景慧麗，屈　娜，楊寶珍

（火箭軍工程大學(xué)　理學(xué)院，陜西　西安　710025）

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函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系及反例

景慧麗，屈娜，楊寶珍

（火箭軍工程大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710025）

摘要：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一.文中把函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)在一區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)及函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)三者之間的關(guān)系進(jìn)行了梳理，并給出相應(yīng)的反例加以說明.

關(guān)鍵詞：單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)；反例

在微分學(xué)中，導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一是用來判斷函數(shù)的單調(diào)性，即用函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，判定定理[1]是：設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).

(1)如果在(a,b)內(nèi)f'(x)≥0，且等號僅在有限多個(gè)點(diǎn)處成立，那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加；

(2)如果在(a,b)內(nèi)f'(x)≤0，且等號僅在有限多個(gè)點(diǎn)處成立，那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.

當(dāng)然，如果把判定定理中的閉區(qū)間換成其他區(qū)間（如果是無窮區(qū)間，要求在其任一子區(qū)間上滿足定理的條件），那么結(jié)論依然成立.

所以，當(dāng)x≠0時(shí)，f'(x)>0.因此，函數(shù)f(x)在(-∞, 0)內(nèi)是單調(diào)增加的，故當(dāng)x1<0時(shí)，有f(x1)0時(shí)，有f(x2)>f(0)=0成立.所以對任意的x1,x2∈(-∞,∞)且x1

一般地，如果已知一個(gè)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)增加（單調(diào)減少），是不能得到其導(dǎo)函數(shù)一定大于零（小于零）的．但是如果已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是可導(dǎo)的，即f'(x)存在，且y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)增加（單調(diào)減少），那么在區(qū)間I上一定有f'(x)≥0（f'(x) ≤0）成立.

當(dāng)k→∞時(shí)，顯然有xk1→0，xk2→0，因此在點(diǎn)x=0的任何鄰域內(nèi)，f'(x)的取值有正有負(fù)，從而f(x) 在x=0的任何鄰域內(nèi)都不單調(diào).

由此可知，函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)及函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)三者之間的關(guān)系是：如果在區(qū)間I上f'(x)≥0（f'(x)≤0），且等號僅在有限多個(gè)點(diǎn)處成立，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上一定單調(diào)增加（減少）；反之，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)增加（減少），則在區(qū)間I上未必有f'(x)≥0（f'(x)≤0）成立.另外，不能用函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)的正負(fù)來判斷函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0的鄰域內(nèi)的單調(diào)性.

總之，用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性這個(gè)看似簡單的問題，學(xué)生也經(jīng)常理解有偏差，通過上述總結(jié)尤其是反例的說明，可以幫助學(xué)員加深對這三個(gè)概念之間關(guān)系的理解.在《高等數(shù)學(xué)》課程的教學(xué)中教員要恰當(dāng)?shù)乩梅蠢M(jìn)行輔助教學(xué)，因?yàn)榉蠢欠瘩g與糾正錯(cuò)誤的一種有效方法[4]，而且在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，反例所占的重要地位同等與證明，正如美國數(shù)學(xué)家B.R.蓋爾鮑姆和J.M.H.奧姆斯特德所說：“冒著過于簡單化的風(fēng)險(xiǎn)，我們可以說（撇開定義、陳述以及艱苦的工作不談）數(shù)學(xué)由兩大類——證明和反例組成，而數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)也是朝著這兩個(gè)目標(biāo)——提出證明和構(gòu)造反例”[5].

參考文獻(xiàn)：

〔1〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上）[M].第七版.北京：高等教育出版社,2007.145.

〔2〕陳汝棟.數(shù)學(xué)分析中的問題、方法與實(shí)踐[M].第一版.北京：國防工業(yè)出版社,2012.20.

〔3〕馬知恩，王綿森.高等數(shù)學(xué)疑難問題選講[M].第一版.北京：高等教育出版社,2014.96.

〔4〕李春.反例在泛函分析教學(xué)中的作用[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào),2012,37(6)：230-232.

〔5〕蓋爾鮑姆，奧姆斯特德.分析中的反例[M].第一版.上海：上?？茖W(xué)出版社,1980.4.

基金項(xiàng)目：火箭軍工程大學(xué)2015年度教育教學(xué)立項(xiàng)課題（EPGC2015008）

收稿日期:2015年9月19日

中圖分類號：O174

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）02-0004-02