“理解”是《義務教育數學課程標準》中描述結果目標的行為動詞之一，等同于認識、會。內涵解釋為能夠通過對對象的特征和由來的描述，順著脈理或條理進行剖析，并對相關對象之間的區(qū)別和聯(lián)系能夠說理分析。

小學數學課堂教學新知學習不能停留在“形式化的定義”，要做到“真正意義上的理解”，要讓學生對新知的理解更全面、更深入，真正理解知識的本質屬性。然而，當下一些數學課堂，教師定位于對數學知識的描述與獲得的結果，熱衷于“簡單、快捷”的方式，忽略“意義理解”，以使學生能夠迅速呈現(xiàn)“做法”與“結果”，至于“做法的緣由”“結果的生長原點”“相關知識的聯(lián)系與區(qū)別的分析”卻知之甚少。對此，我認為學生真正理解知識，不在于能否說出它的“定義”，而在于能否把握知識的本質特征，能否在具體的情境中正確運用知識解決問題。

一、聚焦：理解“缺位”現(xiàn)象掃描

鏡頭一：三年級下冊《乘法》單元第一課時《兩位數乘以兩位數》，內容先讓學生通過列橫式分步計算，然后出現(xiàn)豎式，接著讓學生探索豎式每一步的意義，得到結果。一些課堂把分步算法與列豎式孤立開來，重點教學豎式的格式、算法，忽視列豎式的基礎、每一步的意義，忽視豎式形成的過程，致使學生把解決此問題的理解定位于“用豎式計算”。

鏡頭二：教學幾何圖形周長和面積時，教學過程都會安排操作、過程描述、推理驗證等，最終得出圖形的周長或面積公式，但一些課堂把公式作為教學的主要目標，長時間的記憶和大量練習運用，致使一些學生腦中就產生了“長方形的周長是（長+寬）×2”“三角形的面積就是底×高÷2”。

鏡頭三：教學三年級上冊內容時，總會碰到一些“誰比誰多（少）幾”的實際問題，學生在二年級時應該有了一定的經驗，但到了三年級卻還出現(xiàn)大量錯誤，“多”就是“加”，“少”就是“減”這種錯誤影響頗深。究其原因，一些教師忽略細化分析，一味追求大練習量，再加上低年級學生思考簡單、落筆迅速、易模仿、易固化的思維特點，此內容成為錯誤頑疾。

縱觀以上常見的課堂教學現(xiàn)象，可以歸納為兩類：

1.壓縮理解空間，過程“快餐式”。一些課堂片面追求“短時高效”“當堂掌握”，高密度、大劑量操練。教學中教師在簡單了解知識基礎后，便直接講授新知內容的解決方法，然后便是大量的訓練，從課堂效果看學生掌握得較好。但問及“為什么可以這么做？”能夠回答的學生甚少。原因是教師的教學行為直接影響了學生的學習行為，將新舊知識割裂開來，導致學生重視新知的記憶，忽視知識之間的聯(lián)系和方法的形成過程，因而造成學生輕視過程理解，側重于即得方法的運用。

2.忽略系統(tǒng)貫通，知識“零碎化”。一些課堂注重單個知識點的教學，對于新舊知識的聯(lián)系、知識的形成過程、與其他知識點的比較不重視，使學生看似掌握了新知，其實學生并沒有形成內在的知識體系。建構主義的觀點認為“學習一個數學概念、原理、法則，如果在心理上能組織起適當的有效的認知結構，并使之成為個人內部的知識網絡的一部分，那么才說明是理解了。”在學習中，教學只有引導對學生的新知識點進行透徹分析，加強知識間的比較，體驗思維深刻過程，這樣的理解才會走向深入。

二、剖析：理解“缺位”的原因分析

1.“結果短期化”影響。一些教師受“短期效益”影響，把目光放在一堂課的教學效果上，認為通過反復的強化練習，知識點落實了，學生的理解力也就增加了。其實這種效果往往是短期的、表面的，只有量的累積，知識是無法產生“化學效應”的。從深層次看，簡單、封閉的教學會因為問題的設計缺乏挑戰(zhàn)性，學生未能經歷深層次的思考，學生對知識的理解停留在表面。況且，學生疲于應付反復的操練和一遍遍的強化，這種反復操練、強化記憶的學習不是真正的數學學習。所以，知識理解不應建立在多次的強化和操練上，那種淺嘗輒止的教學認識，增加了學生的學習負擔之外，還讓原先有趣的數學變得“枯燥”“乏味”“不可捉摸”。

