徐　磊，陳曉懷，程銀寶，姜　瑞，王漢斌，程真英

（合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽合肥230009）

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坐標(biāo)測量機(jī)孔徑測量的不確定度評定模型研究

徐磊，陳曉懷，程銀寶，姜瑞，王漢斌，程真英

（合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽合肥230009）

摘要：以坐標(biāo)測量機(jī)測量孔徑為例，闡述測量過程中影響測量結(jié)果的不確定度來源，根據(jù)測量模型建立孔徑測量的GUM法不確定度評定模型；利用對坐標(biāo)測量機(jī)的測量系統(tǒng)量值特性指標(biāo)分析的方法，給出基于量值特性分析法的各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的評定模型。通過對汽車空調(diào)壓縮機(jī)后缸體的孔徑測量，比較兩種方法評定的擴(kuò)展不確定度。實(shí)例分析可以看出：對于坐標(biāo)測量機(jī)復(fù)雜的非線性測量模型，GUM法在計(jì)算靈敏系數(shù)時(shí)，運(yùn)算量較大且獲得的是近似結(jié)果，因此其可操作性不強(qiáng)；量值特性分析法通過對測量系統(tǒng)整體的分析，基于大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對測量結(jié)果進(jìn)行測量不確定度評定，其流程和操作性更為便捷、有效。

關(guān)鍵詞：計(jì)量學(xué)；不確定度評定；孔徑測量；坐標(biāo)測量機(jī)

0　引言

測量不確定度是表征賦予被測量值分散性的非負(fù)參數(shù)。一個(gè)完整的，有意義的測量結(jié)果應(yīng)包含被測量值的估計(jì)與分散性參數(shù)兩個(gè)部分[1]。測量結(jié)果的可用性很大程度上取決于其測量不確定度的大小。隨著科技的快速發(fā)展，為了滿足更高的工業(yè)要求，測量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性與可靠性也就愈加重要，而提高精密測量的準(zhǔn)確度，則需多角度分析影響測量結(jié)果的因素，采用正確的評定方法對測量不確定度進(jìn)行評價(jià)[2]，從而量化各因素對測量結(jié)果的影響，為提高精密測量的準(zhǔn)確度提供方向。

三坐標(biāo)測量機(jī)（coordinate measuring machine，CMM）是一種高效、萬能的精密測量儀器，主要用于工件尺寸、形狀和位置等幾何量參數(shù)的測量，在現(xiàn)代制造工業(yè)領(lǐng)域和科學(xué)研究中的應(yīng)用極為廣泛。由于CMM是極其復(fù)雜的幾何量測量儀器，與單一測量對象的比較型測量儀相比，針對CMM進(jìn)行面向任務(wù)的測量不確定度評定異常困難。不僅因?yàn)镃MM測量策略的多樣性使得其不同測量任務(wù)的不確定度評定過程和結(jié)果大相徑庭，且影響CMM測量不確定度的誤差源因素很多，諸誤差源與測量結(jié)果的傳遞關(guān)系難以確定。因此現(xiàn)有的三坐標(biāo)測量機(jī)的測量結(jié)果通常只有被測參數(shù)的估計(jì)值，不能給出相應(yīng)的測量不確定度[3]。本文以孔徑測量為例，在測量系統(tǒng)量值特性分析的基礎(chǔ)上，對CMM面向任務(wù)的測量不確定度評定模型進(jìn)行研究。

1　測量模型

CMM通過間接測量得到圓的直徑，即由采樣點(diǎn)在最小二乘法的約束下，得到最佳擬合圓。

在X-Y平面內(nèi)的直角坐標(biāo)系下，圓的方程為

令a=2x0，b=2y0，c=r2-x02-y02，l=x2+y2，則式（1）展開并線性化有：

l=ax+by+c

對應(yīng)擬合圓時(shí)所采的測量點(diǎn)Pi，則有正規(guī)方程組：

求解方程組（2）即可得到a、b、c，從而得出直徑測量的數(shù)學(xué)模型：

在圓的實(shí)際測量和評定過程中，一般會對采樣點(diǎn)附加約束條件，即測量采樣點(diǎn)數(shù)量為偶數(shù)，且在被測圓周上等間距分布[4]。在此約束條件下最小二乘圓的圓心坐標(biāo)為

