確定量較大時，經計算、仿真ZVD不能滿足精度要求，而ZVDD滿足精度要求.另外，經計算分析得衛(wèi)星的姿控模態(tài)頻率主要受慣量矩陣的影響，而撓性附件的閉環(huán)模態(tài)頻率主要受剛柔耦合矩陣的影響.該分析方法為選擇合適的輸入成型器提供了一種定量理論依據，避免了選擇輸入成型器的盲目性.

［1］ SUN D，MILLS J K，SHAN J，et al.A PZT actuator control of a single-link flexible manipulator based on linear velocity feedback and actuator placement［J］.Mechatronics，2004，14(4):381-401.

［2］ BAZ A，POH S，FEDOR J.Independent modal space control with positive position feedback［J］.Journal of Dynamic Systems，Measurement，and Control，1992，114(1):96-103.

［3］ SHAN J，LIU H T，SUN D.Slewing and vibration control of a single-link flexible manipulator by positive position feedback(PPF)［J］.Mechatronics，2005，15 (4):487-503.

［4］ SINGER N C.Residual Vibration Reduction in Computer Controlled Machines［R］.Massachusetts Inst of Tech cambridge Artificial Intelligence Lab，1989.

［5］ SINGER N C，SEERING W P.Preshaping command inputs to reduce system vibration［J］.Journal of Dynamic Systems，Measurement，and Control，1990，112(1):76-82.

［6］ SINGHOSE W，DEREZINSKI S，SINGER N.Extra-insensitive input shapers for controlling flexible spacecraft ［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1996，19(2):385-391.

［7］ SINGHOSE W E，SEERING W P，SINGER N C.Input shaping for vibration reduction with specified insensitivity to modeling errors［J］.Japan-USA Sym.on Flexible Automation，1996，1:307-13.

［8］ HYDE J M，SEERING W P.Using input command preshaping to suppress multiple mode vibration［C］//Robotics and Automation，1991.Proceedings.IEEE，New York，1991:2604-2609.

［9］ SINGHOSE W，CRAIN E，SEERING W.Convolved and simultaneous two-mode input shapers［C］//Control Theory and Applications，IEE Proceedings.IET，1997，144(6):515-520.

［10］ 趙志剛.空間站機械臂轉位控制與振動抑制研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學，2013.ZHAO Z G.Transformation control and vibration suppression of manipulation of the space station［D］.Harbin:Harbin Institute of Technology，2013.

［11］ KONG X R，YANG Z X.Combined feedback control and input shaping for vibration suppression of flexible spacecraft［C］//International Conference on Mechatronics and Automation，Changchun，2009:3257-3262.

［12］ ZHANG Y，ZHANG J R.Combined control of fast attitude maneuver and stabilization for large complex spacecraft ［J］.Acta Mechanica Sinica，2013，29(6):875-882.

［13］ GAWRONSKI W.Advanced structural dynamics and active control of structures［M］.Springer Science＆Business Media，2004.

Control of Flexible Spacecraft Attitude Maneuver with Uncertain Parameters

SUN Canhang，JIA Yinghong，XU Shijie
(School of Astronautics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China)

Input shaping and closed-loop feedback control are combined to realize the vibration reduction of spacecraft with flexible appendages during the attitude maneuver control.To ensure the validity of input shaping for suppressing the vibration of flexible appendages，the effect of uncertain parameters，such as system inertia and modal matrix，are considered during the attitude maneuver.A method to calculate the model parameters of input shaper，which is based on maximum residual vibration，is proposed.And the impact of uncertain parameters to vibration reduction of flexible appendages is quantitatively analyzed，which can be as a theoretical basis for selecting proper input shaper.It reduces the conservation of traditional input shaper and contributes to enhance the control performance.Simulation analysis indicates that the vibration suppression with considering system uncertain parameters is better than without them.

input shaper;attitude maneuver;vibration reduction;uncertain parameters

V448.2

A 文章編號:1674-1579(2016)05-0008-06

10.3969/j.issn.1674-1579.2016.05.002

孫燦杭(1991—)，男，碩士研究生，研究方向為撓性航天器姿態(tài)機動控制;賈英宏(1976—)，男，副教授，研究方向為航天器姿態(tài)動力學與控制，空間機器人/空間多體系統動力學與控制等;徐世杰(1951—)，男，教授，研究方向為飛行器制導、導航與控制，魯棒控制理論與應用，深空探測和月球探測技術等.

*國家自然科學基金資助項目(11272027).

2016-07-08