■云南省大理第一中學　王永生

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走進學生數學問題解決的內心世界——一道高三數學?？荚囶}的教學思考

■云南省大理第一中學王永生

題目（2014年云南省第二次高中畢業(yè)生復習統(tǒng)一檢測理科第20題）已知拋物線C：y2=4x的準線與x軸交于點M，E（x0，0）是x軸上的點，直線l經過點M且與拋物線C交于A、B兩點.

（Ⅱ）設A、B都在以點E為圓心的圓上，求x0的取值范圍.

此題以具體的拋物線為背景，考查點與圓、直線與拋物線位置關系相關的證明問題和范圍問題.

應當說，這只是解析幾何的常規(guī)問題.可筆者所教班級的平均得分只有2.05分（滿分為12分）.作為已完成第一輪全面復習，學生已掌握基本知識，初步具備一定能力的情況下，這樣的得分確實有些低.為此，筆者通過訪談和對學生的卷面答題情況進行具體分析后歸納出以下幾種原因：

（1）一直都不敢做解析幾何題，認為它太難，沒分配好時間，等開始做該題時，時間已所剩無幾；

（2）求錯點M的坐標；

（3）不能理解點E在以線段AB為直徑的圓上；

（4）難以準確表達A、B都在以點E為圓心的圓上；

（5）不能明確條件A、B都在以點E為圓心的圓上對求x0的取值范圍有何作用.

以上原因中，除（1）屬非智力因素外，其他四點都與學生的數學問題表征能力有很大關聯(lián).

問題表征是指根據問題所提供的信息和自身已有的知識經驗，發(fā)現(xiàn)問題的結構，構建自己問題空間的過程，也是把外部的物理刺激轉變?yōu)閮炔啃睦矸柕倪^程.［1］

數學問題表征能力是指準確表征數學問題的程度.這種能力的高低決定著學生對數學問題的理解程度，也決定著學生解題能力的發(fā)展水平.［2］

數學問題的解決過程就是解題者在自己的長時記憶中提取解題圖式用于新的問題情境的過程.其認知過程分別為：問題表征、模式識別、解題遷移、解題監(jiān)控.［3］由此可見，問題表征的正確性是學生解決數學問題的基本前提.

數學問題的有效解決常常依賴于對問題的適宜表征，不同的表征產生不同的解題方法，也就有不同的要求和難度，適宜的表征可以減少運算量，縮短思維過程.因此，準確、適宜的問題表征成為數學問題解決的關鍵.［4］

可見，導致該題學生得分較低的主要原因還是數學問題表征能力的低下.借對此題進行試卷講評的契機，筆者就對高三學生進行數學問題表征能力的培養(yǎng)進行了嘗試.

一、表征表達，嘗試多元，力求準確

“有研究表明，正確的表征是解決問題的必要前提，在錯誤的或者不完整的問題空間中進行搜索，不可能求得問題的正確解.”［5］要使表征準確，就得先弄明白問題的表征形式.問題表征從形式上可分為“內在表征”和“外在表征”兩種.內在表征是指學習者將外在的問題信息轉化為頭腦中內在的命題形式，其外在的表現(xiàn)就是學習者能用自己的語言陳述問題的條件和目標；外在表征是指將問題以文字、符號、圖形、圖表、模型等具體形式表示出來.其外在表現(xiàn)常見形式為語言表征、符號表征、圖形表征和情境表征等.結合解析幾何問題的特點，在課堂教學中應多注重引導學生把握表征取向，加強問題表征的多元表達訓練，從而提高問題表征的準確性.

講評時，為能引導學生正確理解題意，對第（Ⅰ）問，筆者從條件出發(fā)，以三種形式進行了表征表達，具體內容見表1所示.

表1：第（Ⅰ）問條件的語言表征與符號表征對照表

據此可得題目的圖形表征，如圖1所示.

圖1

通過讀題，將問題所給文字進行重新組合，形成準確的語言表征，進而為正確實現(xiàn)將語言符號化打下了堅實的基礎，同時對整體完成圖形表征創(chuàng)造了必不可少的條件.

學生之所以害怕解析幾何題，其根本原因還是在于缺乏對問題表征的表達能力，不會進行多元表征，從而不能實現(xiàn)對問題進行準確表征.當然，也就不可能求得問題的正確解.可見，教師要善于引導學生進行多元表征，加強問題表征的表達訓練，進而提高問題表征的準確性.

二、展示表征，通過探討，尋求適宜

通過對前面的表征表達，實現(xiàn)了對條件的正確理解.當面對要證明的結論時，由于思維能力不同，學生仍會形成多種不同的表征，有些表征正確，但對問題的求解不夠適宜，而有些表征本來就不正確，當然也就必然會導致解題失敗.為此，有必要在講評時展示學生問題表征的思維過程，和學生一道共同探討問題表征的適宜性.

對第（Ⅰ）問的結論，要證明“點E在以線段AB為直徑的圓上”.筆者在閱卷過程中收集整理了幾種學生在考試時所采用的表征.如圖2所示，設以線段AB為直徑的圓的圓心為C.幾種不同的表征形式可列表，如表2所示.

圖2

表2：第（Ⅰ）問結論的幾種不同表征形式

表征1是多數學生最先想到的表征形式，可是在問題解決過程中需要先求圓的方程.

設A（x1，y1），B（x2，y2），代入方程組可求出A、B兩點的坐標，也可以不求而采用韋達定理求解.當然，還可直接由人教版普通高中課程標準實驗教科書數學（必修2）第124頁習題4.1A組第5題的結論可得此圓的方程是（xx1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0，對后面判斷點E是否在這個圓上，此教材第119頁的例1作了示范.應當說學生還是比較熟悉和認可這種表征形式下的問題解決.