則式（3）可簡化為

2　GUM解析法評定測量不確定度模型

CMM測量孔徑時(shí)，影響測量結(jié)果的主要誤差源包括儀器自身的21項(xiàng)機(jī)構(gòu)誤差、測量重復(fù)性誤差、熱變形誤差、力變形誤差、探測系統(tǒng)誤差、動態(tài)測量誤差等等。因此，CMM孔徑D測量的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：d——測量模型的輸出直徑值；

αW——工件的熱膨脹系數(shù)；

αM——CMM光柵尺的熱膨脹系數(shù)；

δθ——實(shí)際測量溫度與標(biāo)準(zhǔn)溫度（20℃）的差值；

δres——示值誤差對測量結(jié)果的影響；

δv——測量力對測量結(jié)果的影響；

δt——動態(tài)誤差對測量結(jié)果的影響。

待測孔徑D是關(guān)于輸入量d、δθ、δres、δv、δt的函數(shù)，即：

輸入量之間互不相關(guān)，根據(jù)測量不確定度表示指南（GUM）可得各傳遞系數(shù)為

于是，CMM測量孔徑D的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

同理，u（d）也可分析得到。由式（4）知：

d=g（xi，yi，x0，y0）

則各傳遞系數(shù)為

于是

將式（7）求得u（d）代入式（6）即得到被測孔徑D的測量不確定度。

3　量值特性分析法評定不確定度

測量系統(tǒng)是指用來對被測量進(jìn)行賦值時(shí)的操作程序、人員、標(biāo)準(zhǔn)件、設(shè)備、環(huán)境及軟件等要素的綜合，涵蓋獲取測量結(jié)果的整個(gè)過程。完整的測量過程難免存在很多的誤差源，包括被測量定義的不準(zhǔn)確、被測量的采樣樣本不全面、環(huán)境條件不穩(wěn)定以及對環(huán)境影響的認(rèn)識不充分、人員操作、測量儀器的分辨率或鑒別閾的限制、測量標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)定值的不準(zhǔn)確、測量策略、測量程序和數(shù)據(jù)處理不準(zhǔn)確、系統(tǒng)誤差修正不完善以及各隨機(jī)誤差的影響等。雖然測量系統(tǒng)組成要素不同，上述誤差源對不確定度的貢獻(xiàn)度有所差異，但對整個(gè)測量系統(tǒng)的綜合因素存在共性。因此，美國三大汽車公司（Ford、GM、Chrysler）聯(lián)合編寫的QS9000配套手冊《測量系統(tǒng)分析》提出了用測量系統(tǒng)分析法對測量系統(tǒng)進(jìn)行不確定度評價(jià)。本文基于測量系統(tǒng)分析提出用6個(gè)量值特性來全面評價(jià)CMM面向任務(wù)的測量不確定度，即分辨力、偏移、線性、穩(wěn)定性、重復(fù)性和復(fù)現(xiàn)性。使用統(tǒng)計(jì)分析或圖表法分析測量系統(tǒng)的誤差，上述量值特性指標(biāo)基本反映了測量過程的不確定性，即涵蓋了引起測量系統(tǒng)不確定度的主要來源[5-8]。

3.1標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量

1）偏移和線性所引起的不確定度分量uE

三坐標(biāo)測量機(jī)的線性和偏移在尺寸測量中以示值誤差E來表征，安全起見一般以最大允許示值誤差MPEE考慮，取均勻分布，則該標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的數(shù)學(xué)模型為

