山西 趙燕飛

從物理基本模型變式談2016年高考

山西 趙燕飛

源于生活，回歸經典。

2016年全國卷Ⅰ選修3—5沒有考查近幾年一直考查的動量守恒定律，而是考查了動量定理，試題取材為噴泉噴出的水柱將一卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中，要求考生建立物理模型，利用微元法解題。物理學中有許多經典好題，經典題具有一定的代表性、示范性，高考不可能直白地考查經典題，但高考試題往往有經典試題的影子，有異曲同工之妙，本文從基本模型到經典模型再到高考真題，談基本模型的重要性，說高考真題的拓展性。

【基本模型】高壓采煤水槍水平出水口的截面積為S，水的射速為v，射到煤層上后，水的速度為零，若水的密度為ρ，求水對煤層在水平方向的沖力。

我們取一小段時間內射到煤層上的水在水平方向進行研究，這部分水在較短時間內水平速度變?yōu)榱悖阂欢▽λa生力的作用。因此，可以由動量定理來求煤對水的平均作用力，再由牛頓第三定律就知道水對煤的作用力。

處理這類“變質量”的“連續(xù)”的流體問題時，一般要假設一段時間Δt內流出的水柱，其長度為vΔt水柱底面積為S，得水柱體積V＝SvΔt，故水柱質量為Δm＝ρV＝ρSvΔt，再對質量為Δm的水柱應用動量定理求解。

Δt時間內射出的水的質量Δm＝ρSvΔt，以Δm為研究對象，以水的運動方向為正方向，它在Δt內動量變化為ΔP＝Δm（0-v）＝-ρSv2Δt。設F為水對煤層的沖力，F(xiàn)′為煤層對水的反沖力。根據(jù)動量定理有F′Δt＝-ρSv2Δt，所以F′＝-ρSv2，根據(jù)牛頓第三定律得F＝-F′＝ρSv2。

【經典模型】如圖1所示，自動稱米機已在許多大糧店廣泛使用。買者認為，因為米流落到容器中時有向下的沖力而不劃算；賣者則認為，當預定米的質量數(shù)滿足時，自動裝置即刻切斷米流時，此刻尚有一些米仍在空中，這些米是多給買者的，因而雙方爭執(zhí)起來，究竟哪方說得對而劃算呢？

【解析】設米流的流量為d，它是恒定的，米流在出口處速度很小可視為零，若切斷米流后，盛米的容器中靜止的那部分米的質量為m1，空中還在下落的米質量為m2，則落到已靜止的米堆（m1）上的一小部分米的質量為Δm。在極短時間Δt內，取Δm為研究對象，這部分米很少，Δm＝d·Δt，設其落到米堆上之前的速度為v，經Δt時間靜止，取向上為正方向，由動量定理得

（F-Δmg）Δt＝Δmv

即單位時間內米堆對米流的作用力F＝dv＋d·Δt·g

因Δt很小，故F＝dv

根據(jù)牛頓第三定律知F＝F′

可見，稱米機讀數(shù)包含了靜止在袋中的部分m1，也包含了尚在空中的下落的米流m2，即自動稱米機是準確的，不存在哪方劃算不劃算的問題。

【點評】基本模型在水平方向用動量定理，沒有考慮豎直方向的力，本題在豎直方向用動量定理，但因時間極短，流體部分對應的重力可忽略不計。

【高考真題】（2016·全國卷Ⅰ）某游樂園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質量為M的卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中。為計算方便起見，假設水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v0豎直向上噴出；玩具底部為平板（面積略大于S）；水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變?yōu)榱?，在水平方向朝四周均勻散開。忽略空氣阻力。已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g，求：

（1）噴泉單位時間內噴出的水的質量；

（2）玩具在空中懸停時，其底面相對于噴口的高度。

【解析】（1）在一段很短的Δt時間內，可以認為噴泉噴出的水柱保持速度v0不變。

該時間內，噴出水柱高度Δl＝v0·Δt①

噴出水柱質量Δm＝ρ·ΔV②

其中ΔV為水柱體積，滿足ΔV＝Δl·S③

由①②③可得噴泉單位時間內噴出的水的質量為

（2）如圖2所示，由玩具受力平衡得F′＝Mg④

其中F′為玩具底部水對其的作用力

由牛頓第三定律F＝F′⑤

其中，F(xiàn)為玩具對其底部的水的作用力

設玩具懸停時底面相對于噴口的高度為h，v為水體到達玩具底部時的速度，如圖3所示

在很短Δt時間內，沖擊玩具水柱的質量為Δm，如圖4所示

Δm＝ρv0S·Δt⑦

由題意可知，在豎直方向上，對該部分水柱由動量定理有

（F＋Δmg）Δt＝Δmv⑧

由于Δt很小，Δmg也很小，可以忽略

⑧式變?yōu)镕Δt＝Δmv⑨

【點評】本題沒有求水柱對玩具的沖力，而是求水柱噴口的高度，實質是根據(jù)基本模型求得水柱和玩具接觸時的速度，然后根據(jù)勻變速直線運動求解。試題取材于生活，把生活中的素材轉化為物理模型，應用微元法解題，很好地體現(xiàn)了物理來源于生活又回歸到生活的原則，全面考查了考生的建模能力和分析綜合問題的能力。

（作者單位：山西省介休市第一中學）