周 亮 王寶瑞 陽(yáng) 紅

(中國(guó)工程物理研究院機(jī)械制造工藝研究所，四川 綿陽(yáng) 621900)

微小間隙空氣靜壓主軸角剛度分析與實(shí)驗(yàn)**

周 亮 王寶瑞 陽(yáng) 紅

(中國(guó)工程物理研究院機(jī)械制造工藝研究所，四川 綿陽(yáng) 621900)

通過(guò)綜合氣體運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)性方程和狀態(tài)方程，建立小孔節(jié)流氣體潤(rùn)滑主軸數(shù)學(xué)模型。采用有限單元法、超松弛迭代法和比例分割法對(duì)雷諾方程進(jìn)行離散求解，解決了微小間隙空氣靜壓主軸跨尺度微偏轉(zhuǎn)的氣膜壓力分布數(shù)值計(jì)算難題。進(jìn)行靜態(tài)角剛度測(cè)試實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

空氣靜壓主軸；角剛度；有限元分析；小孔節(jié)流

靜壓主軸是超精密機(jī)床實(shí)現(xiàn)精密回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵部件，它采用流體潤(rùn)滑技術(shù)，借助于氣膜或液膜來(lái)分開(kāi)運(yùn)動(dòng)件與支承件，以減小摩擦，提高運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。在超精密加工機(jī)床中，靜壓主軸是電動(dòng)機(jī)與刀具或工件裝夾機(jī)構(gòu)聯(lián)系的紐帶，對(duì)機(jī)床的加工精度起著決定性影響。

目前在靜壓主軸方面的研究主要集中在剛度(徑向剛度、軸向剛度、前端剛度)、回轉(zhuǎn)精度、動(dòng)態(tài)特性以及熱穩(wěn)定性等方面。如姚俊等介紹了各種機(jī)床主軸回轉(zhuǎn)精度測(cè)量方法及其原理以及測(cè)量數(shù)據(jù)的處理和誤差分析方法[1]。彭萬(wàn)歡等采用兩點(diǎn)測(cè)量法深入分析了超精密空氣靜壓主軸回轉(zhuǎn)誤差測(cè)試過(guò)程中偏心的影響和作用原理[2]。陳東菊等研究了氣體稀薄效應(yīng)對(duì)軸承承載力和剛度的影響，為微尺度下軸承性能的研究提供了一定的理論依據(jù)[3]。在主軸性能研究中，其軸線抵抗偏擺的能力——角剛度是一個(gè)很重要的指標(biāo)。軸線偏擺不僅會(huì)影響主軸的回轉(zhuǎn)精度；在主軸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果角剛度較小，還可能產(chǎn)生擺振。然而，國(guó)內(nèi)對(duì)角剛度的研究還不夠深入。侯國(guó)安等在研究靜壓主軸動(dòng)態(tài)特性時(shí)討論了水平方向角剛度的理論計(jì)算方法，但未考慮實(shí)際工況下切削力以及重力作用存在的初始偏心對(duì)角剛度的影響，沒(méi)有給出詳細(xì)的驗(yàn)證說(shuō)明[4]。安晨輝等通過(guò)旋轉(zhuǎn)歐拉方程研究了主軸穩(wěn)定性，具有借鑒意義，但也沒(méi)有驗(yàn)證其方法的合理性[5]。楊福興[6]、夏歡[7]以及徐灝[8]等人結(jié)合軸承尺寸，分別給出了通過(guò)徑向剛度和軸向剛度計(jì)算角剛度的經(jīng)驗(yàn)公式，齊乃明等[9]推導(dǎo)了雙列徑向軸承在無(wú)偏心狀態(tài)下的角剛度計(jì)算；但此類(lèi)公式不含角度參數(shù)，不能計(jì)算變角度情況下的角剛度。