式中，MPEE=A+B·L一般由儀器說明書給出[9]。

2）重復(fù)性所引起的不確定度分量uRT

重復(fù)性測量指在相同的條件下對同一被測量進(jìn)行多次測量的一組操作，即相同的測量策略、人員、儀器、環(huán)境、被測件。重復(fù)性是測量儀器重要的誤差來源，反映的是隨機(jī)誤差對測量結(jié)果的影響[10]，以n次重復(fù)測量的測量值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s（xk）來表征。

若最終的測量結(jié)果采用N次測量值的平均值表示，則有：

顯然，若最終的測量結(jié)果采用單次測量值表示，則uRT=s（xk）。

3）復(fù)現(xiàn)性所引起的不確定度分量uRD

復(fù)現(xiàn)性指在測量條件、人員、儀器、測量方法和原理等發(fā)生變化的情況下，對同一或類似被測對象進(jìn)行多組測量的精密度[11]，可以用多組測量平均值之間的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差定量表示。

其中：

4）穩(wěn)定性所引起的不確定度分量uS

測量穩(wěn)定性是同一測量人員在同一環(huán)境下，使用同一測量儀器對同一工件的相同被測參數(shù)在不同時(shí)間下測量值的偏移，偏移越小則穩(wěn)定性越好。對于不同的CMM穩(wěn)定性所引起的不確定度分量的大小也不盡相同。如對于納米三坐標(biāo)機(jī)，穩(wěn)定性所引起的不確定度分量是一個(gè)不可忽略的重要來源。而對于普通CMM，穩(wěn)定性所引起的不確定度分量通?？珊雎圆挥?jì)。同理，也是通過多組測量計(jì)算測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差來表征，標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的數(shù)學(xué)模型與復(fù)現(xiàn)性相同，只是各組測量列是在測量條件不變的情況下獲得。

5）分辨率所引起的不確定度分量uR

讀數(shù)時(shí)末尾的舍入將引起不確定度，且屬于均勻分布。對于CMM而言，分辨率較高且為數(shù)顯，所以分辨率所引起的不確定度分量常忽略不計(jì)。若分辨率為a則不確定度分量按B類評定為

6）溫度補(bǔ)償引入的不確定度分量utemp

CMM作為一種精密的儀器，溫度變化對其影響不可忽略。溫度改變時(shí)，由于熱脹冷縮原理，被測工件尺寸以及光柵尺尺寸都將發(fā)生改變。雖然CMM通過溫度補(bǔ)償技術(shù)減小溫度誤差的影響，但補(bǔ)償后的誤差仍不可忽略。誤差模型如下：

ΔL=L（T-20）（αW-αM）

式中：L——被測工件尺寸；

T——測量時(shí)的實(shí)際溫度；

αW——工件的熱膨脹系數(shù)；

αM——光柵尺的熱膨脹系數(shù)。

根據(jù)誤差模型可知溫度補(bǔ)償引入的不確定度分量含有以下3個(gè)部分：

①被測工件熱膨脹系數(shù)所引起的不確定度分量uT1，設(shè)工件熱膨脹系數(shù)在±ΔαW范圍內(nèi)按正態(tài)分布（k=2）變化，則：

于是工件熱膨脹系數(shù)所引起的不確定度分量為

②同理，光柵尺熱膨脹系數(shù)所引起的不確定度分量uT2為

③假設(shè)實(shí)際測量時(shí)的溫度T在±ΔT范圍內(nèi)按均勻分布變化，則：

于是，溫度變化所引起的不確定度分量uT3為

所以，溫度補(bǔ)償引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為

3.2不確定度合成

綜上分析可知，各標(biāo)準(zhǔn)不確定分量相互獨(dú)立，則量值特性分析法的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

4　實(shí)例分析

如圖1所示，采用海克斯康MH3D-DCC型CMM測量某汽車空調(diào)壓縮機(jī)后缸體的孔徑，被測孔徑標(biāo)稱尺寸為32mm。實(shí)驗(yàn)坐標(biāo)測量機(jī)空間長度測量準(zhǔn)確度MPEE≤（3+4L/1000）μm，光柵分辨率0.1 μm。被測工件和機(jī)器光柵尺的熱膨脹系數(shù)以及變化范圍分別為

