崔心瀚，馬立元，魏忠林，李世龍，王天輝

（1.軍械工程學(xué)院四系，河北石家莊050003；2.白城常規(guī)兵器試驗中心，吉林白城137001）

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EMD改進(jìn)方法研究及其在燃?xì)廨啓C工頻特征提取中的應(yīng)用

崔心瀚1，2，馬立元1，魏忠林1，李世龍1，王天輝1

（1.軍械工程學(xué)院四系，河北石家莊050003；2.白城常規(guī)兵器試驗中心，吉林白城137001）

摘要：為抑制經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（empirical mode decomposition，EMD）處理過程中的端點效應(yīng)，在整理和研究現(xiàn)有方法的基礎(chǔ)上，提出一種鏡像延拓和極值平移相結(jié)合的端點處理方法，在最大程度地融合兩種傳統(tǒng)方法優(yōu)點的同時盡可能地還原信號邊界特征。該方法通過構(gòu)造特征平行四邊形使延拓極值處于理想?yún)^(qū)域，從而避免三次樣條差值過程中包絡(luò)線與信號交叉的產(chǎn)生，并引入Blackman窗函數(shù)對延拓信號進(jìn)行邊界處理，進(jìn)而有效地控制延拓誤差影響。經(jīng)過仿真信號驗證與實測信號分析，對比鏡像延拓、極值平移與加窗邊界處理方法的端點抑制效果，證明該改進(jìn)方法能有效地抑制分解過程中出現(xiàn)的端點效應(yīng)，并能在高頻噪聲干擾下較完整地提取低頻信息，為燃?xì)廨啓C工頻特征的獲取提供可靠的保證。

關(guān)鍵詞：經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解；端點效應(yīng)；鏡像延拓；極值平移；Blackman窗函數(shù)

0　引言

EMD分解是一種用于處理非平穩(wěn)信號的分析方法，相比于短時傅里葉變換、小波變換等傳統(tǒng)信號處理方法，由于自身超強的自適應(yīng)性，使得EMD分解在處理信號時速度更快、效率更高。更有實際意義的一點是分解得到的模態(tài)分量所對應(yīng)的瞬時頻率具有真實物理意義，這使得EMD分解[1]在結(jié)構(gòu)分析[2]、地震預(yù)測[3]、機械故障診斷[4]等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。然而在EMD分解過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)端點效應(yīng)問題，導(dǎo)致分解得到的模態(tài)分量失去其原有的物理意義。因此，為了更好地開展經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法的應(yīng)用，端點效應(yīng)問題必須得到有效抑制。國內(nèi)外學(xué)者對端點效應(yīng)問題已經(jīng)做了大量研究，主要手段包括鏡像延拓[5]、極值平移[6]，波形延拓[7]以及窗函數(shù)處理[8]等，在一定程度上解決了端點發(fā)散對EMD分解所帶來的影響，但仍待改進(jìn)。

本文在研究現(xiàn)有理論方法的基礎(chǔ)上，提出一種鏡像延拓與極值平移相結(jié)合對信號邊界極值進(jìn)行延拓的方法，并引入Blackman窗函數(shù)對延拓信號進(jìn)行邊界處理，從而控制延拓誤差所帶來的影響，最終實現(xiàn)EMD分解過程中端點效應(yīng)的有效抑制。

1　EMD端點效應(yīng)抑制方法

1.1基于鏡像延拓和極值平移的極值延拓方法

傳統(tǒng)的鏡像延拓方法研究重點在于通過鏡像形成封閉曲線從而在根本上避免端點效應(yīng)；傳統(tǒng)的極值平移方法研究重點在于將延拓極值大小控制在特定范圍內(nèi)，但兩者的不足在于沒有更多地考慮邊界特征。針對以上情況，在充分結(jié)合兩種經(jīng)典方法優(yōu)點的基礎(chǔ)之上，考慮最大程度地還原信號邊界特征，提出一種基于鏡像延拓和極值平移的極值延拓方法。