2.“過程無序化”影響。課堂教學程序是課堂運行的結構，由教材內容的邏輯順序與學生的心理順序相互決定的。研究表明，學生思維的“序”只有與教學內容的“序”一致，才能充分經歷知識發(fā)生、形成和發(fā)展的過程，促進知識的理解和掌握。但一些教師呈現(xiàn)材料不注意其內在的邏輯順序，不會挖掘教材，無法形成具有層次推進的教學結構，也就不能促使學生有序地觀察、比較和思維，進而對學生實質性地理解知識和解決問題帶來一定的困難，即使花費更多的時間，學習的效率也降低了。所以安排合適的秩序，才能產生理想的教學效率，才能促進數學理解。

3.“工具性理解”影響。數學學習中，“理解”無疑是第一位的，學生在學習數學知識的過程中通常有兩種含義迥然不同的數學理解模式：工具性理解和關系性理解?？赡芪覀冊诮虒W實踐中常常關注的是工具性理解，因為它能更快更可靠地得到正確的答案，學生也就把學習變成了找正確答案的法則和算法的過程，長此以往，學生的思維就必然走向僵死。數學是思維的體操，數學教育的終極目標是提高學生以思維能力為核心的數學素養(yǎng)，學會“用數學的眼光去認識自己所生活的環(huán)境與社會”，學會“數學地思考”，而不是一味地解題找答案。所以，過分突出工具性，忽略關系性思維，會讓數學失去“魅力”。

三、實踐：建立有意義的理解

1.建立聯(lián)系，把握“理解”因素

數學中的“理解”，主要表現(xiàn)為我們能否在各個數學概念與知識之間建立更多、更強的聯(lián)系。在教學中，要將新的材料與學生原有的認知結構建立起實質性的聯(lián)系，幫助學生建立數學知識之間的內在聯(lián)系，從而促進學生在先前理解知識的新情況下產生新理解，使已有的理解不斷拓展、深化。endprint

（1）新舊知識聯(lián)系。例如當學生歸納出乘法分配律后，不必急于進入應用環(huán)節(jié)，可以引導學生回顧三年級學習的兩位數乘以一位數的口算方法：23×3先算20×3，再算3×3，最后加起來；三年級長方形周長的兩種算法：25×2+15×2，（25+15）×2，進一步說明為什么乘法分配律左、右兩邊的式子是相等的這一合理性。這樣有意識地溝通了新舊知識的縱橫聯(lián)系。

（2）知識內在聯(lián)系。例如《認識面積》一課，學生已學長度單位，現(xiàn)在學習面積概念及面積單位，高年級還要學習多邊形面積計算，這些知識具有內在聯(lián)系性，所以這課首先應考慮整體性設計，注意部分與整體之間的聯(lián)系，幫助學生整體建立知識體系，要讓學生感知所學知識是有基礎的，是對后續(xù)知識學習有幫助的，不是孤立零碎的，以此提高學生對內在知識的溝通能力。

（3）與生活經驗聯(lián)系。例如學生初步認識一位、兩位小數后，可以開設一個課堂小超市，讓學生自己寫好小數去購買文具用品，接著交流在其他地方見過已學到的小數，沒學過的小數……這一環(huán)節(jié)在學生饒有興趣的“購物”中，體會小數客觀存在，且與生活緊密聯(lián)系，接著讓學生舉不同的小數，培養(yǎng)了學生的觀察力和自我學習力。

2.催生孵化，設計“理解”過程

數學教學的本質是要讓學生學會數學地思維。教師在課堂教學時要增設思維孵化的機會，注重啟發(fā)，引領學生對新的學習材料進行深入分析，并與原有的認知建立起實質聯(lián)系，讓學生在新知建構中隨思維演變慢慢孵化、生長。

（1）“由外打破”轉為“由內突破”。例如：三年級《兩三位數除以一位數》一課，出示以下情境圖：

學生列式后，設計了如下問題：“你想怎么算呢？能用畫圖、文字或算式說明嗎？”

