■浙江省溫州中學　劉旭飛

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關(guān)注預(yù)設(shè)重視生成基于對話——“函數(shù)的單調(diào)性”的教學實錄與反思

■浙江省溫州中學劉旭飛

當前，概念教學中有些現(xiàn)象很令人擔憂：教師重解題技巧，輕概念生成，追求概念教學最小化和習題講解最大化；學生認為概念學習單調(diào)乏味而不重視它，對基本概念死記硬背、不求理解.直接后果表現(xiàn)為學生在沒有真正理解概念的情況下匆忙去解題，使得他們只會模仿教師解決典型例題的題型，一旦遇到新的情況、新的題型就束手無策，進而導(dǎo)致教師和學生為了提高成績，陷入無休止的題海之中.

事實上，一個數(shù)學概念的背后往往蘊含著豐富的數(shù)學思想，有的數(shù)學概念本質(zhì)上就是一種數(shù)學觀念，是一種分析、處理問題的數(shù)學方法.重視概念的自然生成可以使學生對原有知識、技能進行再認識、再加工，進一步深化提高，把頭腦中已有的認知能力調(diào)動起來，積極參與到新的學習活動中，加深對新知識的理解和認識.最近，筆者在一次市級研討會上執(zhí)教了一節(jié)研討課“函數(shù)的單調(diào)性”，本著“關(guān)注預(yù)設(shè)，重視生成”的理念，采用“問題引領(lǐng)，對話交流”為主線的教學模式，學生積極主動、師生對話交流通暢，取得了較好的教學效果，獲得了聽課專家和教師的好評.現(xiàn)將本節(jié)課的課堂教學實錄呈現(xiàn)如下，并談?wù)勛约旱慕虒W設(shè)計意圖和教學反思，敬請同行指正.

一、課堂教學實錄

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

我們知道函數(shù)是描述事物運動變化規(guī)律的數(shù)學模型，而生活中有很多運動變化的現(xiàn)象值得我們?nèi)リP(guān)注．

例1圖1是溫州市今年某天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖，觀察圖形，你能得到什么信息？

圖1

設(shè)計意圖：通過學生熟悉的實際問題引入課題．為概念學習創(chuàng)設(shè)情境，拉近數(shù)學與現(xiàn)實的距離，激發(fā)學生的求知欲，調(diào)動學生主體參與的積極性．學生通過觀察天津市某天氣溫變化曲線圖的變化趨勢，完成對單調(diào)性直觀上的一種認識．

生：（七嘴八舌）氣溫在0~4時下降，4~14時上升，14~ 24時又下降.

生：一天中有最低氣溫-2℃，最高氣溫9℃，溫差為11℃.

師：同樣一幅圖，有些同學關(guān)注的是隨著時間的流逝，溫度先降低后升高再降低，有些同學關(guān)注的是最低氣溫和最高氣溫，各人看法不一樣，各人觀察點也不盡相同，這節(jié)課我們關(guān)注函數(shù)圖像的上升或下降的情況（利用幾何畫板的動畫工具讓圖像上一點從左到右運動并追蹤讓學生直觀地感受圖像的下降與上升）．圖像在某區(qū)間上（從左往右）“上升”或“下降”的趨勢反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì)——單調(diào)性（板書課題）.

師生活動：教師提問，學生思考、回答，教師根據(jù)學生回答的情況加以補充．

2.自主探究，形成新知

個人獨立完成或?qū)W習小組合作完成.

問題1：任意寫出一個函數(shù)的解析式，利用描點法作出它的圖像，并觀察當自變量變化時，函數(shù)值有什么變化規(guī)律？

設(shè)計意圖：體會函數(shù)f（x）=x的圖像是上升的，函數(shù)f（x）=x2的圖像在y軸左側(cè)是下降的，在y軸右側(cè)是上升的．從形的角度初步認識函數(shù)的單調(diào)性．

師生活動：學生利用描點畫出函數(shù)的圖像，并觀察當自變量變化時，函數(shù)值有什么變化規(guī)律，教師引導(dǎo)得到單調(diào)性的“形”的定義．

學生展示成果.

生：兩個函數(shù)的性質(zhì)如圖2、圖3所示.