將工件擺放在工作平面的中央，記錄測量環(huán)境，采取自動測量的方法，鎖定Z軸。在同一圓截面上等間距采樣8個(gè)點(diǎn)來評價(jià)被測圓的直徑。

4.1GUM法實(shí)驗(yàn)結(jié)果

重復(fù)測量10次獲得各采樣點(diǎn)的坐標(biāo)值，計(jì)算單點(diǎn)坐標(biāo)的u（xi）、u（yi），安全起見，選取其中的最大值作為最終的評價(jià)數(shù)據(jù)。通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得u（xi）≈u（yi）≤2μm，則u（x0）≈u（y0）≤0.71μm。各采樣點(diǎn)的坐標(biāo)值傳遞系數(shù)如表1所示。

圖1　孔徑測量實(shí)驗(yàn)

表1　采樣點(diǎn)的坐標(biāo)值傳遞系數(shù)

則根據(jù)式（7）計(jì)算得u（d）=1.43 μm。實(shí)驗(yàn)采用自動測量，測速較慢，測量力所引起的誤差和動態(tài)誤差可忽略不計(jì)。根據(jù)被測工件的標(biāo)稱尺寸計(jì)算知u（δres）=1.81 μm。實(shí)驗(yàn)室溫度控制在（20±1）℃，則δθ=1℃，考慮均勻分布，計(jì)算得：

根據(jù)式（6）計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為uC（D）= 2.3μm。按置信概率P=95%取包含因子k=2，則GUM法獲得測量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度為U=k·uC（D）=4.6μm。

4.2量值特性分析法實(shí)驗(yàn)結(jié)果

CMM 6個(gè)量值特性指標(biāo)中，對于示值誤差、分辨率與溫度補(bǔ)償所引起的不確定度分量，可直接根據(jù)CMM使用手冊與實(shí)驗(yàn)環(huán)境結(jié)合上述不確定度評定模型直接計(jì)算。而重復(fù)性、復(fù)現(xiàn)性、穩(wěn)定性所引起的不確定度分量則需要通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來分析計(jì)算。

表2　測量復(fù)現(xiàn)性檢測數(shù)據(jù)mm

復(fù)現(xiàn)性檢測數(shù)據(jù)如表2所示，由不同測量人員在改變測頭型號、工件位置（包含工作平面4個(gè)對角線的頂點(diǎn)位置）、采樣點(diǎn)數(shù)等條件下得到。在復(fù)現(xiàn)性試驗(yàn)中取等間距采8點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為重復(fù)性檢測數(shù)據(jù)。

穩(wěn)定性檢測由同一測量人員在相同的測量環(huán)境下，每隔1h對被測參數(shù)進(jìn)行一次重復(fù)測量。穩(wěn)定性檢測數(shù)據(jù)如表3所示。根據(jù)上述檢測數(shù)據(jù)與檢測環(huán)境，由式（8）～式（15）計(jì)算出各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量，如表4所示。

表3　測量穩(wěn)定性檢測數(shù)據(jù)

表4　標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量

明顯可見穩(wěn)定性與分辨率所引起的不確定度分量屬于微小量，可忽略不計(jì)，且測量重復(fù)性與儀器分辨率存在線性關(guān)系，分辨力越高重復(fù)性往往越明顯，不確定度評定中只考慮兩者中較大的一項(xiàng)即可。由式（16）得合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uC=2.2 μm。同樣，按置信概率P=95%取包含因子k=2，則量值特性分析法獲得測量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度為U=k·uC=4.4μm。

