吳　穹，吳　振

(沈陽航空航天大學 遼寧省飛行器復合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點實驗室，遼寧 沈陽 110136)

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Reddy修正偶應力模型及層合板熱尺度效應

吳穹，吳振

(沈陽航空航天大學 遼寧省飛行器復合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點實驗室，遼寧 沈陽 110136)

摘要：引入纖維和基體材料的材料尺度參數(shù)，提出了適于分析復合材料層合板熱尺度效應的Reddy修正偶應力理論。此理論中將轉(zhuǎn)角矢量看作獨立變量，曲率張量不再對稱，但可以退化為各向同性的修正偶應力。使用Reddy位移場模式，考慮溫度在x軸、y軸方向引起的熱應變，分析了簡支板的熱彎曲問題。數(shù)值結(jié)果表明，對于細觀復合材料層合板熱彎曲問題，材料的尺度效應不能忽略。

關鍵詞：Reddy型修正偶應力理論；復合材料層合板；熱彎曲；尺度效應

實驗表明[1-2]，當金屬材料尺寸進入微米量級時，材料的強度和剛度有所增強，這種現(xiàn)象被稱為尺度效應。經(jīng)典連續(xù)體力學無法解釋該現(xiàn)象，為了分析尺度效應，各國學者相繼發(fā)展了偶應力理論及應變梯度理論。上世紀60年代，Mindlin等人[3-5]提出了簡化的偶應力模型。2002年，Yang等[6]重新定義曲率張量，引入偶應力力矩平衡方程，使得應變張量與應力張量對稱，因而本構(gòu)關系中只需引入一個材料尺度參數(shù)。2006年Park和Gao[7]研究了修正偶應力的Bernoulli-Euler梁模型。2008年Ma等[8]建立了Timoshenko梁模型。Tsiatas[9]在2009年建立了偶應力Kirchhoff板模型。2011年，Ma等[10]基于修正偶應力建立了Mindlin板模型。2012年，Alireza Nateghi等[11]研究了基于修正偶應力的功能梯度梁的熱尺度效應。同年，M.Simsek等[12]對功能梯度Timoshenko梁作了靜彎曲分析。2012年，Asari等[13]基于修正偶應力對功能梯度Timoshenko梁做了熱后屈曲的尺度效應分析。2012年，陳萬吉等[14]定義新的曲率張量并建立復合材料層合板的本構(gòu)關系，認為新的曲率張量不再對稱，但可以與各向同性的曲率張量等價；建立了Reddy層合梁模型[15]，根據(jù)新修正偶應力分析復合材料層合梁的自由振動問題[16]；2013年基于該理論用整體局部位移模式建立層合梁模型[17]。綜上所述，各國學者基于修正偶應力分析了復合材料彎曲和自由振動問題，然而沒有涉及復合材料層合板熱尺度效應。基于此，本文推導了考慮熱應變的修正偶應力理論，并基于修正偶應力分析復合材料層合板熱尺度效應。

2理論模型

2.1位移模型

為了得到Reddy理論，首先使用如下初始位移場：

u(x,y,z)=u0(x,y)+zu1(x,y)+z2u2(x,y)+z3u3(x,y)

v(x,y,z)=v0(x,y)+zv1(x,y)+z2v2(x,y)+z3v3(x,y)

v(x,y,z)=w0(x,y)

(1)

其中，u0、v0和w0表示中面上點(x,y)的位移；u1和v1表示中面法線關于y軸和x軸的轉(zhuǎn)角；u2、u3、v2和v3是沿z坐標的三次展開項。

通過使用橫向剪切自由表面條件，Reddy理論最終位移場可寫為

w(x,y,z)=w0(x,y)

(2)

溫度場如下：

ΔT=f(z)T(x,y)

(3)

其中，f(z)為沿厚度方向分布的溫度構(gòu)形，T(x,y)為面內(nèi)溫度分布函數(shù)。

ωz=0

(4)

2.2新修正偶應力及本構(gòu)關系

Yang等[6]提出的修正偶應力中，應變張量和曲率張量是對稱的，定義如下：

(5)

應力張量和偶應力張量定義如下：

(6)

(7)

(8)

其中，

mxymyx}T

(9)

(10)

={εx-αxΔTεy-αyΔTγxyγxzγyzχx

χyxxyχyx}T

(11)

αx，αy分別表示沿x軸方向和y軸方向的熱膨脹系數(shù)；

(12)

經(jīng)坐標變換，第k層在整體坐標中的應力應變關系

(13)