表征2由中點坐標公式可求出點C的坐標，然后可由兩點間距離公式求出|EC|，再由弦長公式求得|AB|，從而完成證明.雖然思維量小，可計算量相對較大，而且還依賴于要記準相應公式，當然這些公式都是要求學生需要熟練掌握的.

表征3使用學生相對較少.可事實上，對方程（*）由韋達定理，得x1+x2=6，x1·x2=1，于是所以

應當說“在圓中，直徑所對的圓周角是直角”這一結論學生并不陌生，而利用向量這一工具來解決解析幾何問題學生還是不適應的.

以上三種表征形式下問題的解決，很難說哪種對學生相對適宜，這得由學生的知識結構和數學能力來決定.通過展示和分析表征的思維過程，可以在一定程度上提升學生運用所掌握的知識解決問題的能力.當然，對一些錯誤的表征，應和學生一道共同進行辨析、討論，甚至在爭論中進行調整、修改和完善，使其逐步形成合理的表征.

不同學生的知識結構和表征能力都會有所不同.在課堂教學中，教師要為學生創(chuàng)設展示和交流的平臺，使學生能夠充分暴露表征的思維過程，通過探討使學生自覺調整、修正和完善思維過程，并通過借鑒同學的思考，從而最終尋求到適宜的表征.

三、重新表征，通過遷移，實現(xiàn)靈活

問題表征的方式具有多樣性.“一般情況下，人們總是用給定的表征形式解決問題，如問題以文字形式出現(xiàn)，解題者往往也傾向于用言語方式解決問題.”［6］但當給定的表征方式不利于問題解決時，解題者就需要尋求新的、更有效的表征方式.新的表征方式主要是通過選擇與轉換來實現(xiàn).表征選擇是一個信息分析、關系提煉的認知過程；而表征轉換則是對已有的信息數據的再加工、精加工的認知加工過程.［6］

可見，在問題解決過程中，如果最初的表征形式不利于或難以解決問題時，應及時進行表征選擇或轉換，從而能夠達到快速準確地解決問題.這在一定程度上體現(xiàn)了問題表征的靈活性.

第（Ⅱ）問要求x0的取值范圍.由題意可知直線l的斜率存在，不妨設為k，則k≠0.由方程組得k2x2+ 2（k-2）x+k2=0.因為直線l與拋物線C交于A、B兩點，所以Δ＞0?4（k2-2）2-4k4＞0?k2＜1，所以0＜k2＜1.

由此可知，只要找到x0與k2之間的函數關系式即可.這就只能由唯一的條件“A、B都在以點E為圓心的圓上”獲得.此時，對其表征形式的選擇就顯得尤為重要.容易想到，由此可得|EA|=|EB|，但其運算相對較繁，為此應尋求表征轉換，從而盡可能使運算量減小.

第（Ⅱ）問作答的學生相對較少，更是鮮有學生能最終完成作答.這其中的原因較多，但與學生問題表征的選擇與轉換能力有很大的關聯(lián).當筆者與學生一起完成上面的解答時，學生感觸頗多，一致認為，不是不會做，而是根本就沒想到.而沒想到的根本原因還是數學問題表征的靈活性缺失，特別是難以甚至不能根據問題解決的需要進行表征的合理選擇和轉換.而這正是數學問題表征能力的集體體現(xiàn).

通過對這道?？碱}的具體分析，不難看出，數學問題表征能力是學生數學的核心能力之一.學生對題目的表征錯誤或缺失都會在極大程度上影響解題的整個過程.因此，在平時的解題教學中，應充分重視學生數學問題表征能力的培養(yǎng).為此，要走進學生數學問題解決的內心世界，可在教學中嘗試做好以下三個方面的工作：［7］

一是引導學生多積累知識，形成一定的知識結構，為實現(xiàn)學生對數學問題的正確理解和表征奠定堅實的基礎.

二是為學生創(chuàng)設交流與展示的平臺，通過暴露學生問題表征的思維過程，引發(fā)學生進行思維的交鋒，使學生學會結合自身知識結構進行調整、修改和逐步完善數學問題的表征形式，從而最終實現(xiàn)數學問題表征的適宜性，而這恰恰是數學問題解決的關鍵.

三是注重學生元認知能力的開發(fā)，指導學生在解題過程中有效監(jiān)控解題過程，當發(fā)現(xiàn)先前的表征方式效率不高時，應及時重新進行表征的選擇與轉換，并最終實現(xiàn)快速準確解決問題.

以上三個方面相互關聯(lián)，層層遞進.在教學過程中，應有目的、有計劃地加以實施，并有針對性地加強學生掌握有效問題表征的訓練，從而提高學生的數學問題表征能力.

參考文獻：

1.胥興春，劉電芝.問題表征方式與數學問題解決的研究［J］.心理科學進展，2002（3）.

2.張玫.降低解題的門檻，提高得分的能力——談高中生數學問題表征能力的培養(yǎng)［J］.數學之友，2014（8）.

3.喻平.數學學習心理的CPFS結構理論［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

4.王林全，吳有昌.中學數學解題研究［M］.北京：科學出版社，2009.

5.傅小蘭，何海東.問題表征過程的一項研究［J］.心理學報，1995（2）.

6.楊小冬，方格，畢鴻燕，等.非空間問題中運用空間表征策略的研究綜述［J］.心理科學，2001（1）.

7.殷偉康.培養(yǎng)學生數學問題表征能力“三部曲”［J］.中學數學（上），2013（7）.F