■江西省萍鄉(xiāng)市湘東中學(xué)　池　旭

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一題多解尋求多種解題方法

■江西省萍鄉(xiāng)市湘東中學(xué)池旭

大部分的高中生對數(shù)學(xué)的印象就是枯燥、乏味、不好學(xué)、沒興趣.但由于高考中必考數(shù)學(xué)，又只能硬著頭皮學(xué).如何才能學(xué)好數(shù)學(xué)？俗話說“熟能生巧”，很多人認(rèn)為要學(xué)好數(shù)學(xué)就是要多做.固然，多做題目可以使學(xué)生提高成績，但長期如此，恐怕也會使學(xué)生覺得數(shù)學(xué)越來越枯燥.而一題多解有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，脫離枯燥，使學(xué)生在解題中回憶、聯(lián)系所學(xué)內(nèi)容，同時(shí)鞏固新學(xué)的知識；有助于鍛煉學(xué)生的基本技能，同時(shí)抑制教學(xué)的模型化，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展自動(dòng)化；還有助于學(xué)生形成良好的科學(xué)素質(zhì).本文通過對一題多解的例題剖析，指出了學(xué)生應(yīng)用一題多解的妙處.現(xiàn)從下面二個(gè)案例中略談一題多解，以拋磚引玉.

案例一（中學(xué)代數(shù)中的一題多解）設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是_________.

這是一道很值得深入探究的高考題，筆者在某次課堂上講解后，總覺得意猶未盡，故行之成文.

解法1：設(shè)2x+y=t，則y=t-2x，代入4x2+y2+xy=1，得4x2+ （t-2x）2+x（t-2x）=1，即6x2-3tx+t2-1=0，故Δ=9t2-24（t2-1）≥0，

∴t2≤，故，故2x+y的最大值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.

評注：本解法先將所求變量整體換元，然后代入已知條件消元，利用判別式法構(gòu)造不等式，最終使問題解決，按照這個(gè)思路，也可以采用下面的解法.

解法2：設(shè)2x+y=t，則（2x+y）2=t2=t2（4x2+y2+xy），

∴（4t2-4）x2+（t2-4）xy+（t2-1）y2=0.

則15t4-24t2≤0，即.故即2x+y的最大值是此時(shí)時(shí)，等號成立.

評注：本解法與解法1有類似之處，不同之處是巧用“1”和獨(dú)特的消元，構(gòu)造出了含參一元二次方程，再利用判別式法構(gòu)造不等式，最終使問題得到解決.

解法3：先對所求變量平方得（2x+y）2=4x2+y2+4xy=1+ 3xy，而4x2+y2≥4xy且1=4x2+y2+xy，得

評注：本解法也有解法1類似之處，不同之處是通過觀察已知與結(jié)果的特征，采用平方法，再利用重要不等式構(gòu)造不等式，最終也使問題得到解決.

解法4：由4x2+y2+xy=1，得

評注：通過觀察式子結(jié)構(gòu)特征，利用三角換元也是數(shù)學(xué)解題中一種常見方法，按照這個(gè)思路又可以采用以下的解法.

解法5：由4x2+y2+xy=1，得

評注：本解法與解法4有異曲同工之妙，也是通過觀察結(jié)構(gòu)特征，利用柯西不等式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活性.

解法6：根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)猜測：y=2x時(shí)，2x+y取得最大值.

由于4x2+y2+xy=1，

評注：根據(jù)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，大膽猜測，然后證明正確性，這是數(shù)學(xué)研究的基本方法之一，它對培養(yǎng)探究意識、創(chuàng)新精神有著重要的作用.

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)之一就是培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).那么如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中提高學(xué)生的思維品質(zhì)？數(shù)學(xué)家奧加涅相說過：“必須重視，很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能和教育功能的可行性.”筆者認(rèn)為高考題凝聚了許多專家學(xué)者的心血和經(jīng)驗(yàn)，故對高考題的探究，進(jìn)行一題多解是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維重要途徑.

案例二（中學(xué)幾何中的一題多解）已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率.求∠F1AF2的角平分線所在直線的方程.

