羅增儒

?

數(shù)學解題的認識與實踐（上）

羅增儒

羅增儒，男，漢族，1945年1月生，廣東省惠州市人，陜西師范大學教授、博導。曾先后擔任陜西師范大學數(shù)學教育研究所所長、教務處處長等職務。中國數(shù)學奧林匹克首批高級教練。從事數(shù)學教學論、數(shù)學競賽論、數(shù)學解題論的教學與研究。獲國家級優(yōu)秀教學成果二等獎1次，省級優(yōu)秀教學成果獎4次，1994年10月起享受國務院政府特殊津貼，1999年獲曾憲梓教育基金會全國高師優(yōu)秀教師獎。

1.數(shù)學解題的認識

對于數(shù)學教師來說，再也沒有比“數(shù)學解題”更熟悉的專業(yè)詞匯了，再也沒有比“解題教學”更平常的專業(yè)活動了。但是，什么叫題、什么叫解題、什么叫解題教學，我們都能說清楚、講明白嗎？說來見笑，我確實想了好多年都沒有想清楚，確實曾經(jīng)擔憂會面臨這樣的尷尬：解了一輩子題，卻說不清“什么叫解題”，教了一輩子書，卻說不清“什么叫解題教學”。

1-1什么叫數(shù)學題

（1）界定。數(shù)學題（簡稱題）是指數(shù)學上要求回答或解釋的事情，需要研究或解決的矛盾。

（2）解釋。對數(shù)學家而言，僅當事情的真假未被判定時才成為問題，如哥德巴赫猜想，而一旦解決了就稱為定理（公式），不成為問題了。這更多地體現(xiàn)了需要研究或解決的矛盾。數(shù)學教學中則把結論已知的事情也稱為題，因為它對學生而言，與數(shù)學家所面臨的問題相比，情景是相似的，性質是相同的。這時候的數(shù)學題是指為了實現(xiàn)教學目標而要求師生們解答的事情，重點在要求回答或解釋上。

（3）基本要素。數(shù)學題的標準形式包括兩個最基本的要素：①條件（已知，前提），②結論（未知，求解，求證，求作等）。條件是問題解決的起點，結論是問題解決的目標。問題的關鍵在于，達到目標對問題解決者來說存在一定的障礙。因此，問題具有目標性、障礙性和相對性，問題的實質是：從初始狀態(tài)到目標狀態(tài)之間的障礙，由現(xiàn)有水平到客觀需要之間的矛盾（如圖1）。

圖1

（4）特別提示。有人認為，概念課、定理課的前半部分是講概念、證定理，后半部分做的才是題。其實，如何構建概念、如何發(fā)現(xiàn)和論證定理也是題。

示例1.如何發(fā)現(xiàn)和論證定理是一道題。二次方程根與系數(shù)的關系，原先的教材是作為定理來學習的（韋達定理），課改被刪去后，有的新教材將其編作課后習題，修訂課標時又恢復了定理的身份。在這里，題與定理、定理與題并無嚴格的界線。

示例2.如何構建概念是一道題。初一的學生既學了有理數(shù)也學了直線，感覺兩者沒有什么共同的地方。如何構建有理數(shù)（無窮數(shù)集）與直線（無窮點集）的對應，從而建立起數(shù)軸的概念？這就是一道題。然后，根據(jù)有理數(shù)的結構（負有理數(shù)、0、正有理數(shù)），首先改造直線（主要是加上三要素：原點、單位和方向），再把0放在原點上，把正有理數(shù)放在直線的正方向上，把負有理數(shù)放在直線的負方向上（其中，整數(shù)放在格點上，兩整數(shù)之間的分數(shù)放在相應兩格點之間），建立起數(shù)軸，就是解了一道數(shù)學題。學生在這個數(shù)學活動中，學到了數(shù)軸的概念，感悟了集合與對應的思想，體驗了數(shù)形結合的思想，經(jīng)歷了數(shù)學化的提煉過程，就是在學習解題，就是解了一道數(shù)學題，就是在通過學習數(shù)學去學會思維。

在這里，如何構建概念是一道題，構建出概念就是解了一道題，并且構建的方法可以不唯一，而怎樣進行概念教學的方法其實就是一個宏觀解題程序。

示例3.感悟公理本質思想也是題——體驗兩點確定一條直線。

第一、活動體驗

活動1.請一個學生（甲）站起來，然后請其他學生自己確定，凡是能與甲同學共線的就站起來。（可以提問：你是怎么確定你該不該站起來的？你和他們不在一條直線上，你為什么站起來？）