學生通過自主思考，呈現(xiàn)了許多作品，雖然只展現(xiàn)了分的過程，但其實已經展現(xiàn)學生由“圖—文字—式”思維的數學化過程。相機，我又提出以下幾個問題：“這么多的分法其實都是先分什么，再分什么？”“都是先算什么，再算什么？”“哪種方法你覺得既簡潔又包含了全部分的過程，為什么？”這些帶有“啟發(fā)性”的問題讓學生對眾多分法有了更深入的了解，對豎式計算的算理有了新認識，為引入豎式鋪平道路。

（2）“直接告知”轉為“意義接納”。例如，四年級《近似數》一課，其內容之一是用“四舍五入”的方法省略一個大數的尾數求近似數?！八纳嵛迦搿狈ㄊ菙祵W中的常用基本方法，直接講授也未必不可，但學生腦中總會出現(xiàn)為什么可用“四舍五入”法，省略尾數為什么只要看尾數的最高位等問題？針對這兩個問題，我設計了如下環(huán)節(jié)：

任意寫一個480000和490000之間的數，很快說出它接近四十幾萬，近似數是多少？

師：0301，0501，0999，為什么還是48萬？關鍵看什么？

生：關鍵看尾數的最高位上的數，其他數不起作用。

師：如果改1999，2999，3999，49999，5999，6999， 9999，近似數分別是多少呢？

師：以上的變化中，你覺得尾數的最高位上的數字怎么看？（0—4，4或小于4就省略，寫近似數時其他都寫0。5—9，5或大于5，就在尾數前一位加1，其他數位都寫0）

小結：其實你們說的方法就是我們數學中求近似數的方法叫“四舍五入法”，求一個數的近似數要看保留到哪一位，把它后面的尾數省略。尾數的最高位上的數如果是4或比4小，就舍去稱“4舍”；如果是5或5以上的數，就在尾數前一位加1，稱“5入”，這就是“四舍五入法”。

以上例子說明教師不僅要教學“是什么”，更要教學“為什么是”，學生不僅能知道結論，更能理解如何得來的。

3.體驗直觀，建立“理解”平臺

數學具有抽象性與概括性，直接理解有困難。教學時可以借助直觀教學法，通過多種形式感知，豐富學生直接經驗，使學生獲得生動的表象，最終通過自己的思維對學習對象獲得抽象化理解。所以我們在研究數學問題時，可以化數為形，把抽象的數學問題直觀化、生動化，變抽象思維為形象思維，以此提高解決問題的能力。

（1）直接經驗解釋疑問。教學乘加乘減混合運算后，總會有同學問：“為什么要先算乘法？”顯然我們不能以“那有什么為什么，就是應該先算乘法？”于是我根據3+8×5設計：小明到商店購買文具用品，買了一塊橡皮3元，買了5支自動鉛，每支8元，一共多少錢？如果用加法就是3+8+8+8+8+8，而我們都習慣用乘法先算5支自動鉛的錢，再加上橡皮的錢。于是我說：“加減是數量關系變化的低級形式，先有了加減法，然后在相同加數連加和遞減相同數的基礎上，產生簡便算法乘法和除法，乘除法是比加減法更高級的算法。高級的算法比起低級的算法來，計算的效率更高。因此，在乘加和乘減的混合運算中，規(guī)定先算乘法?！?/p>

（2）直觀圖形描述分析。面對較復雜的數學問題，通過畫草圖與交流，讓學生感受到畫圖能清楚地理解題意。例如：樂器隊人數是籃球隊的3倍，樂器隊人數比籃球隊多24人。樂器隊和籃球隊各有多少人？此題條件之間的關系比較復雜，顯然畫出圖就能很簡單地理解題意了。因而對其解法不容易理解，可以借助直觀圖，使學生通過對所畫的圖進行觀察和思考，分析其數量關系，算法就比較容易確定了，假設沒有圖示來幫助，要想得出它的算法，就要困難得多。

（3）幾何直觀化解難點。數學中有一些較難的知識點，我們可以借助幾何直觀進行思維，揭示對象的性質和關系，化解難點，提高學生的思維深度。例如：1.50比1.5精確度更高。1.450-1.549，四舍五入，精確到十分位都是1.5；1.495-1.504，四舍五入，精確到百分位都是1.50。然后出示下列線段圖：

