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        由淺入深,自然形成——活動單導(dǎo)學(xué)模式下的以橢圓為例的性質(zhì)探究

        2016-04-05 06:59:38江蘇省白蒲高級中學(xué)潘丹丹
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年3期
        關(guān)鍵詞:自測定值定點(diǎn)

        ■江蘇省白蒲高級中學(xué) 潘丹丹

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        由淺入深,自然形成——活動單導(dǎo)學(xué)模式下的以橢圓為例的性質(zhì)探究

        ■江蘇省白蒲高級中學(xué)潘丹丹

        圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容之一,近幾年圓錐曲線的綜合問題涉及面廣、運(yùn)算量大,既考查了學(xué)生的思維能力,又考查了學(xué)生的運(yùn)算能力.很多學(xué)生對這塊的得分并不抱太大希望,其實(shí)這正是學(xué)生們能取得進(jìn)步的一個(gè)突破口.

        圓錐曲線有很多豐富精彩、生動有趣的性質(zhì),其定點(diǎn)、定值問題是諸多性質(zhì)中的一條主線,而如何讓學(xué)生從根本上記住這些結(jié)論以及運(yùn)用這些結(jié)論是關(guān)鍵.事實(shí)上,仔細(xì)分析后我們發(fā)現(xiàn),處理好圓錐曲線的這些問題的根本在于處理好與之相關(guān)的點(diǎn).本文就以橢圓為例,如何由淺入深,一步一步引入并理解其性質(zhì)及運(yùn)用做一個(gè)思考.

        活動一、基礎(chǔ)自測

        1.已知t∈R,圓C:x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0,若圓C過定點(diǎn)M,則定點(diǎn)M的坐標(biāo)為_________.

        2.圓O中,AB是它的一條直徑,C是圓上異于A,B的任一點(diǎn),則kCA·kCB=_________.

        基礎(chǔ)自測的目標(biāo)是能夠讓所有學(xué)生都能去操作,明確學(xué)習(xí)目標(biāo),并體會到本節(jié)課所研究的內(nèi)容.事實(shí)上,很多學(xué)生在做活動單的時(shí)候第一想法就是不管會與不會,拿到手就做,做之前和做完后也沒有什么反思與總結(jié).基礎(chǔ)自測是預(yù)習(xí)內(nèi)容中強(qiáng)調(diào)主干核心的知識,對知識的主干進(jìn)行精確的梳理和科學(xué)的整合,加強(qiáng)知識與知識的內(nèi)在聯(lián)系,便于學(xué)生能有充分的主觀認(rèn)識.其形式以填空題的方式呈現(xiàn),幫助學(xué)生進(jìn)行知識的回顧.

        基礎(chǔ)自測第一題通過對無數(shù)個(gè)圓都過相同的點(diǎn),特殊到兩個(gè)圓的交點(diǎn),然后驗(yàn)證這個(gè)交點(diǎn)就是研究的定點(diǎn),以及通過無數(shù)個(gè)圓的認(rèn)識體會到與變量無關(guān),從而初步體現(xiàn)求定點(diǎn)問題的兩種常見方法:

        (1)利用曲線系(直線系)特征確定點(diǎn)或由特殊值確定一定點(diǎn),再進(jìn)行一般性證明;

        (2)直接推理計(jì)算,并在計(jì)算推理過程中消去變量(與變量無關(guān)),利用方程組思想,從而得到定值.

        事實(shí)上,這道題目也可以通過配方從形式上直接得到結(jié)論.

        通過第三題,第四題對a2,b2及結(jié)論的關(guān)系,初步感受它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,在授課過程中,從而提出疑問是巧合還是必然?明確研究目標(biāo),以橢圓為例,進(jìn)而進(jìn)行研究.

        活動二、要點(diǎn)梳理

        要點(diǎn)梳理是每張活動單知識核心的展現(xiàn),是通過老師的傳授,在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上展現(xiàn)出的知識核心,其過程展現(xiàn)方式有:

        1.學(xué)生自我梳理.

        通過對基礎(chǔ)自測的完成以及學(xué)生對本節(jié)知識的自我回顧,借助于書本或者參考資料對知識體系加以梳理,其作用在于可激發(fā)學(xué)生自主的去學(xué)習(xí),提升自我的歸納總結(jié)的能力.

        2.老師與學(xué)生的共同提煉.

        通過對題目的思路的分析,方法的總結(jié),在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上,提煉出考查的相關(guān)知識點(diǎn)和結(jié)論.

        對于本節(jié)課的知識梳理是:

        (1)求定點(diǎn)及定值問題的常見方法:

        ①從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān);

        ②直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過程中消去變量,從而得到定值.

        (2)結(jié)論:

        活動三、典型例題

        典型例題是基礎(chǔ)自測中題目的升華,通過經(jīng)典例題能更深層次地展現(xiàn)本節(jié)課的知識核心,是學(xué)生能力展現(xiàn),思維升華的展現(xiàn).

        例1已知橢圓C:,B為橢圓的上頂點(diǎn),過點(diǎn)B的直線l1,l2與橢圓C分別交于點(diǎn)R,S(不同于B點(diǎn)),設(shè)直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,若,求證:直線RS過定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).

        思路分析:本題研究直線RS過定點(diǎn),只要求出直線的方程即可,關(guān)鍵在于通過聯(lián)立方程組求出直線上R,S的兩點(diǎn)坐標(biāo).

        處理方式:在思路分析后,學(xué)生獨(dú)立自主完成,小組討論交流后,讓學(xué)生通過黑板展示自我的成果.