小結：過一點的直線是不唯一的，所以每個同學都可以與甲同學共線。（參見圖2，經(jīng)過一點有無數(shù)條直線）

活動2.請兩個學生站起來，然后請其他學生自己確定，凡是能與這兩個同學共線的就站起來。（可以提問：你是怎么確定你該不該站起來的？什么是直？）

小結：兩點確定一條直線，所以有且只有一斜排學生與這兩個同學共線。（參見圖3，經(jīng)過兩點有且只有一條直線）

活動3.請三個學生站起來，然后請其他學生自己確定，凡是能與這三個同學共線的就站起來。

（1）當三個學生共線時（圖3）；

（2）當三個學生不共線時（圖4）。

小結：經(jīng)過三點可能有一條直線，也可能沒有直線（圖4中，三點不共線時不能確定直線，而不是“不共線的三點確定三條直線”）。

第二、數(shù)學感悟感悟1.由上述活動，你能感悟到什么數(shù)學結論？總結（直線公理）：經(jīng)過兩點有且只有一條直線（兩點確定一條直線）。

感悟2.由上述活動和直線公理，你能感悟到直線有些什么樣的本質特征？

直線的本質特征有：由無窮個點組成的一個連續(xù)圖形，兩端可以無窮延伸，很直很直等，但這些都難以嚴格定義。描述它們的一個辦法是用公理來刻畫，本節(jié)課中的直線公理：經(jīng)過兩點有且只有一條直線（兩點確定一條直線），正是直線本質特征的一個刻畫。試想，如果直線不是很直很直的，那么經(jīng)過兩點就可以連出很多的曲線。同樣，如果直線不是兩端可以無窮延伸的，那么經(jīng)過兩點的線段就可以延伸出長短不一的很多的直線來。所以，經(jīng)過兩點有且只有一條直線表明：直線是由無窮多個點組成的一個連續(xù)圖形，兩端可以無窮延伸，很直很直（應該能用公理解釋直線，也能用直線解釋公理）。

圖2

圖3

圖4

示例4.如何尋找直角三角形的代數(shù)表示就是一道題，找出勾股定理及其逆定理就是解了一道題。從中可以增生直角三角形的運算功能（能根據(jù)直角三角形的部分元素計算出直角三角形的所有元素），可以感悟數(shù)形結合的數(shù)學思想、函數(shù)與方程的數(shù)學思想、轉換與化歸的數(shù)學思想、不變量的思想、分解與組合的數(shù)學思想、特殊與一般的數(shù)學思想等。這一過程，就是在學習解題，就是在通過學習數(shù)學去學會思維。這時，幾何上的直角三角形與代數(shù)上的等式也合二為一了。

下面的設計沒有體現(xiàn)這些思想：測量你的兩塊直角三角尺的三邊長度，并將各邊的長度填入下表。根據(jù)已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)，請猜想三邊的長度之間的關系。

三角尺　直角邊a直角邊b　斜邊c　關系

這個活動的設計值得商榷，一塊任意的三角板，它的三邊長很可能并非整數(shù)。學生猜想邊長分別為3、4、5或者5、12、13的直角三角形三邊的關系就已經(jīng)不是件容易的事，比如，學生可以由32=4+5和52=12+13，猜想a2=b+c（還可能有的學生得出a整除b+c），更何況要猜想三個非整數(shù)之間的平方關系。這樣處理，容易導致學生出現(xiàn)盲目的猜想和虛假的探究，在這盲目和虛假中知識夾生、變相填鴨和浪費時間。（注意，由a2=c2-b2=（c+b）（c-b），取c-b=1可知，有無窮個直角三角形，其三邊滿足a2=b+c）

1-2什么叫數(shù)學解題

（1）界定。解題就是解決問題，即求出數(shù)學題的答案。這個答案在數(shù)學上也叫做解。所以，解題就是找出題的解的活動。小至一個學生算出作業(yè)的答案，一個教師講完概念的構建與定理的證明，大至一個數(shù)學課題得出肯定或否定的結論，一個數(shù)學技術應用于實際、構建出適當?shù)哪Ｐ偷龋冀凶鼋忸}。（如上所說，我們認為“概念的構建、定理的發(fā)現(xiàn)與證明”等都是在解題）

（2）解釋。常規(guī)的數(shù)學題包括兩個要素：條件與結論。解題就是溝通條件與結論之間的聯(lián)系（論證），又包括解和解題依據(jù)（論據(jù)），因此解題一共有4個要素：①條件，②結論，③解（溝通條件與結論之間的聯(lián)系），④解題依據(jù)。