讓學生觀察數的范圍，哪個圖上涵蓋的數的范圍更小？范圍越大，涵蓋的數與真值越遠，范圍越小，說明涵蓋的數與真值越接近，所以1.50精確度就更高。

（4）直觀操作提升思維。操作是智力的起源，思維的起點。只有當預設轉變?yōu)榭梢圆僮鞯幕顒訒r，學生的理解行為才可能發(fā)生。因此，教學活動要為學生提供必要的直觀材料，以便他們在動手操作中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，掌握方法，積累經驗。例如教學三年級《認識周長》一課，課前安排學生自帶樹葉和毛線，先讓學生用毛線把帶的樹葉圍起來，學生在慢慢圍的過程中體會到樹葉邊一周的長度就是樹葉面的周長，接著讓學生展示毛線圍出不同的樹葉的周長，觀察到周長是有大小的，接著把毛線拉直，明白周長有長度，可以丈量的。于是又讓學生把同一根毛線圍成不同的形狀，體會周長相同，形狀可以不同。通過以上不同的操作，理解了概念，提升了思維。endprint

4.學會思考，組織“理解”活動

學生的數學“理解”實質是一個深入思維的過程，數學教學的重要目標就是培養(yǎng)學生的思考能力。教學中要注意突破邏輯順序的束縛，幫助學生從更為廣泛的角度去認識概念和知識之間的聯(lián)系，從數學思維的角度去進行分析思考，從而深化學生的認識，幫助他們真正學會數學地思考。

（1）善于深入思考。教學五年級《釘子板上的多邊形》一課，開始讓學生觀察釘子板上不同的圖形，提問：“你發(fā)現(xiàn)什么？”“我發(fā)現(xiàn)有多個不同的圖形，它們的面積不同？”“面積不同，那面積的大小與什么有關呢？”“長和寬或底和高的長度有關?！薄俺诉@些，你還知道面積可能與什么有關？”沒有學生回答了，我引導學生思考：“今天我們學習釘子板上的多邊形，你覺得可能與什么有關？”“釘子數”“好的，每個圖形圍起來時，有的在邊上，我們稱形上釘子，有的在圖形內，我們稱為形內釘子，現(xiàn)在你猜猜面積可能與什么有關？”我覺得與形上釘子數和形內釘子數有關”“為什么？”“我發(fā)現(xiàn)如果形內有1個釘子的話，形上釘子數不同，面積也可能不同，但是形內釘子數多出來的話，也改變面積的”“好的，那你覺得可以怎么去研究？”“先從形內1個釘子數開始研究”“不錯，這是一種由易到難的好方法，今天我們就這樣來研究?！?/p>

（2）善于差錯轉化。教學《異分母分數相加減》一課，出示1/2+1/3，先讓學生獨立計算，直接相加的占了大部分，老師抓住這個錯誤資源，用以下的環(huán)節(jié)教學：①喚醒經驗：口算5.3-2，3與2能直接相減嗎？為什么？4米+2厘米，4與2能直接相加嗎？為什么？②明確算理：計算單位不相同，不能直接相加減。③類比舉例：還有類似的例子嗎？④遷移聯(lián)想：這兩個分數的分母不同，也就是分數單位不同，還能直接相加嗎？⑤課件演示（見下圖）。⑥那該怎么辦呢？以上環(huán)節(jié)抓住“計數單位不同”這個深層次的問題開始，通過交流，教師及時糾正理解偏差，讓學生獲取了更加廣泛的數學信息，促進了對數學的全面理解。

（3）善于變式訓練。變式就是變換知識的非本質屬性而本質屬性不變的呈現(xiàn)方式。例如：教學《認識分數》一課，平均分是教學的重點，只靠記憶顯然學生不易理解。于是設計了如下環(huán)節(jié)：

①折一折，分別折出一張紙的1/2，1/4，1/8，比較每一份的大小。

②下面用1/2表示的打“√”，說出為什么。

③用分數表示下面的涂色部分。

④辨一辨：猴媽媽分蛋糕給3個小猴吃，但3個小猴很不滿意，你覺得猴媽媽可能是怎么分的？

教學中引導學生多角度、多方位、多層次地理解與思考，使學生不被表面的非本質屬性迷惑，從而加深對知識的理解。

總之，學生的理解力提高在于學生在自然而有力的知識生長、思維提升的過程中體現(xiàn)。這需要教師能貫通知識體系，深入數學本質的教學，努力讓學生的思維沉下來，提高對課程資源認識的廣度和深度，以達到對數學的高水平理解。

（過曉偉，無錫市云林實驗小學，214000）

責任編輯：趙赟endprint