本題考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線的點(diǎn)斜式方程與一般方程，點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識.下面就該題的解法進(jìn)行探究，并對命題背景及啟示有個(gè)新的認(rèn)識.

2.1.試題解法

解法1：如圖1，易知直線AF1和 AF2的方程分別為設(shè)∠F1AF2的角平分線交F1F2于B（x0， 0）且x0＞-2，得得由兩點(diǎn)得直線方程為：y=2x-1.

圖1

評注：運(yùn)用角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等及點(diǎn)到直線的距離公式，解方程求得點(diǎn)坐標(biāo)后，兩點(diǎn)確定角平分線所在直線方程.

解法2：設(shè)P（x，y）是所求直線上任意一點(diǎn)，直線AF1的方程，直線AF2的方程：x=2，則2-x，得x+2y-8=0（舍）或2x-y-1=0.

故2x-y-1=0即為所求直線方程.

評注：通過設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)，巧用方程的思想，簡化計(jì)算.巧妙運(yùn)用“算兩次”的技巧，對三角形面積計(jì)算兩次，并在計(jì)算過程中運(yùn)用角平分線性質(zhì)對高進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

解法3：如圖2，設(shè)F1關(guān)于角平分線的對稱點(diǎn)為P，則P必在直線AF2上，|AP|=|AF1|=2a-|AF2|=5.結(jié)合直角三角形AF1F2易得P（2，-2），故，故所求角平分線的斜率k=2.（下略）

圖2

解法4：如圖3，以AF1為直徑且過點(diǎn)F2的圓的方程為x2+記圓與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)Q（0，-1）.由|F1Q|= |F2Q|，得∠F1AQ=∠F2AQ，即AQ為所求角平分線.（下略）

圖3

評注：解法2，3，4分別構(gòu)造點(diǎn)與圓來尋找等量關(guān)系.

圖4

評注：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).

解法6：如圖5，易得Rt△AF1F2內(nèi)切圓圓心為I（1，1）.由內(nèi)切圓圓心的特征，得直線AI是∠F1AF2的角平線，且斜率k=2.（下略）

圖5

題貴在一題多解，感興趣的讀者不妨從兩直線夾角公式等角度試試看.以上各種解法都在追求精簡，當(dāng)然并不是每道題都能一題多解，那么這道題在我們平時(shí)教學(xué)中也可以這樣進(jìn)行一題多變.

2.2試題演變

將該試題的題設(shè)及結(jié)論進(jìn)行變換可得如下變式（其解答過程可仿上述解法，留給讀者完成，這里不再贅述）：

變式1已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A∈C，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0），AM為∠F1AF2的平分線，則|AF2|=_________.

變式2橢圓E以坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，焦距為4，并且橢圓上有一點(diǎn)A，∠F1AF2的角平分線所在直線的方程為：y=2x－1，求橢圓E的方程.

在解題教學(xué)中進(jìn)行一題多解，教師首先應(yīng)明確其目的之所在，不要盲目地追求一題多解，尤其應(yīng)防止純粹為追求一題多解的“作秀”味，為體現(xiàn)另一種解法的巧妙而故先設(shè)置一種繁解，這樣不僅不利于學(xué)生的學(xué)習(xí)反而會使他們的數(shù)學(xué)信心受到打擊.此外教師在進(jìn)行解題教學(xué)時(shí)首先應(yīng)注意常規(guī)解法的講授，做好正常的雙基教學(xué)，讓學(xué)生卻是掌握一種基本的方法以后再發(fā)散他們的思維適當(dāng)引導(dǎo)他們尋求其他巧解、秒解等，但不應(yīng)由教師將所有解法一一向?qū)W生介紹，這樣反而導(dǎo)致多而亂讓學(xué)生感到不知所措.在實(shí)際的教學(xué)過程中進(jìn)行這種訓(xùn)練，讓學(xué)生在比較討論爭論中找出最簡便的解法和獨(dú)特的富有新意的解題思路而有利于加深學(xué)生對多種解題方法的認(rèn)識，真正培養(yǎng)學(xué)生對多種解題方法的認(rèn)識，真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).