其中，Qk=TkTCkTk,Tk為坐標轉(zhuǎn)換矩陣。

(14)

m=cosφk,n=sinφk。

2.3平衡方程

根據(jù)最小勢能原理，可得到平衡方程。最小勢能原理可寫為，

δπp=δU-δW=0

(15)

(16)

δW=∫Ωf δudv+∫?ΩV δuds

(17)

其中，δπp表示彈性體總的勢能，δU和δW分別表示彈性體應變能和外力所做的功，f為層合板上的體力，V為在板邊界處的邊界力。只考慮受熱載荷的影響，外載荷不再考慮，故f=V=0。

把公式(2)帶入幾何方程，得到宏觀部分的應變，同時將公式(4)帶入(5)中得到偶應力部分應變。最終都帶入式子(16)中，利用變分得到平衡方程，如下：

(18)

對四邊簡支板，位移邊界條件

在x=0和x=L處，v0=0，v1=0，w0=0

在y=0和y=L處，u0=0，u1=0，w0=0

2.4解析解

在橫截面(y,z)纖維斷面與基體相互作用，纖維相當于是夾雜，其材料尺度參數(shù)遠大于在截面(x,z)中以長纖維和基體作為夾雜的材料尺度參數(shù)[14]，即b?m。因此對于復合材料層合板，可以假設m=0，以簡化剛度矩陣。

由式子(12)和(14)，得到整體坐標中的剛度系數(shù)，如下：

(19)

為滿足四邊簡支方板的邊界條件，根據(jù)Navier方法，位移u0、u1、v0、v1和w0都以含未知系數(shù)的雙傅里葉級數(shù)展開。各位移函數(shù)表示如下：

(20)

將式子(19)中的剛度系數(shù)歸到式子(13)的矩陣Qk中，然后將式子(13)、(20)帶入到(18)中，最終可得到式子(20)中各項系數(shù)。

3算例

為了驗證微觀尺度下復合材料層合板的尺度效應，采用[0°/90°/0°]正交鋪設的四邊簡支方板。長度L=200μm,板厚h=25μm，材料的屬性參數(shù)：E1/E2=15,E2=10GPa，G12/E2=0.5,G22/E2=0.335 6,υ12=0.3,υ22=0.49,αx=0.015×10-6/K,αy=1×10-6/K。

取在截面(x=L/2，y=L/2)的主應力，應力表達式如下：

圖1　在板(x=L/2,y=L/2)處的主應力δx和δy

圖2給出了橫向位移分布。在圖中可以看到偶應力理論下板的變形要小于經(jīng)典彈性力學中板的變形。

圖3分別給出了層合板在x=L/2和y=L/2處板的轉(zhuǎn)角。在圖中可以看到隨著尺度參數(shù)的增大板的轉(zhuǎn)角在減小(逆時針為正)。

數(shù)值結(jié)果表明，復合材料進入細觀尺度時，材料的尺度效應不能忽略。

圖2　橫向位移(y=L/2)

圖3　轉(zhuǎn)角(x=L/2、y=L/2)

4總結(jié)

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(責任編輯：宋麗萍英文審校：隋華)

Thermal size effect of laminated composite plate based on Reddy-type modified couple stress theory

WU Qiong,WU Zhen

(Key Laboratory of Liaoning Province for Composite Structural Analysis of Aircraft and Simulation,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

Abstract：By introducing material length scale parameter of fiber and matrix,a Reddy-type modified couple stress theory is developed to analyze the thermal size effect of composite laminated plate.In the proposed model,the rotation vectors are considered as independent variables,and curvature tensor is asymmetric.However,this model is still adaptable to the isotropic material.By considering thermal strain induced by temperature in X-axis and Y-axis,the thermal bending of simply-supported plate is analyzed by using the Reddy-type modified couple stress model.Numerical results show that the size effect of material has to be considered for the thermal bending of laminated composite micro-plate.

Key words：Reddy-type modified couple stress theory;laminated composite plate;thermal bending;size effect

doi:10.3969/j.issn.2095-1248.2016.01.003

中圖分類號：TP391.7; V261.2

文獻標志碼：A

文章編號：2095-1248(2016)01-0013-05

作者簡介：吳穹(1990-)，男，遼寧沈陽人，碩士研究生，主要研究方向：多層度層合板熱分析，E-mail:705180054@qq.com；吳振(1977-)男，黑龍江佳木斯人，博士，教授，博士生導師，主要研究方向：復合材料力學研究，E-mail: wuzhenhk@163.com。

基金項目：國家自然科學基金(項目編號：11272217)

收稿日期：2015-03-10