        解:由題可知,BR的直線方程為y=k1x+2,將直線與橢圓聯(lián)立方程組

        因?yàn)镽,S關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以直線恒過定點(diǎn)(0,0)

        注:本題在證明RS過定點(diǎn)(0,0)時(shí),也可通過證明OR,OS的斜率相等.

        教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思路清晰,方法明確,但在計(jì)算轉(zhuǎn)化方面存在問題,由于圓錐曲線對于計(jì)算要求較高,筆者認(rèn)為此題過程中在學(xué)生板書后應(yīng)跟學(xué)生一起分析怎樣求解,并鼓勵(lì)學(xué)生加強(qiáng)學(xué)生的計(jì)算信心,為以后更復(fù)雜的計(jì)算打下基礎(chǔ).

        為了進(jìn)一步探究圓錐曲線中定點(diǎn)、定值的性質(zhì),筆者對此題做了一些變式:

        思路分析:本題研究直線的斜率乘積,只要分別求出相對應(yīng)的點(diǎn)即可,通過與學(xué)生共同分析分析可以發(fā)現(xiàn),本題有兩種不同的思路,思路一:可以選擇設(shè)出直線方程后聯(lián)立方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo);思路二:可以根據(jù)點(diǎn)的對稱性選擇設(shè)而不求.

        處理方式:在思路分析后,學(xué)生獨(dú)立自主完成,通過投影展示,對比不同的思路.

        方法2:設(shè)R(x,y),由橢圓的對稱性可得S(-x,-y).

        通過對方法1和方法2的對比,讓學(xué)生在掌握基本方法的同時(shí)能靈活運(yùn)用一些解題的技巧將解題過程進(jìn)行優(yōu)化,進(jìn)而提高解題的能力.很顯然,若R,S為橢圓的左、右頂點(diǎn),結(jié)論亦成立.

        在變式1的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生觀察基礎(chǔ)自測第三題,發(fā)現(xiàn)若R,S是左、右頂點(diǎn),B是任意一點(diǎn),探究一般性的結(jié)論,進(jìn)而得到下面的變式:

        學(xué)生通過自主探究得出一般性結(jié)論:

        在授課過程中發(fā)現(xiàn)當(dāng)學(xué)生在充分認(rèn)識了結(jié)論1之后,有不少同學(xué)帶有疑問,有同學(xué)就及時(shí)提出:如果在前面例題設(shè)而不求,利用對稱性的基礎(chǔ)上,如果保證R,S始終關(guān)于原點(diǎn)對稱,B為異于R,S上任意一點(diǎn),那結(jié)論還是否成立呢?此時(shí),筆者自然而然提出下面的變式:

        學(xué)生思考,獨(dú)立自主完成,小組適當(dāng)交流后,然后通過投影將成果展示.

        顯然結(jié)論1是結(jié)論2的特殊情況,在上述變式過程逐層遞進(jìn),通過逆向思維引入變式1,通過變式1發(fā)現(xiàn)特殊情況,從特殊情況到一般情況,再研究一般情況.通過數(shù)形結(jié)合、歸納類比、設(shè)而不求的數(shù)學(xué)方法得到一般性的結(jié)論,并通過結(jié)論解決橢圓中與過原點(diǎn)弦的有關(guān)問題,以此來解決例2和變式.

        圖1

        證明:設(shè)P(m,n),則A(-m,-n),C(m,0),所以kPA=,即,所以-1,即PA⊥PB.

        建立在本節(jié)課所研究的基礎(chǔ)上大大簡化了這道題目的復(fù)雜性.事實(shí)上,不少同學(xué)在沒有認(rèn)知這個(gè)結(jié)論的時(shí)候,利用的方法就是將直線與橢圓聯(lián)立方程組,通過方程組解出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出斜率,證明kPA·kPB=-1,對學(xué)生的運(yùn)算能力和推理證明的能力較高,不少學(xué)生因?yàn)橛?jì)算能力做到一半甚至就會打退堂鼓,當(dāng)然上述結(jié)論在解答題中不能直接運(yùn)用,需有證明的過程.

        圖2

        解:由題意可知,直線AD的斜率存在且大于0,設(shè)kAD=k1>0,則lAD:y=k1(x-2).令x=3,得E(3,k1),由結(jié)論可得,所以令x=3,得F因?yàn)閗1>0,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立,所以|EF|的最小值為

        活動四、課堂小結(jié)

        活動單導(dǎo)學(xué)不僅重視學(xué)生獲得知識的對與錯(cuò),多與少,完成作業(yè)的優(yōu)與劣,更關(guān)注學(xué)生的態(tài)度、情感、能力、責(zé)任心及合作精神等個(gè)性品質(zhì)的培養(yǎng),注重學(xué)生對過程的主體性體驗(yàn),注重活動過程本身對學(xué)生的教育價(jià)值.事實(shí)上,在以橢圓為例的基礎(chǔ)上探究了橢圓中與過原點(diǎn)弦的有關(guān)問題,通過類比的思想,可引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究,自主學(xué)習(xí),合作討論去研究雙曲線,拋物線中的類似結(jié)論.

        在活動單導(dǎo)學(xué)的模式下,本節(jié)課中以“合作學(xué)習(xí)小組”為基本學(xué)習(xí)單位,以“自主、合作、探究”為主要學(xué)習(xí)方式,以“課堂反饋與評價(jià)機(jī)制”為保障,充分體現(xiàn)了“教為主導(dǎo)、學(xué)為主體、學(xué)會與會學(xué)、個(gè)性發(fā)展與全面發(fā)展”相統(tǒng)一的教學(xué)理念,以此培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力,探究問題的意識和合作學(xué)習(xí)的精神.

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