□鄒興平

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平均數(shù)和方差的變化規(guī)律

□鄒興平

一般地，設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，則方差方差反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性的大小，方差越大，波動(dòng)性越大.

當(dāng)一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)據(jù)都發(fā)生規(guī)律性的變化時(shí)，如同時(shí)擴(kuò)大（或縮?。┑皆瓉?lái)的a倍，或同時(shí)增加（減少）b，它們的方差或平均數(shù)會(huì)有什么樣的變化呢？

引例已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為方差為s2，把每個(gè)數(shù)據(jù)先乘以a，再減去b，得到一組新的數(shù)據(jù)ax1-b，ax2-b，…，axn-b，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同嗎？方差呢？

分析：觀(guān)察兩組數(shù)據(jù)可知，第二組數(shù)據(jù)是第一組數(shù)據(jù)規(guī)律性變化后的結(jié)果，求第二組數(shù)據(jù)的方差或平均數(shù)時(shí)，應(yīng)借助于第一組數(shù)據(jù)的方差或平均數(shù).

在新數(shù)據(jù)中，令y1=ax1-b，y2= ax2-b，…，yn=axn-b，

綜上所述，我們可以得到這樣一個(gè)規(guī)律：若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為方差為s2，則新數(shù)據(jù)ax1+ b，ax2+ b，…，axn+ b的平均數(shù)為方差為a2s2.

例1（2015·遵義）如果一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差是4，則另一組數(shù)據(jù)x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是（）.

A. 4 B. 7 C. 8 D. 19

解析：根據(jù)題意得：數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)設(shè)為a，則數(shù)據(jù)x1+3，x2+3，…，xn+3的平均數(shù)為a+3，根據(jù)方差公式a）2+（x2-a）2+…+（xn-a）2］=4，則 +（xn-a）2］=4.故選A.

例2已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為5，方差為4，把每個(gè)數(shù)據(jù)先乘以3，再減去2，得到一組新的數(shù)據(jù)3x1-2，3x2-2，…，3xn-2，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同嗎？方差呢？

在新數(shù)據(jù)中，令y1=3x1-2，y2= 3x2-2，…，yn=3xn-2，

所以題中兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差均不同，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3× 5-2=13，方差為32×4=36.