本文方法根據(jù)信號起點和終點處的3個極值點作為參考進(jìn)行擴展，首先尋找距離信號端點最近的一對極大值點和極小值點，并連接兩點作為平行四邊形的一條對邊，然后尋找距離這一對極大值點和極小值點最近的極值點作為平行四邊形的另一條對邊起點，通過幾何關(guān)系構(gòu)造特征平行四邊形最終確定第1個延拓極值點的位置，在延拓的第1個極值點處設(shè)置鏡面，利用鏡像延拓向外延拓出另外3個極值點。信號X（t）起點和終點對應(yīng)的時間和幅值分別為t1，x1和tn，xn，其中包含P個極大值點和Q個極小值點；極大值點表示為U1，U2，…，UP，對應(yīng)的時間和數(shù)值表示為tU1，tU2，…，tUP和xU1，xU2，…xUP；極小值點表示為L1，L2，…，LQ，對應(yīng)的時間和數(shù)值表示為tL1，tL2，…，tLQ和xL1，xL2，…，xLQ。

經(jīng)過臨近3個極值點平行四邊形延拓的極值點時間和幅值如下：

延拓的第一極值點為極大值時，通過鏡像得到的另外3個極值點時間和幅值為

延拓的第一極值點為極小值時，通過鏡像得到的另外3個極值點時間和幅值為

右端點延拓情況與左端點類似。然而在該改進(jìn)方法應(yīng)用過程中，有兩種特殊情況需要考慮：信號端點的數(shù)值比通過特征四邊形構(gòu)造得到的極小值點小或極大值點大；經(jīng)過構(gòu)造特征四邊形延拓的極值點落入信號端點內(nèi)。

針對上述特殊情況，經(jīng)過特征四邊形構(gòu)造得到的極值點添加后明顯與實際極值不相符。在利用三次樣條差值形成上下包絡(luò)線時會與原始信號產(chǎn)生交叉，如圖1所示，其中虛線表示信號上包絡(luò)線，左端發(fā)生十分明顯的交叉，這會導(dǎo)致包絡(luò)均值出現(xiàn)較大誤差，從而直接導(dǎo)致端點效應(yīng)的產(chǎn)生。為了防止這兩種情況的發(fā)生，把延拓的第一極值點控制在理想范圍內(nèi)，以左端點為例，進(jìn)行如下處理：

新添加的另外3個極值點對應(yīng)時間和幅值計算方法同式（2）和式（3），右端點與左端點原理相同，這里不再贅述。經(jīng)過處理后的信號包絡(luò)局部放大如圖2所示，包絡(luò)線與信號沒有交叉，并且包絡(luò)線走向更好地表達(dá)了信號邊界特征。

圖1　改進(jìn)前信號包絡(luò)線局部放大圖

圖2　改進(jìn)后信號包絡(luò)線局部放大圖

1.2基于Blackman窗函數(shù)的邊界處理方法

信號延拓方法在一定程度上減小了端點效應(yīng)對EMD分解的影響，然而延拓部分雖相似于實際信號，但與真實信號邊界趨勢之間仍存在固有偏差，這就導(dǎo)致端點延拓不能從根本上消除端點效應(yīng)。特別是處理信號低頻成分時，這種影響就顯得十分突出。針對這種情況，為了更進(jìn)一步控制端點效應(yīng)向內(nèi)“污染”所帶來的影響，本文采用延拓數(shù)據(jù)加窗處理的方式對延拓數(shù)據(jù)進(jìn)行幅值壓縮，從而最大程度減小信號延拓方法產(chǎn)生的端點誤差，并最終達(dá)到抑制端點效應(yīng)的目的。

經(jīng)過比較和分析，考慮到邊界過渡平穩(wěn)，信號頻帶保留等因素[9]，最終選擇Blackman窗函數(shù)作為延拓數(shù)據(jù)的處理窗，窗函數(shù)表達(dá)式如下式所示：

式中：T——延拓后信號的長度；

a，b∈（0，0.5）——左右端點延拓數(shù)據(jù)長度占延拓后信號數(shù)據(jù)總長度的比值。

以a=0.1，b=0.1為例，Blackman窗函數(shù)形狀如圖3所示，Blackman窗函數(shù)能夠?qū)⒀油卣`差控制在延拓信號兩端，使延拓誤差以較慢的速度向信號內(nèi)部污染，從而最大程度地保證信號低頻成分的正確分解。對于待分解信號x（t），首先利用基于鏡像延拓和極值平移的信號延拓方法進(jìn)行極值延拓，然后結(jié)合Blackman窗函數(shù)對延拓信號x＇（t）進(jìn)行邊界處理，最后對加窗信號y（t）進(jìn)行EMD分解，并截掉IMF兩端延拓部分。該方法在還原信號邊界特征的基礎(chǔ)之上，最大程度減小延拓信號誤差，最終完成EMD端點效應(yīng)的抑制。