1-3數(shù)學解題教學

作為數(shù)學教育的解題與數(shù)學家的解題是既有聯(lián)系又有區(qū)別的。為了更好地理解這里面的關系，我們首先來說明數(shù)學家解題與教學解題的不同，然后指出解題教學是解題活動的教學。

（1）數(shù)學解題教學的初步認識。對職業(yè)數(shù)學工作者來說，題是研究的對象，解是研究的目標，解題是其數(shù)學活動的基本形式和主要內(nèi)容，解題也是他的存在目的和興奮中心。而對數(shù)學教學而言，并不是要把所有的學生都培養(yǎng)成職業(yè)數(shù)學工作者，更多的人是通過數(shù)學內(nèi)容的學習、數(shù)學推理的訓練、數(shù)學精神的陶冶、數(shù)學文化的哺育，開發(fā)智力、促進發(fā)展（通過數(shù)學學會思維）。因而數(shù)學教育中的數(shù)學解題不僅具有數(shù)學性質（與職業(yè)數(shù)學工作者有聯(lián)系），還具有教育性質（與職業(yè)數(shù)學工作者有區(qū)別）。

①數(shù)學家解客觀上結論未知的題，解題教學解客觀上結論已知而學生主觀上未知的題。

②數(shù)學家解題是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，解題教學是師生再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造的過程。數(shù)學家創(chuàng)造數(shù)學概念，數(shù)學教師創(chuàng)造對概念的數(shù)學理解。

③數(shù)學家把題作為研究的對象，把解作為研究的目標，而解題教學不僅把題作為研究的對象，把解作為研究的目標，還把解題活動作為對象，把學會數(shù)學地思維、促進人的發(fā)展作為目標。

所以，解題教學的基本含義是，通過典型數(shù)學題的學習，探究數(shù)學問題解決的基本規(guī)律，學會像數(shù)學家那樣數(shù)學地思維。

在數(shù)學解題研究中，教師研究的內(nèi)容和方法（包括一題多解）不應該受到任何人為的限制，但教師研究的成果哪些能用于課堂、如何進入課堂等都要受到課程標準、學生水平等因素的制約。不能懂什么就教什么，也不能教什么就懂什么，應該是懂什么遠大于教什么。

（2）解題教學是解題活動的教學。這至少有三個方面的含義。

①解題活動是一種思維活動。思維活動既有過程又有結果，思路探求主要反映思維活動的過程，解題答案主要反映思維活動的結果（同時也是認識深層結構的中間過程），而獲得答案的實質是發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的過程。

②解題教學不僅要教解題活動的結果（答案），還要呈現(xiàn)解題活動的必要過程——暴露數(shù)學解題的思維活動。沒有過程的結果是現(xiàn)成事實的外在灌輸，沒有結果的過程是學習時間的奢侈消費。解題教學不僅要獲得答案，還要從獲得答案的過程中學會怎樣解題，把過程與結果結合起來。

③暴露數(shù)學解題的思維活動有兩個關鍵過程。其一是從沒有思路到獲得初步思路的認知過程（我們叫做第一過程的暴露），其二是對初步思路反思的元認知過程（我們叫做第二過程的暴露）。解題教學不僅要有第一過程的暴露（已引起重視），還要有第二過程的暴露（想知道很多又有很多不知道）。

但是，數(shù)學解題的思維過程到底是什么樣的呢？目前還沒有統(tǒng)一的理論認識，因而也就沒有明確的實踐指南，這直接導致了三個后果：

●很多愿意暴露數(shù)學解題思維過程的老師常常面臨不知暴露什么或不知如何暴露的尷尬。

●更多教師的解題教學停留在題目這樣解的層面，更多學生的解題學習停留在記憶模仿、變式練習的階段（缺少自發(fā)領悟、自覺分析）。我們說，沒有理解的練習是傻練，會越練越傻，沒有練習的理解是空想，會越想越空。

●以解題為載體的數(shù)學考試常有大量不及格的學生（產(chǎn)生差生，或稱為慢生、后進生、困難生、潛能生、希望生），數(shù)學教師在中學各門課程中付出最多而收效最低。

可喜的是，人們已經(jīng)對數(shù)學解題的思維過程提出了很多看法（如解題推理論、解題化歸論、解題差異論、解題信息論、解題系統(tǒng)論、解題坐標系等），百花齊放的解題觀點其實就是人們對數(shù)學解題思維過程的努力描述。