表5　GUM法與量值特性分析法的評定結(jié)果

5　結(jié)束語

基于GUM法與量值特性分析法評定出的CMM孔徑測量的擴(kuò)展不確定度如表5所示。

可以看出兩種方法的不確定度評定結(jié)果比較接近，從兩種方法的評定過程可以看出，量值特性分析法略過求解測量模型以及傳遞系數(shù)的過程，有效簡化了測量不確定度的評定流程。當(dāng)CMM測量模型為非線性等復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型時(shí)，量值特性分析法大大降低測量人員評定測量不確定度需要的專業(yè)知識和評定經(jīng)驗(yàn)方面的限制，給不確定度評定提供了一種準(zhǔn)確快捷的方法，具有良好的應(yīng)用前景和實(shí)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1]測量不確定度評定與表示：JJF 1059.1—2012[S].北京：中國質(zhì)檢出版社，2012.

[2]王鵬，王明泉，韓婧.導(dǎo)爆索內(nèi)徑尺寸測量不確定度的評定及數(shù)據(jù)處理模型[J].中國測試，2014，40（2）：31-35.

[3]李紅莉，陳曉懷，王宏濤.坐標(biāo)測量機(jī)測量端面距離的不確定度評定[J].中國機(jī)械工程，2012，23（20）：2401-2404.

[4]連慧芳.形位誤差測量的不確定度評定[D].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)，2010.

[5]謝少鋒，陳曉懷，張勇斌.測量系統(tǒng)不確定度分析及其動態(tài)性研究[J].計(jì)量學(xué)報(bào)，2002，23（7）：237-240.

[6] FENG C X，SAAL A L，SALSBURY J G，et al. Design and analysis of experiments in CMM measurement uncert ainty study[J]. Precision Engineering，2007，31（2）：94-101.

[7]王秉剛，TUNG K.測量系統(tǒng)分析[M]. 3版.天津：中國汽車技術(shù)研究中心，2002：190-201.

[8]謝少鋒.測量系統(tǒng)及其分析方法綜述與分析[J].電子質(zhì)量，2001（12）：18-19.

[9] Geometrical Product Specifications（GPS）-Acceptance and reverification tests for coordinate measuring machines-Part 1:Vocabulary：ISO 10360-1：2000[S].2000.

[10]齊皇仲，葉懷儲，陳歡，等.微小深度尺寸測量系統(tǒng)的誤差與測量不確定度分析[J].中國測試，2013，39（z2）：116-117.

[11]葉德培.測量不確定度理解評定與應(yīng)用[M].北京：中國質(zhì)檢出版社，2013：26-27.

（編輯：劉楊）

Uncertainty evaluation model for aperture measurement of coordinate measuring machines

XU Lei，CHEN Xiaohuai，CHENG Yinbao，JIANG Rui，WANG Hanbin，CHENG Zhenying
（School of Instrument Science and Opto-electronics Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

Abstract:The factors which may influence the measurement uncertainty of aperture measurement by coordinate measuring machine（CMM）were analyzed. Two uncertainty models were established based on guide to the expression of uncertainty in measurement（GUM）and measurement system analysis（MSA）. Measurement uncertainty for aperture of workpiece were evaluated by the two methods. Moreover，seen from the evaluation example，the results of uncertainty evaluation obtained from GUM and MSA were compared，the comparison result indicates that GUM method needs large amounts of computation and can only get the approximate results in the calculation of sensitivity coefficient but MSA method analyses the whole measurement system and evaluates uncertainty through a large number of experimental data，which is more convenient and more effective than GUM method.

Keywords:metrology；uncertainty evaluation；aperture measurement；CMM

作者簡介：徐磊（1993-），男，安徽滁州市人，碩士研究生，專業(yè)方向?yàn)闇y試計(jì)量技術(shù)及儀器。

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51275148）合肥工業(yè)大學(xué)青年教師創(chuàng)新項(xiàng)目（JZ2014HGQC0126）

收稿日期：2015-05-29；收到修改稿日期：2015-07-08

doi：10.11857/j.issn.1674-5124.2016.01.006

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1674-5124（2016）01-0026-05