目前，對(duì)靜壓主軸角剛度的研究，通常僅計(jì)算了無(wú)重力作用無(wú)偏心狀態(tài)下的角剛度，與實(shí)際工況差異較大，也沒(méi)有對(duì)角剛度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試驗(yàn)證，沒(méi)有對(duì)角剛度的形成機(jī)理進(jìn)行深入系統(tǒng)的研究。本文在氣體運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)性方程和狀態(tài)方程的基礎(chǔ)上，引入重力和初始偏心距，建立起實(shí)際工況下小孔節(jié)流氣體靜壓主軸徑向軸承和止推軸承數(shù)學(xué)模型，采用有限單元法、超松弛迭代法和比例分割法進(jìn)行離散、求解和計(jì)算氣膜內(nèi)壓力分布，從而解決微小氣膜間隙下微偏轉(zhuǎn)跨尺度的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題。最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試靜態(tài)條件下靜壓主軸的角剛度，驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算的準(zhǔn)確性。

1 空氣靜壓主軸角剛度建模

1.1 空氣靜壓主軸角剛度定義

空氣靜壓主軸依靠氣體靜壓效果實(shí)現(xiàn)支承和限制主軸轉(zhuǎn)子位置和姿態(tài)。徑向剛度和軸向剛度評(píng)價(jià)了轉(zhuǎn)子X(jué)、Y方向的位置穩(wěn)定性，與此類(lèi)似，角剛度評(píng)價(jià)了轉(zhuǎn)子姿態(tài)穩(wěn)定性。因此，與剛度定義類(lèi)似，角剛度為靜壓主軸力矩與偏擺角度的比值，計(jì)算式為

kθ=M/θ

(1)

式中：kθ為角剛度；M為主軸總力矩；θ為主軸偏轉(zhuǎn)角。

主軸通常由徑向軸承和止推軸承組成。如圖1所示，為某T型結(jié)構(gòu)的空氣靜壓主軸模型。由于T型主軸結(jié)構(gòu)非對(duì)稱，其角剛度采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算時(shí)誤差會(huì)顯著增大。因此，需采用有限元法來(lái)計(jì)算靜壓主軸的角剛度。

1.2 空氣靜壓主軸角剛度理論建模

如圖2所示，當(dāng)T型軸繞過(guò)A點(diǎn)垂直紙面軸線發(fā)生微小偏轉(zhuǎn)時(shí)，主軸受力可以簡(jiǎn)化為徑向合力F1和止推力偶M(F2，F(xiàn)2’)。徑向軸承力矩和止推軸承力矩可以分別計(jì)算，同時(shí)止推軸承產(chǎn)生的力矩可以投影為繞軸承圓盤(pán)中心的轉(zhuǎn)動(dòng)。主軸總力矩為

M=M1+M2=F1L+2F2Rsinα=F1L+2F2r

(2)

1.2.1 空氣靜壓主軸徑向軸承建模

對(duì)于徑向軸承，其氣膜厚度遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)方向的尺寸，通常情況下，厚度方向的壓力和速度變化可以忽略；同時(shí)，當(dāng)無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)或者轉(zhuǎn)速很低時(shí)，雷諾數(shù)很小，與之相關(guān)的項(xiàng)可以忽略。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化，徑向軸承的Reynolds方程無(wú)量綱化形式[10]為

(3)

(4)

式中：η為空氣粘滯系數(shù)；l、hm分別表示無(wú)量綱化對(duì)應(yīng)參考長(zhǎng)度、氣膜厚度；p0、pa、ρa(bǔ)分別表示供氣壓力、大氣壓力和大氣密度；mr為單位時(shí)間流過(guò)節(jié)流孔的質(zhì)量流量。

將氣膜沿垂直方向切分展開(kāi)，則壓力分布近似為平面問(wèn)題。將氣膜研究域劃分為三角形單元體集，如圖3所示，則會(huì)產(chǎn)生對(duì)稱邊界、大氣邊界和節(jié)流孔邊界三種邊界條件。