圖3　Blackman窗函數(shù)

2　仿真驗證

由于EMD分解的最終結(jié)果為基于正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的調(diào)幅或調(diào)頻信號，現(xiàn)以由3個正余弦組成的仿真信號X（t）為例，進(jìn)行研究說明。

為了驗證本文提出改進(jìn)方法的有效性，以經(jīng)典EMD分解作為參照，并選擇鏡像延拓方法、極值平移方法與加窗邊界處理方法作為對比，分別利用以上方法對仿真信號進(jìn)行處理；比較以上方法與所提改進(jìn)方法在抑制端點效應(yīng)方面效果，從而證明本文提出方法在端點效應(yīng)抑制方面的優(yōu)勢。由于篇幅所限，除經(jīng)典分解列出全部分量外，其余4種處理方法只列出與原信號相關(guān)性較大的前幾階分量。

從圖4經(jīng)典EMD分解結(jié)果可知，樣條差值過程產(chǎn)生的擬合誤差從一階分量開始傳播，由兩端點逐漸向內(nèi)傳播，最終嚴(yán)重的導(dǎo)致低頻分量失去實際意義。圖5中鏡像延拓處理能夠分解出仿真信號各子成分，但效果不是很理想，由于沒有過多考慮信號端點的特征導(dǎo)致信號兩端出現(xiàn)虛假信息，并且隨著分解的深入低頻部分污染加重；圖6極值平移處理過分保留局部特性，而忽略了端點趨勢的變化，仍出現(xiàn)了一定程度的端點效應(yīng)，使得分解出來的低頻部分出現(xiàn)失真；圖7加窗處理以犧牲兩端邊界信息為代價獲取信號低頻特征信息，雖然在某種程度上抑制了端點效應(yīng)，但失去的邊界信息對于某些信號特征的提取卻是致命的。相比于3種傳統(tǒng)方法的分解結(jié)果，圖8改進(jìn)方法的分解結(jié)果在抑制端點效應(yīng)上則有了較大的改善，無論是在高頻還是低頻分量，端點效應(yīng)都得到了很好的控制。因此文中提出的有效地結(jié)合鏡像延拓和極值平移的特點進(jìn)行端點延拓，并利用加窗處理延拓邊界信息的方法可以在很大程度上抑制端點效應(yīng)。

為更加直觀地證明該方法抑制端點效應(yīng)的有效性，現(xiàn)引入互相關(guān)系數(shù)的概念。如表1所示，通過互相關(guān)系數(shù)的大小比較可以直觀反映EMD分解得到模態(tài)分量的有效性，進(jìn)而清楚地證明文中提出的改進(jìn)方法在抑制信號端點效應(yīng)方面相比于3種傳統(tǒng)方法的提高。

表1　3種方法分解IMF分量和原始信號子成分的互相關(guān)系數(shù)%

3　實驗分析

為更全面地驗證所提改進(jìn)方法的實用性，結(jié)合燃?xì)廨啓C大修后替換件測試的實際需求，現(xiàn)引入性能試驗穩(wěn)態(tài)加減載過程中實測的齒輪傳動信號，并對其進(jìn)行分析。圖9為減速器機匣采集振動信號的時域波形圖，采集信號對應(yīng)轉(zhuǎn)速范圍1000～2000r/min，采樣頻率為3kHz，齒輪正常工作頻率為74.4 Hz。對實測信號進(jìn)行EMD分解，圖10、圖11分別為端點效應(yīng)抑制前后信號的EMD分解結(jié)果以及Hilbert時頻譜。

