丁巍沈陽(yáng)師范大學(xué)，遼寧沈陽(yáng)110034

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數(shù)學(xué)美與大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

丁巍
沈陽(yáng)師范大學(xué)，遼寧沈陽(yáng)110034

摘要

通過介紹數(shù)學(xué)美的本質(zhì)及其基本特征，并結(jié)合《線性代數(shù)》及《微積分》課的教學(xué)實(shí)踐，論述了在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何挖掘數(shù)學(xué)美的特征進(jìn)行美學(xué)教育。

關(guān)鍵詞

數(shù)學(xué)美；大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；美學(xué)教育

大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，不僅是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)工具的主要課程，是學(xué)生培養(yǎng)理性思維的主要載體，更是學(xué)生接受美感熏陶的一種途徑。如果教師在教學(xué)過程中能經(jīng)常自覺地滲透數(shù)學(xué)美的思想，這對(duì)于不斷增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效果是大有裨益的。筆者在《線性代數(shù)》及《微積分》課的教學(xué)實(shí)踐中，曾經(jīng)進(jìn)行過一些有益的嘗試，收到了很好的教學(xué)效果。

一、數(shù)學(xué)美的本質(zhì)

在數(shù)學(xué)發(fā)展史中，不少數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)中的美作過評(píng)價(jià)。

古希臘偉大的哲學(xué)家亞里士多德指出：“認(rèn)為數(shù)學(xué)的科學(xué)全不涉及美或善是錯(cuò)誤的……數(shù)學(xué)的科學(xué)特別體現(xiàn)了秩序、對(duì)稱和明確性，而這些正是美的主要形式?！惫糯軐W(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美?！绷_素把數(shù)學(xué)的美形容為一種“冷而嚴(yán)肅的美”“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正象雕刻的美……”龐加萊認(rèn)為：“一個(gè)名副其實(shí)的科學(xué)家，尤其是數(shù)學(xué)家，他在他的工作中體驗(yàn)到和藝術(shù)家一樣的印象，他的樂趣和藝術(shù)家的樂趣具有相同的性質(zhì)，是同樣偉大的東西。”懷德黑做了形象的比喻：“作為人類精神的創(chuàng)造，只有音樂堪與數(shù)學(xué)媲美?！敝麛?shù)學(xué)家波萊爾指出：“數(shù)學(xué)在很大程度上是一門藝術(shù)，它的發(fā)展總是起源于美學(xué)準(zhǔn)則，受其指導(dǎo)，據(jù)以評(píng)價(jià)的。”

從這些論述中，清楚地表明數(shù)學(xué)美是為數(shù)學(xué)活動(dòng)者們親身體驗(yàn)及感受到的一種存在，數(shù)學(xué)中包含著豐富的美的因素。

關(guān)于數(shù)學(xué)美的本質(zhì)，從國(guó)內(nèi)的研究來看，有這樣一些描述：“數(shù)學(xué)美是一種人的本質(zhì)力量通過宜人的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)”“數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的自由形式”“數(shù)學(xué)美是真與善的統(tǒng)一”“數(shù)學(xué)美的本質(zhì)在于序”，等等。

黑格爾曾經(jīng)這樣指出：“美可以有許多方面，這個(gè)人抓住的是這一方面，那個(gè)人抓住的是那一方面?！迸c其尋求一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)美的嚴(yán)格定義，不如從總體上把握構(gòu)成數(shù)學(xué)美的本質(zhì)的基本方面。

（一）數(shù)學(xué)美的客觀性

即指客觀存在于數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的審美對(duì)象是不以審美主體是否承認(rèn)、是否意識(shí)到為轉(zhuǎn)移的，盡管審美主體的主觀條件不同，但并不是所有的或特定的數(shù)學(xué)美都能為審美主體所感知，這并不能改變數(shù)學(xué)美的存在。