每個(gè)單元體內(nèi)任意點(diǎn)壓方都可由所在單元體的三節(jié)點(diǎn)壓方表示，設(shè)插值函數(shù)為

f=Nifi+Njfj+Ntft

(5)

按照變分原理對(duì)雷諾方程進(jìn)行處理，同時(shí)將式(4)和(5)代入雷諾方程式(3)，對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)可以列寫(xiě)出一個(gè)方程，則整個(gè)研究域可以寫(xiě)出所有未知節(jié)點(diǎn)的方程，構(gòu)成一個(gè)位置函數(shù)的矩陣方程：

KF=T

(6)

式中：F為待求節(jié)點(diǎn)壓力函數(shù)，為n×1維列陣，K為n×n維剛度矩陣，是Ni、Nj、Nt函數(shù)的矩陣形式；T為n×1維列陣，是與邊界條件和節(jié)流孔流量有關(guān)的非線性列陣。涉及到的流量項(xiàng)可按下式計(jì)算：

(7)

(8)

式中：Ar為節(jié)流面積；φ為流量系數(shù)，一般可取0.8； pd為節(jié)流孔出口壓力； k為氣體比熱比，空氣一般為1.4；其余同上。

當(dāng)主軸發(fā)生偏轉(zhuǎn)后，氣膜厚度h也是位置的函數(shù)，如圖4所示。

h=h0+e·cosγ=h0+Lsinθ·cosγ+e0·cosγ

(9)

式中：h0為氣膜平均厚度；γ為單元體與豎直方向夾角；e為偏心距；e0為初始偏心距；L為單元體至偏轉(zhuǎn)中心距離；θ為主軸偏轉(zhuǎn)角。

聯(lián)立式(6)～(9)可以求解氣膜內(nèi)壓力分布，但式(8)是非線性矩陣，故采用超松弛迭代法求解方程。若迭代后精度不滿足要求，則采用比例分割法計(jì)算節(jié)流孔處第i+1次迭代壓方初始值，如公式(10)。

(10)

求得氣膜壓力分布后，整個(gè)主軸的承載W1和力矩M1計(jì)算式為

(11)

(12)

式中：m為單元體總個(gè)數(shù)。

1.2.2 空氣靜壓主軸止推軸承理論建模

與徑向軸承類(lèi)似，止推軸承氣膜厚度方向的壓力和速度變化可以忽略。靜態(tài)時(shí)，止推軸承的Reynolds方程無(wú)量綱化形式[10]為

(13)

(14)

式(14)與式(3)十分相似，對(duì)式(14)的處理與式(3)相同。止推軸承通常為圓盤(pán)形，止推盤(pán)偏轉(zhuǎn)時(shí)，氣膜厚度的變化如圖5所示，(r，β)單元體上氣膜厚度h為

h=h0+s·sinθ=h0+rcosβ·sinθ

(15)

式中：s為單元體與水平軸線的距離；β為單元體與豎直方向夾角：r為單元體所在圓半徑；h0為止推氣膜平均厚度；θ為主軸偏轉(zhuǎn)角。

同樣，用有限單元法求解止推軸承的承載W2與力矩M2的計(jì)算與徑向軸承類(lèi)似：

(16)

(17)

式中：m為單元體總個(gè)數(shù)。

2 空氣靜壓主軸角剛度數(shù)值計(jì)算

2.1 空氣靜壓主軸角剛度計(jì)算流程

基于以上分析，我們?cè)贛ATLAB 14.0基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)了角剛度計(jì)算程序，程序流程如圖6所示。通過(guò)改變參數(shù)輸入的大小，可以實(shí)現(xiàn)不同尺寸主軸徑向軸承和止推軸承模型的快速建模和計(jì)算。