圖2

x y -3　-3 -2　-2 -1　-1 0 0 1 1 2 2 3 3

圖3

x y -3　9 -2　4 -1　1 0 0 1 1 2 4 3 9

生：函數(shù)f（x）=x的圖像在整個定義域上（從左向右看）成上升趨勢，f（x）=x2的圖像在x＜0時成下降趨勢，在x＞0時成上升趨勢.

師：很好.函數(shù)圖像（從左向右）總是上升的，反映在自變量和應(yīng)變量上就是y隨x的增大而增大，圖像具有這種特征的函數(shù)，我們就稱它是單調(diào)遞增的.

師：（板書）設(shè)函數(shù)的定義域為I，區(qū)間D?I．在區(qū)間D上，若函數(shù)的圖像（從左向右）總是上升的，即y隨x的增大而增大，則稱函數(shù)在區(qū)間D上是遞增的，區(qū)間D稱為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（學生類比定義“遞減”，接著回到前面以溫度變化為背景的函數(shù)，讓學生準確回答單調(diào)性）

設(shè)計意圖：從圖像直觀感知到文字描述，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認知．明確相關(guān)概念，準確表述單調(diào)性．借此強調(diào)函數(shù)的單調(diào)性是相對某區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)．

師追問：剛同學畫的f（x）=x2的單調(diào)性如何？

生：從圖像可知，在區(qū)間（－∞，0）上遞減，在區(qū)間（0，+∞）上遞增．

生：（有點使壞）某同學畫的是區(qū)間［－3，3］上的圖像，在區(qū)間［－3，3］外看不出單調(diào)性.

師：（稍停頓，有點意外）同學畫的是區(qū)間［－3，3］上的圖像，在區(qū)間［－3，3］外看不出單調(diào)性，也就是說你怎么保證x＞3時圖像是一直上升的，不會下降呢？

師：函數(shù)圖像雖然直觀，但是缺乏精確性，而且我們只能畫出有限的區(qū)域，況且有些函數(shù)我們根本不知道它的圖像是何形狀，看來僅僅從形上認識單調(diào)性還是不夠的，還得從數(shù)的角度進一步去認識它．

設(shè)計意圖：借此認知沖突，讓學生意識到學習符號化定義的必要性，自然開始探索.

問題2：如何從代數(shù)的角度說明函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，即“y隨x的增大而增大”？

設(shè)計意圖：結(jié)合圖、表，學生在教師的引導(dǎo)下，結(jié)合其初中的認知基礎(chǔ)，用數(shù)學符號語言“函數(shù)f（x）=x2，在區(qū)間（0，+∞）上任取兩個數(shù)x1，x2，當x1＜x2時，有f（x1）＜f（x2）”來描述“f（x）隨著x的增大而增大”，學生經(jīng)歷從直觀到抽象，從無限到有限，從圖形語言到數(shù)學符號語言，進而理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間概念的過程．

生：我覺得增大必須是要有兩個數(shù)之間的比較，所以可取兩個數(shù)x1，x2及對應(yīng)的兩個函數(shù)值f（x1）和f（x2）來比較大小關(guān)系，比方說：f（2）=4，f（1）=1，f（4）＞f（1）．

生：（大聲說）不行，看二次函數(shù)f（x）=x2的圖像，f（2）=4＞f（－1）=1，但在區(qū)間［－1，2］上并不是增函數(shù).師：兩個不行，那三個行不行？生：（所有學生）不行.

師：那怎么辦？（不動聲色）

生：（笑著說）那就一直取下去，取無數(shù)個.師：怎么取？

學生或若有所思，或搖頭，或竊笑，……

生：若在區(qū)間（0，+∞）上有無數(shù)個自變量x1，x2，x3，…，當x1＜x2＜x3＜…時，都有f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜…，就能說函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

師：這樣能不能保證遞增了呢？

生：（很激動）不行，我有反例，可以畫圖說明（上黑板畫了一個反例圖，如圖4）.