（二）數(shù)學(xué)美的社會(huì)性

數(shù)學(xué)美是一種社會(huì)現(xiàn)象，因?yàn)閿?shù)學(xué)美是對(duì)人而言的。數(shù)學(xué)家通過數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，使自己的本質(zhì)力量“對(duì)象化”，或者說“自然人化”了。所謂“人化”，就是人格化，即自然物具有人的本質(zhì)印記，實(shí)質(zhì)上就是社會(huì)化。這種社會(huì)化的內(nèi)容正是數(shù)學(xué)美的內(nèi)容，它是數(shù)學(xué)美產(chǎn)生的本原。

（三）數(shù)學(xué)美的物質(zhì)性

數(shù)學(xué)美的內(nèi)容——人的本質(zhì)力量必須通過某種形式呈現(xiàn)出來，必須有附體，數(shù)學(xué)美的這種形式或附體，即數(shù)學(xué)美的物質(zhì)屬性。

（四）數(shù)學(xué)美的宜人性

即數(shù)學(xué)美的形式應(yīng)該使審美主體感到愉悅。審美主體的愉悅性，一方面自然是由審美主體的心理和生理的原因造成的，另一方面，也是最根本的，還在于對(duì)象本身是具有足以引起主體愉悅的屬性和條件。簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)美的形式必須與人的認(rèn)識(shí)，人類心靈深處的渴望在本質(zhì)上相吻合。

二、數(shù)學(xué)美的基本特征

數(shù)學(xué)美是一種科學(xué)美，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家徐利治教授指出:“作為科學(xué)語(yǔ)言的數(shù)學(xué)，具有一般語(yǔ)言文學(xué)和藝術(shù)所共有的特點(diǎn)，即數(shù)學(xué)在其內(nèi)容、結(jié)構(gòu)和方法上也都具有自身的某種美，即所謂數(shù)學(xué)美。數(shù)學(xué)美的含義是豐富的，數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)潔性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對(duì)稱性，數(shù)學(xué)命題和模型的概括性、典型性和普遍性，還有數(shù)學(xué)中的奇異性都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容”。這段話是對(duì)數(shù)學(xué)美內(nèi)容和形式的精辟論述，統(tǒng)一性、對(duì)稱性、簡(jiǎn)潔性和奇異性可以看成是數(shù)學(xué)美的基本特征。

（一）數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美

數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一性，是指數(shù)學(xué)中部分與部分、部分與整體之間的和諧一致。數(shù)與形，本是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)獨(dú)立的對(duì)象，對(duì)它們的研究，分別構(gòu)成了代數(shù)與幾何。然而，通過坐標(biāo)系的建立，使點(diǎn)與數(shù)建立了對(duì)應(yīng)，從而把代數(shù)研究的對(duì)象與幾何研究的對(duì)象——方程與曲線聯(lián)系起來，實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一。

數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容浩如煙海，而依布爾巴基學(xué)派的觀點(diǎn)來看，可以統(tǒng)一為代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓樸結(jié)構(gòu)；歐氏幾何內(nèi)容繁多、錯(cuò)綜復(fù)雜、變化無窮，然而，它可以統(tǒng)一在五組公理之下。

從數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律來看，數(shù)學(xué)的發(fā)展將日益證明數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。為了使龐大的數(shù)學(xué)體系變得簡(jiǎn)單而精確，數(shù)學(xué)家們經(jīng)常依據(jù)數(shù)學(xué)各領(lǐng)域的共性，提出統(tǒng)一數(shù)學(xué)各部分的新觀點(diǎn)、新理論。算子理論、群論、拓樸理論都是與許多具體數(shù)學(xué)內(nèi)容統(tǒng)一的結(jié)果。公理化方法、結(jié)構(gòu)思想就是從統(tǒng)一性目標(biāo)出發(fā)而提出的建立數(shù)學(xué)體系的方法。