圖4　對仿真信號進(jìn)行經(jīng)典EMD分解

圖5　對仿真信號進(jìn)行鏡像延拓處理

圖6　對仿真信號進(jìn)行極值平移處理

圖7　對仿真信號進(jìn)行加窗邊界處理

圖8　本文改進(jìn)方法對仿真信號進(jìn)行EMD分解

圖9　減速器機匣振動信號時域波形圖

圖10　處理前后實測信號EMD分解結(jié)果

圖10中實測信號處理前后都分解出12個IMF分量，由于采集的信號噪聲混雜，這在一定程度上降低了EMD分解的準(zhǔn)確性[9-10]。圖中未經(jīng)處理分解得到的模態(tài)分量從IMF6開始，端點效應(yīng)影響不斷放大，“污染”逐漸深入，低頻特征信息丟失并出現(xiàn)大量虛假成分。而經(jīng)改進(jìn)方法處理之后，在最大限度還原邊界信息的同時，嚴(yán)格控制了延拓誤差對低頻成分的干擾，各低頻分量特征信息保留完整。在Hilbert時頻譜中可以清晰對比出處理前后的效果，圖11（a）中噪聲分量占據(jù)了高頻成分，而低頻部分各成分混雜，并且無法清晰判斷工作頻率；圖11（b）中高、低頻成分區(qū)分明顯，低頻工作頻率表達(dá)清晰，端點效應(yīng)影響得到了較好的控制。去除噪聲干擾重構(gòu)信號，提取低頻工作特征其時頻譜如圖12所示，得到特征信號頻率為74.6Hz，與傳動齒輪正常工作特征頻率一致，證明替換后齒輪能夠滿足正常工作需求的同時，也證明了文中提出改進(jìn)方法的實用性。

圖11　處理前后實測信號Hilbert時頻譜

圖12　去噪后重構(gòu)信號的Hilbert時頻譜

4　結(jié)束語

本文針對EMD分解過程中經(jīng)常出現(xiàn)的端點效應(yīng)問題，在結(jié)合傳統(tǒng)的鏡像延拓方法和極值平移方法基礎(chǔ)上，引入當(dāng)前應(yīng)用較廣的加窗處理思想，提出了一種抑制EMD分解端點效應(yīng)的改進(jìn)方法。該方法首先利用改進(jìn)的鏡像延拓和極值平移方法構(gòu)造特征平行四邊形對信號端點極值進(jìn)行極值延拓；然后采用Blackman窗函數(shù)對延拓信號進(jìn)行邊界處理；最終對窗函數(shù)處理后的信號進(jìn)行EMD分解。在充分還原邊界信息的同時，最大限度地控制了延拓誤差，進(jìn)而達(dá)到抑制EMD分解端點效應(yīng)的目的。通過仿真信號與實測信號的驗證，證明該改進(jìn)方法能有效地抑制分解過程中出現(xiàn)的端點效應(yīng)現(xiàn)象，并且能夠有效提取信號低頻分量，從而為獲取信號特征工頻信息提供了可靠保障。在燃?xì)廨啓C性能試驗工作狀態(tài)測試的過程中，應(yīng)用本文提出的改進(jìn)方法有效地提取出減速器機匣內(nèi)部傳動齒輪的工作頻率，證明該方法能在復(fù)雜非線性信號中獲取準(zhǔn)確的工頻信息，實現(xiàn)了大修后穩(wěn)態(tài)加減載過程燃?xì)廨啓C工作狀態(tài)的有效判斷。

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（編輯：莫婕）

Improved EMD and its applications in gas turbine power frequency extraction

CUI Xinhan1，2，MA Liyuan1，WEI Zhonglin1，LI Shilong1，WANG Tianhui1
（1. The 4th Department，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China；2. Baicheng Ordnance Test Center，Baicheng 137001，China）

Abstract:In order to dispose the end effect during empirical mode decomposition（EMD），there comes the improved EMD. The treatment of end effect decides the extraction of signal timefrequency characteristics. Based on the study of current approaches，an effective method has been proposed in combination with mirror extension and extreme point shifting. The new method comprises the merits of the two traditional approaches and serves as the maximum restoration of signal boundarycharacteristics. Acharacteristics parallelogramhas beenconstructedto circumscribe the prolongation extremum within an ideal region，thus preventing the envelope curve from intersecting with the signal during the process of cubic spline interpolation. Blackman window function has been introduced to dispose the extended signal boundary so as to control the influence of prolongation errors. The simulation test and actual measurement show that the method can effectively restrain end diffusion and completely extract low frequency information under the interference of high-frequency noise，compared to mirror extension，extreme point shifting and windowing boundary treatment.

Keywords:EMD; end effect；mirror extension；extreme point shifting；Blackman window function

作者簡介：崔心瀚（1990-），男，黑龍江佳木斯市人，碩士研究生，專業(yè)方向為裝備狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷研究。

基金項目：軍隊通?？蒲谢穑ㄑb通[2012]80號）

收稿日期：2015-05-18；收到修改稿日期：2015-06-27

doi：10.11857/j.issn.1674-5124.2016.01.024

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1674-5124（2016）01-0107-07