圖4

師（追問）：連無數(shù)個也不能保證函數(shù)遞增，那怎么辦？

生：（猶豫了會）我覺得要所有的都取完，但不知道怎么取.（所有人都笑了）

師：怎樣才能把所有的值都取完呢？難道我們一定要取驗證區(qū)間上所有的值嗎？實數(shù)上，我們?nèi)绻娴娜◎炞C區(qū)間上所有的值的話，操作起來也是很困難的，能不能想個辦法，用有限變量的驗證來實現(xiàn)這種所有變量的驗證呢？（同組討論）

學生在教師的一步步設(shè)疑、啟發(fā)下，到了“憤”“悱”狀態(tài).

生：我覺得可以在區(qū)間［0，+∞）上，任取兩個x1，x2，得到f（x1）=x21，f（x2）=x22，如圖5，當x1＜x2時，有f（x1）＜f（x2），則說明函數(shù)f（x）= x2在［0，+∞）上為增函數(shù)．

師：你們同意他的做法嗎？（掌聲響起）

圖5

師：做得非常好.在區(qū)間［0，+∞）上，任意取了兩個值，證得自變量大的函數(shù)值也大，這樣我們就通過兩個任意變量的驗證實現(xiàn)了所有值的驗證.

師（追問）：一定要兩個都任意嗎？一個行不行？（稍停頓）即對于區(qū)間［0，+∞）上任意的x，有f（x）＞f（0），能否說函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，+∞）上單調(diào)遞增？

生：不行，剛某**同學畫的圖可說明.

師：三個呢？

生：沒必要.

設(shè)計意圖：讓學生體會一個任意不夠，三個任意沒必要，兩個剛剛好．

問題3：如何用準確的數(shù)學符號語言刻畫函數(shù)y=f（x）（定義域為I）在區(qū)間D上遞增？

師生活動：學生在學案上自主嘗試概括定義，投影學生概括的定義，學生點評，教師補充，板書增函數(shù)的定義，同組討論指出定義中的關(guān)鍵之處．

問題4：類比增函數(shù)的定義，我們應(yīng)當如何給減函數(shù)下定義？

設(shè)計意圖：得出減函數(shù)的定義，從而培養(yǎng)學生的類比能力．

師生活動：小組討論，代表發(fā)言交流．教師引導(dǎo)學生通過類比、觀察、驗證、交流后，得出減函數(shù)定義，并給出單調(diào)區(qū)間的概念.

3.鞏固提高，應(yīng)用新知

師生活動：引導(dǎo)學生分析例題，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，解題過程由學生在學案上書寫，然后投影，師生共同點評、總結(jié)用定義證明函數(shù)為增（減）函數(shù)的基本步驟．

設(shè)計意圖：利用單調(diào)性證明物理學中的玻意耳定律，學生感受到函數(shù)單調(diào)性的初步應(yīng)用；在教師引導(dǎo)下，學生熟悉用定義證明函數(shù)為增（減）函數(shù)的基本步驟．

師生活動：學生討論，代表發(fā)言．

設(shè)計意圖：通過數(shù)形結(jié)合思想的運用，加深對單調(diào)性定義的理解，強調(diào)：（1）單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，因此談單調(diào)性離不開區(qū)間；（2）定義中的“任意”是關(guān)鍵；（3）函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A、B上都是增（或減）函數(shù)，不能武斷認為函數(shù)在A∪B上也是增（或減）函數(shù)．

A.1B.2C.3D.4

師：非常好.如果f（x）在區(qū)間［1，+∞）上是單調(diào)遞增的，那么f（2）＞f（1）肯定成立，可以縮小k的范圍，這也是我們解決選擇題很有效的方法，可以提高準確率.

師（追問）：反過來對嗎？如果f（2）＞f（1），能否說f（x）在區(qū)間［1，+∞）上是單調(diào)遞增的？

生：不行.