2.2 空氣靜壓主軸角剛度計(jì)算結(jié)果

以某T型靜壓主軸為例，該主軸由兩個(gè)徑向軸承和一個(gè)止推軸承組成。徑向軸承直徑D=100 mm，寬度B=100 mm，氣膜厚度h1=12 μm，兩軸承間距L’=50 mm，雙圈節(jié)流孔，每圈12孔，節(jié)流孔直徑d=0.15 mm；止推軸承內(nèi)徑da=104 mm，外徑db=228 mm，氣膜厚度h2=10 μm，雙圈節(jié)流孔，第一圈圓半徑r1=68 mm，12孔，第二圈圓半徑r2=98 mm，24孔，節(jié)流孔直徑d=0.15 mm；整個(gè)轉(zhuǎn)子部分約重28.1 kg。

基于編寫(xiě)的MATLAB程序，可以分別計(jì)算單個(gè)徑向和止推軸承的承載和力矩。計(jì)算中，供氣壓力為0.5 MPa，出口壓力為0.1 MPa，徑向軸承劃分為48×72個(gè)三角形單元，1 800個(gè)節(jié)點(diǎn)；止推軸承劃分為30×128個(gè)三角形單元，2 304個(gè)節(jié)點(diǎn)。首先，當(dāng)偏角θ0=0，計(jì)算出主軸在重力作用下的初始偏心距為e0；然后計(jì)算一定偏角θ下的徑向和止推氣膜上的角剛度kθ1、kθ2。對(duì)于上述主軸，由該程序計(jì)算可以得到初始偏心距e0≈1.1 μm，在偏角θ=1×10-5rad時(shí)，靜壓主軸徑向軸承角剛度為kθ1=1.2×105N·m/rad，止推軸承的角剛度為kθ2=16.4×105N·m/rad，故整個(gè)靜壓主軸的角剛度kθ=kθ1+kθ2=17.6×105N·m/rad。

2.3 經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算

上述主軸設(shè)計(jì)的徑向剛度為405 N/μm，軸向剛度為507 N/μm。文獻(xiàn)[8-9]給出了通過(guò)徑向剛度和止推剛度計(jì)算角剛度公式：

徑向軸承的角剛度kθ1為

kθ1=k1B2/16

(18)

式中：k1為徑向剛度，B為徑向軸承寬度。

止推軸承的角剛度kθ2為

kθ2=k2((da+db)/2)2/8

(19)

式中：k2為軸向剛度；da、db為止推盤(pán)內(nèi)外徑。

由式(18)和式(19)可以求得該主軸的徑向軸承角剛度kθ1=2.5×105N·m/rad，止推軸承角剛度kθ2=17.5×105N·m/rad，整個(gè)主軸角剛度kθ=kθ1+kθ2=20.0×105N·m/rad。

3 空氣靜壓主軸角剛度實(shí)驗(yàn)測(cè)量

3.1 力矩—位移法測(cè)量角剛度

針對(duì)上述靜壓主軸，為了驗(yàn)證角剛度理論，設(shè)計(jì)了角剛度力矩—位移測(cè)量方法。實(shí)驗(yàn)原理如圖7所示。力矩M=FL1，角度θ≈(s1+s2)/L2，角剛度kθ=M/θ。被測(cè)主軸和測(cè)量裝置如圖8所示。由于主軸轉(zhuǎn)子部分在主軸座內(nèi)部，無(wú)法直接加載和測(cè)量，故力矩加載通過(guò)過(guò)渡接頭連接，位移測(cè)點(diǎn)分布在連接轉(zhuǎn)子的測(cè)量片上。測(cè)量中保證兩力大小相等，方向相反。通過(guò)實(shí)驗(yàn)，我們測(cè)得了該主軸在微小偏轉(zhuǎn)時(shí)力矩與角度的關(guān)系(見(jiàn)表1)，繪制了力矩—角度曲線，如圖9所示。

采用最小二乘法通過(guò)MATLAB對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行一次項(xiàng)擬合，可以得到力矩—角度關(guān)系式為：

y=14.4x-1.091

(20)