1-4數(shù)學解題在數(shù)學教育中的重要性

解題能力是中學數(shù)學教師的一個核心競爭力，數(shù)學解題是教師發(fā)展平臺的一個專業(yè)制高點。中學教師要提高核心競爭力，占領專業(yè)制高點，就要成為解題專家。解題在數(shù)學學習中的重要性至少有以下三個方面。

（1）數(shù)學解題是數(shù)學學習中不可或缺的核心內(nèi)容，數(shù)學解題的思維實質是發(fā)現(xiàn)數(shù)學。

●解題是一種認識活動，是對概念、定理的繼續(xù)學習，是對方法的繼續(xù)熟練，是對思想的繼續(xù)領悟，而不僅僅是規(guī)則的簡單重復或操作的生硬執(zhí)行。

●尋找解題思路的過程就是尋找條件知識與結論知識之間邏輯聯(lián)系或轉化軌跡的過程。在這個過程中，我們激活知識、檢索知識、提取知識、組織知識，使解題與發(fā)展同行。

●當解題由一個步驟推進到另一個步驟時，其實就是知識點之間的聯(lián)系與生成；當解題由一個關系結構對應到另一個關系結構時（比如由形到數(shù)或由數(shù)到形），其實就是關系結構之間的聯(lián)系與生成；當解題并列著多個解法時，其實就意味著產(chǎn)生不同解法的知識點之間存在邏輯聯(lián)系或對應關系。

●如果說數(shù)學教育包含數(shù)學與教育的話，那么數(shù)學學習中真正發(fā)現(xiàn)數(shù)學的地方都一無例外地充滿著數(shù)學解題活動。如上所說，概念的抽象概括、定理的發(fā)現(xiàn)證明、習題的探究解答、知識的實際應用等都是在解題。尚未出現(xiàn)解題的數(shù)學學習總給人一種尚未深入到實質或尚未進入到高潮的感覺：人們會問，這是數(shù)學嗎？這是在學數(shù)學嗎？再說了，我們的青少年需要那種缺少數(shù)學概念、缺少數(shù)學定理、缺少數(shù)學習題、缺少數(shù)學應用的數(shù)學嗎？

上述幾個示例已經(jīng)表明，把解題僅僅理解為形式化習題的推理演算，既縮小了數(shù)學問題的外延，又縮小了數(shù)學解題的外延。這是一種認識的自我封閉和解題功能的自我削弱。

（2）數(shù)學解題是數(shù)學學習中不可替代的實質性活動，解題活動的核心價值是掌握數(shù)學。

●如果說學生的數(shù)學活動可以有多種形式的話，那么解題就是一種最貼近數(shù)學思維的實質性活動。概念的生成、定理的理解、技能的熟練、方法的掌握、能力的發(fā)展、數(shù)學語言的熟悉、數(shù)學思想的領悟、數(shù)學觀點的培養(yǎng)、數(shù)學意識的形成、數(shù)學文化的積淀等都離不開解題實踐活動。沒有勤奮而得法的解題訓練談不上掌握數(shù)學！解題活動是掌握數(shù)學、學會數(shù)學地思維的關鍵途徑。

●解題不等于數(shù)學，數(shù)學不僅僅是解題。我們還應該有解題之外的更多的數(shù)學活動，甚至還應該追求更遠大、更人文的數(shù)學目標。然而，誰要是由此隱喻：疏于解題也能學好數(shù)學、不深入數(shù)學也能領會數(shù)學精神的話，那誰就是在誤解數(shù)學、離開數(shù)學，始作俑者是給數(shù)學來了個釜底抽薪。

（3）數(shù)學解題是能力評價時不可削弱的主體構成，解題測試的基本理念是呈現(xiàn)數(shù)學。

●通過解題水平來看數(shù)學思維水平由來已久，盡管不應視為唯一的方法,也是當前用得最多、操作最方便、公眾認可度最高的重要方法。課堂內(nèi)容的掌握情況主要通過包括解題在內(nèi)的練習、作業(yè)和考試來檢測，學業(yè)水平、升學選拔、能力競賽等基本上都通過解題來評定。測試量表、對話訪談、論文答辯等評價形式亦離不開解題。大量的事實表明（包括中考），解題水平與數(shù)學思維水平之間存在中度正相關。

●如果說當前的很多解題測試還存在重知識、輕能力弊端的話，那也不是因為用了解題測試這種方式，而是如何用好這種方式的問題。數(shù)學工作者中有解題能力強而數(shù)學成就不大的，但沒有數(shù)學成就大而解題能力不強的，這也主要不是解題測試的毛病，而是：{數(shù)學成就大}只能是{解題能力強}的子集。

（待續(xù)）

思想