師：還有沒其他的方法解決這個問題？

生：利用單調(diào)性的定義.（略）

設(shè)計意圖：進一步加深對函數(shù)單調(diào)性定義的理解和熟悉用定義證明函數(shù)為增（減）函數(shù)的基本步驟．

4.回顧反思，深化新知

問題5：通過本節(jié)課學習，你有哪些收獲？

師生活動：學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，教師梳理、概括本節(jié)課主要的學習內(nèi)容，并揭示蘊含的數(shù)學思想方法．

設(shè)計意圖：使學生深切體會到本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法．

二、教學反思

中學數(shù)學對單調(diào)性的認識是“螺旋式上升”的：圖像直觀（直觀化定義）——文字描述（描述性定義）——符號表達（形式化定義）——精準刻畫（導(dǎo)函數(shù)定義）.本節(jié)課處在最關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其難點是如何突破用靜態(tài)的數(shù)學符號刻畫動態(tài)的函數(shù)變化趨勢，其中“任意”一詞是最大的難點.我們思考以下幾個問題：

（1）為什么要學習函數(shù)單調(diào)性的形式定義？（回答學習的必要性）

（2）為什么非要從左向右看？（遵循x軸正方向）

（3）怎樣用數(shù)學符號語言描述自變量x逐漸增大？（抽象出x1＜x2）

（4）能否檢驗幾個具體數(shù)值甚至無數(shù)個數(shù)值判斷函數(shù)單調(diào)遞增？（幾何畫板驗證）

（5）如何做到取遍所有的x值？（逼出任意性）

（6）怎么用數(shù)學符號描述因變量y隨x的增大而增大？（當x1＜x2時都有f（x1）＜f（x2））

圍繞上述問題，我們采取遞進式問題串的形式組織學習材料，分散難點，并尋找已有的認知經(jīng)驗，使得函數(shù)單調(diào)性的形式化定義水到渠成.

數(shù)學的本質(zhì)是思維對話，即師生對話（引導(dǎo)）、生生對話（討論）、生本對話（自學）.對話教學的關(guān)鍵是既關(guān)注預(yù)設(shè)的問題，又重視生成的問題.從預(yù)設(shè)與生成的角度看，本節(jié)課做得較好的地方有：（1）在學生回答了f（x）=x2的單調(diào)性后，筆者課前的預(yù)設(shè)是借助雙鉤函數(shù)的圖像使學生產(chǎn)生認知沖突，讓學生意識到僅僅從形上認識單調(diào)性還是不夠的，還得從數(shù)的角度進一步去認識它，即學習符號化定義的必要性.沒想到學生會回答“同學畫的是區(qū)間［－3，3］上的圖像，只能看出［－3，3］上的單調(diào)性”，這完全出乎筆者的意料，這時筆者只能將他的話重復(fù)一遍給自己留思考的時間.怎么保證x＞3時圖像是一直上升的，不會下降呢？得從數(shù)的角度去分析，筆者突然意識到這不就是自己想要的嗎？讓學生產(chǎn)生認知沖突，從形上認識單調(diào)性還是不夠的，還得從數(shù)的角度進一步去認識它，進而意識到學習符號化定義的必要性，于是筆者也就沒必要請出雙鉤函數(shù)了.（2）在變式2中，筆者的預(yù)設(shè)是學生利用定義去完成，從而得到進一步加深對函數(shù)單調(diào)性定義的理解效果.令筆者始料未及的是學生利用即k＜2就得到選項，筆者意識到這不就是解決選擇題，提高準確率的常用手段嗎？于是很肯定地表揚了他.在教學中，教師應(yīng)根據(jù)學生所答、所問及時改變預(yù)設(shè)的程序，創(chuàng)造性地組織教學，這既是對學生發(fā)現(xiàn)的肯定，更是尊重學生的表現(xiàn).這樣的教學真正使學生成為了學習的主人，反映了課堂教學的真實、自然.

李邦河院士曾告誡我們“數(shù)學根本上是玩概念的”.那么，如何在教學實踐中“玩概念”？可謂見仁見智.章建躍先生認為，數(shù)學中“玩概念”包含兩個方面：一是定義概念，二是利用概念研究數(shù)學規(guī)律.在數(shù)學概念的教學中，最忌諱的是“重結(jié)果，輕過程”，忽視學生在探索過程中的主體地位，匆忙地拋出概念，緊接著講解各種題型及大量訓(xùn)練，學生不知其所以然，更談不上發(fā)展思維了.教師應(yīng)該讓學生弄清概念的來龍去脈，理解概念的內(nèi)涵和外延，掌握概念的應(yīng)用，并且在概念的生成中，體驗過程，學習方法，領(lǐng)悟思維，發(fā)展思維.

參考文獻：

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