（二）數(shù)學(xué)的對(duì)稱美

大自然以對(duì)稱方式構(gòu)造了人，給人自身以美的啟迪。藉此，人們發(fā)現(xiàn)了一切生物界的對(duì)稱結(jié)構(gòu)及至天體和大自然中的種種對(duì)稱結(jié)構(gòu)，進(jìn)而對(duì)稱概念上升為一個(gè)哲學(xué)范疇受到青睞，且促使人們藝術(shù)地潛心研究，創(chuàng)造了越來越多的對(duì)稱。

在數(shù)學(xué)中，對(duì)稱概念被嚴(yán)格化、形式化了，從而更加展示了它的美。具有對(duì)稱性的對(duì)象常常具有更多更美的性質(zhì)，從而，更加吸引數(shù)學(xué)愛好者。例如，圓所具有的最優(yōu)秀對(duì)稱現(xiàn)象；對(duì)稱矩陣的形式美及用其特有的對(duì)稱性解決求逆陣的簡(jiǎn)明，等等，都說明數(shù)學(xué)中對(duì)稱美的內(nèi)涵和特殊的意義。此外，數(shù)學(xué)中的所謂對(duì)偶空間，共軛空間，對(duì)偶命題，互反定理等，何嘗不是具有一定意義下的對(duì)稱性質(zhì)，且包含極其美妙的內(nèi)容！特別值得一提的是:對(duì)稱性常常給我們帶來計(jì)算和證明數(shù)學(xué)問題中的許多方便和簡(jiǎn)單。

（三）數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美

所謂數(shù)學(xué)美的簡(jiǎn)潔性，按其內(nèi)涵來看，有些類似于一般藝術(shù)欣賞中所說的淺易美。英國(guó)學(xué)者威廉·奧卡姆認(rèn)為，在諸多理論中最簡(jiǎn)單的那個(gè)理論，即是最美的理論，而美的理論才能在競(jìng)爭(zhēng)中取勝。伽利略說過:“數(shù)學(xué)是上帝描述大自然的音符?！钡拇_，數(shù)學(xué)語(yǔ)言本身就十分優(yōu)美，不可用別的語(yǔ)言來代替。哲學(xué)家也承認(rèn)，世界上沒有任何一種語(yǔ)言比數(shù)學(xué)語(yǔ)言來得更為簡(jiǎn)潔而確切。如牛頓的力學(xué)定律、電磁場(chǎng)的麥克思韋方程、愛因斯坦的相對(duì)論公式，等等，其描述的自然規(guī)律是何等深刻、重要而復(fù)雜，但它的數(shù)學(xué)表達(dá)式又是何等的簡(jiǎn)潔！這正是數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔美的精彩表現(xiàn)。

許多數(shù)學(xué)分支都引入簡(jiǎn)明的公理體系，依賴于它演譯出了深邃而復(fù)雜的種種數(shù)學(xué)學(xué)科，如線性空間理論、群論、歐幾里得幾何等，正是建立在幾條簡(jiǎn)單公理之上，而堪稱典型的公理化學(xué)科，宛如幾根柱石托起一座座精美的高樓，把數(shù)學(xué)大觀園點(diǎn)綴得光彩奪目。

（四）數(shù)學(xué)的奇異美

數(shù)學(xué)美的奇異性特征，即在于“新”與“奇”。它正好迎合于人們?cè)谒囆g(shù)欣賞和科學(xué)探索中求新求異的心理意境。奇異有時(shí)也近乎荒誕，因而奇異性與通常藝術(shù)欣賞中所說的荒誕美、滑稽美有些類似。因?yàn)槠娈愔?，容易使人產(chǎn)生崇高感，在數(shù)學(xué)中對(duì)于新奇的領(lǐng)域和新奇的問題，也可以使數(shù)學(xué)家產(chǎn)生一種神秘莫測(cè)的美感。