對(duì)上式求導(dǎo)，可得該主軸在所測(cè)范圍內(nèi)的角剛度約等于14.4 N·m/rad。

表1 靜壓主軸力矩與角度測(cè)量

力矩/(N·m)01．0111．5022．1162．813角度/(×10-5rad)00．0740．1220．2720．278力矩/(N·m)3．4944．2574．9145．6256．144角度/(×10-5rad)0．3890．4260．4870．5150．544力矩/(N·m)7．4808．2999．20710．136角度/(×10-5rad)0．5610．6110．6300．728

3.2 理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析

對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算分析的數(shù)值，實(shí)驗(yàn)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果相近。并且，有限單元法的計(jì)算結(jié)果比經(jīng)驗(yàn)公式更接近實(shí)驗(yàn)測(cè)量值。同時(shí)，通過(guò)有限單元法可以計(jì)算任意偏角下的角剛度，彌補(bǔ)了經(jīng)驗(yàn)公式的不足。

數(shù)值計(jì)算比實(shí)驗(yàn)結(jié)果偏大，主要有以下幾方面的原因。一是數(shù)值計(jì)算將氣膜內(nèi)氣體的流動(dòng)均視為層流，而實(shí)際氣流中存在紊流，此會(huì)導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算結(jié)果偏大；二是主軸受力會(huì)產(chǎn)生形變，位移測(cè)量受形變誤差影響使計(jì)算的偏角增大，此會(huì)導(dǎo)致測(cè)量的角剛度偏小；三是主軸結(jié)構(gòu)尺寸在供氣壓力作用下也會(huì)改變，如小孔直徑在較大供氣壓力作用下可能增大，四是由于傳感器和儀器的粘滯特性，測(cè)量過(guò)程中存在間隙誤差。角剛度測(cè)量的誤差來(lái)源較復(fù)雜，目前測(cè)量的角剛度是各種因素作用下的綜合角剛度。因此，在下一步的研究中，角剛度實(shí)驗(yàn)測(cè)量的誤差分離將會(huì)是研究的重點(diǎn)。

4 結(jié)語(yǔ)

(1)采用有限單元法編寫(xiě)的角剛度數(shù)值計(jì)算方法與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較吻合，運(yùn)用該算法能夠?qū)崿F(xiàn)各種尺寸結(jié)構(gòu)的靜壓主軸角剛度計(jì)算。

(2)有限單元法比經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果更接近實(shí)驗(yàn)測(cè)量值；并且有限單元法克服了經(jīng)驗(yàn)公式無(wú)法確定角剛度與偏轉(zhuǎn)角度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，具有更高的靈活性和更廣的適應(yīng)性。

(3)角剛度的測(cè)量存在復(fù)雜的誤差來(lái)源，高精度的測(cè)量需要進(jìn)行嚴(yán)格的誤差分離。

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Analysis and test of angular stiffness on aerostatic bearing

ZHOU Liang, WANG Baorui, YANG Hong

(Institute of Mechanical Manufacturing Technology, China Academy of Engineering Physics, Mianyang 621900, CHN)

The paper synthesizes gas motion equation, continuity equation and state equation, to establish mathematical model of orifice gas lubricated journal bearing. The Reynolds equation is discretized by the finite element method, then solved by the super relaxation iteration method and the proportional division method. The paper solves numerical problems of cross scale and micro deflection on small gas film clearance of aerostatic bearing spindle. Static angular stiffness experiments were carried out, which proves the validity of the proposed method.

aerostatic bearing spindle; angular stiffness; finite element analysis; orifice restriction

*國(guó)家自然科學(xué)基金(51305413)；中物院科技專(zhuān)項(xiàng)資助(9120602)

TH133.35

A

10.19287/j.cnki.1005-2402.2016.12.006

周亮，男，1990年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榫芗庸ぜ皽y(cè)量。

(編輯 汪 藝)

2016-09-26)

161214