奇異是一種美，奇異到極度更是一種美，在某種意義上，數(shù)學(xué)中的和諧性與奇異性是世界的統(tǒng)一性和多樣性在數(shù)學(xué)中的反映?？陀^世界表現(xiàn)為統(tǒng)一性與多樣性的統(tǒng)一，而數(shù)學(xué)則是和諧性與奇異性的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力之一。對(duì)于事物的奇美性，培根曾指出:“沒有一樣極美的東西不是在調(diào)和中存在著某種奇異?！笔挛锏钠婷佬酝芙o人以一種奇特而新穎的感覺。就數(shù)學(xué)中的奇異性而言，其中頗有一些“意料之外，情理之中”的意味。生活經(jīng)驗(yàn)也告訴我們，凡是新而不平常的東西，總能在人們的心靈深處感受到一種愉悅的驚奇。同時(shí)，人們的好奇心也得到了一定程度上的滿足。如果在學(xué)習(xí)中能引發(fā)起學(xué)生的這種好奇心，那么就能極大地提高他們的學(xué)習(xí)效率。

三、在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行美學(xué)教育

在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)美審美教學(xué)，應(yīng)當(dāng)與數(shù)學(xué)的理論教學(xué)及能力培養(yǎng)相結(jié)合，充分揭示數(shù)學(xué)美的特征，把數(shù)學(xué)美的教育滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中去，寓教于樂，使學(xué)生在潛移默化之中獲得美的修養(yǎng)。

（一）揭示統(tǒng)一美，使學(xué)生知識(shí)系統(tǒng)化

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的思維程序紊亂現(xiàn)象較為普遍。不少學(xué)生習(xí)慣于用單一的、孤立的方式思考問題，不善于將已學(xué)過的知識(shí)歸納整理，形成知識(shí)系統(tǒng)，往往滿足于會(huì)解某些類型的題目，忽視進(jìn)一步的概括綜合和挖掘提煉，缺少?gòu)恼w上把握內(nèi)容的有效方法。教師如能努力挖掘教材中的潛在因素，充分展示數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一性特征，有利于學(xué)生形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。如線性代數(shù)有兩條主線，即一條是向量空間及其上的線性變換的概念和理論，另一條是矩陣的理論，這兩個(gè)方面之間有一個(gè)聯(lián)系的橋梁，就是“基”，這充分展示了數(shù)學(xué)的和諧美和統(tǒng)一美。對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的許多問題，教師應(yīng)適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)一概括，這樣，不僅可以濃縮內(nèi)容，而且易于解決相應(yīng)復(fù)雜的問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)通過揭示數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一性特征，使學(xué)生在頭腦中建立“知識(shí)鏈”，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，學(xué)會(huì)整理知識(shí)的方法；引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)并理解數(shù)學(xué)在各分支間的統(tǒng)一美，提高思維的概括性以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

（二）展示對(duì)稱美，消除思維定勢(shì)的影響

例如對(duì)稱矩陣，它蘊(yùn)含豐富的美學(xué)因素，所謂對(duì)稱矩陣A是指它的元素滿足aij=aji的n階方陣。任何事物的對(duì)稱本身就已有了美的神韻，對(duì)稱矩陣有一條天然的對(duì)稱軸（主對(duì)角線），從對(duì)稱矩陣外表來看，它就給人一種美的享受。

對(duì)稱矩陣是否有美的內(nèi)涵？當(dāng)A為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)，它不僅合同于對(duì)角矩陣，而且也相似于對(duì)角矩陣，即有正交矩陣P，使得

其中，λ1,λ2,L,λn為A的全部特征值。

上式說明對(duì)稱矩陣進(jìn)行變換后，仍然是對(duì)稱矩陣，而且是最簡(jiǎn)單的結(jié)果。此式顯示了矩陣的整齊對(duì)稱美與最終結(jié)果的簡(jiǎn)潔美。

在教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生領(lǐng)略這種對(duì)稱美，更重要的是讓學(xué)生自覺地運(yùn)用對(duì)稱性質(zhì)解決某些具體問題，以提高分析問題的能力。在教學(xué)中，教師挖掘數(shù)學(xué)美的對(duì)稱性特征，對(duì)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法和訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性，消除思維定勢(shì)的影響，會(huì)起到重要作用。目前，在數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的不注意學(xué)生思維過程，不注意知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程，而一味要學(xué)生背題型、套方法的“題型數(shù)學(xué)”，嚴(yán)重阻礙對(duì)學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng)。因此，讓學(xué)生樹立對(duì)稱美的意識(shí)，教會(huì)學(xué)生從對(duì)立的觀點(diǎn)去思考問題，在思維方向的選擇上，既會(huì)順向，又會(huì)逆向，靈活運(yùn)用，具有重要意義。

（三）追求簡(jiǎn)潔美、培養(yǎng)思維靈活性

簡(jiǎn)潔性這一數(shù)學(xué)美的特征要求人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，把握事物的主要矛盾，把握事物內(nèi)部最簡(jiǎn)單最基本的聯(lián)系。而思維的靈活性是指在學(xué)習(xí)過程中，不糾纏于事物的表面現(xiàn)象，能有意識(shí)地從本質(zhì)上和整體上看問題，注意從事物之間的聯(lián)系和矛盾上來理解事物的本質(zhì)，克服和減少思維的片面性和絕對(duì)化。教師在教學(xué)中揭示數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美特征，能夠促進(jìn)學(xué)生思維靈活性與深刻性的發(fā)展。例如，

如果直接求出每個(gè)代數(shù)余子式Aij，再求和比較麻煩，如注意到伴隨矩陣A*=(Aji)及A*A=|A|E，即A*=|A|A-1，因此，只要求出|A|及A-1，就可通過A*計(jì)算代數(shù)余子式的和。

許多數(shù)學(xué)問題，雖然表面形式可能較為復(fù)雜，但其本質(zhì)總有簡(jiǎn)潔的一面。如能培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行整體簡(jiǎn)化處理，則可化難為易。

（四）尋覓奇異美，培養(yǎng)創(chuàng)造能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師挖掘奇異美應(yīng)與培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性結(jié)合起來。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，雖然不一定能提出新的科學(xué)概念或發(fā)現(xiàn)新的理論，但所學(xué)的知識(shí)對(duì)于學(xué)生來說都是嶄新的、首次遇到的，從這個(gè)意義上說，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中是會(huì)有創(chuàng)造思維活動(dòng)的。

例如微分和積分，當(dāng)初人們是作為互不相干的兩種運(yùn)算來做，后來竟發(fā)現(xiàn)它們是互逆的（以牛頓——萊布尼茲定理為標(biāo)志），由以下式子表示：d∫axf(x)dx=f(x)dx。即運(yùn)算d與運(yùn)算∫ax互抵了。用幾何的語(yǔ)言來敘述是：一條曲線下方的面積（由積分計(jì)算）的微分（求微商）竟是曲線本身。

新奇才有藝術(shù)，“未曾料到”才引人入勝，這也是數(shù)學(xué)的魅力、數(shù)學(xué)的美。數(shù)學(xué)美的內(nèi)涵是豐富多彩的，但數(shù)學(xué)美的諸方面應(yīng)互相結(jié)合，只要在教學(xué)中努力挖掘數(shù)學(xué)美的特征，著意培養(yǎng)學(xué)生的美感，必能收到良好的審美教育效果。此外，在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)美的教育，教師本人的審美能力與美學(xué)修養(yǎng)也很重要。在教學(xué)中，教師的精練語(yǔ)言、精辟的分析、生動(dòng)的表達(dá)、巧妙的啟發(fā)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?、講究的板書，等等，都是學(xué)生學(xué)習(xí)審美的榜樣。

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（責(zé)任編輯：彭琳琳）

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

中圖分類號(hào)G640

收稿日期2015-12-17

作者簡(jiǎn)介：丁?。?961－），男，遼寧沈陽(yáng)人，沈陽(yáng)師范大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院副教授，碩士，研究方向：矩陣計(jì)算及其應(yīng)用。