朱洪（安徽三聯(lián)學(xué)院　基礎(chǔ)部，安徽　合肥　230009）

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六點(diǎn)三重插值細(xì)分法

朱洪
（安徽三聯(lián)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽合肥230009）

摘要：本文提出了雙參數(shù)六點(diǎn)三重插值細(xì)分算法.利用生成多項(xiàng)式的方法分析了該算法的一致收斂和連續(xù)性條件，通過對(duì)參數(shù)的適當(dāng)取值，極限曲線可達(dá)到C1,C2連續(xù).數(shù)值算例表明，該方法是合理有效的.

關(guān)鍵詞：三重細(xì)分法；插值；生成多項(xiàng)式；連續(xù)性

細(xì)分法是根據(jù)初始控制多邊形或者初始數(shù)據(jù)由計(jì)算機(jī)生成曲線曲面或其他幾何形體的一種方法，其處理方法簡單而且易于實(shí)現(xiàn)，因此在曲線曲面造型中得到了廣泛的應(yīng)用.Dyn等[1]首次提出了只含一個(gè)參數(shù)的四點(diǎn)二重插值細(xì)分法（C1連續(xù)）.Hassan等[2]給出了四點(diǎn)三重插值細(xì)分算法（C2連續(xù)）.WANG Huawei等[3]提出了一種改進(jìn)的三重插值細(xì)分算法，可以插值于開的控制多邊形，極限曲線仍可以達(dá)到連續(xù).Cavaretta A S等[4]對(duì)穩(wěn)定細(xì)分法作了系統(tǒng)地研究.Rehan等[5]給出了一類三重細(xì)分算法，三點(diǎn)三重細(xì)分法（C1連續(xù)）和四點(diǎn)三重細(xì)分法（C2連續(xù)）.Siddiqi等[6]利用雙曲函數(shù)，提出了動(dòng)態(tài)的六點(diǎn)二重細(xì)分算法.本文提出了雙參數(shù)的六點(diǎn)三重插值細(xì)分算法，利用生成多項(xiàng)式的方法討論了此算法的一致收斂性和C1，C2連續(xù)性條件.

1　預(yù)備知識(shí)

給定初始控制點(diǎn)集P0={pi0∈Rd|i∈￠}，記Pk={pik∈Rd|i∈￠}為第k次細(xì)分后的控制點(diǎn)集，則三重細(xì)分法的生成規(guī)則為

其中α={ai|i∈￠}為此細(xì)分法的掩模，并將其記為S，則S的生成多項(xiàng)式為

定理1[2]若三重細(xì)分法A一致收斂，則掩模α={ai}滿足

定理2[2]設(shè)三重細(xì)分法S的掩模α={ai}滿足式（2），則存在一個(gè)三重細(xì)分法S1，滿足

定理3[4]若三重細(xì)分法S的掩模α={ai}和Sj(j=1,2,…, n)的掩模α(j)={ai(j)}滿足

2　雙參數(shù)六點(diǎn)三重插值細(xì)分法及收斂性和Ck連續(xù)性分析

定義1給定初始控制點(diǎn)集P0= {pi0∈Rd|i∈￠}，記Pk= {pik∈Rd|i∈￠}為第k次細(xì)分后的控制點(diǎn)集，遞歸地定義第k+1次細(xì)分后的控制點(diǎn)如下：

其中μ，v為參數(shù).

下面利用定理[2]和定理[3]分析細(xì)分格式（4）的收斂性和Ck連續(xù)性.

定理4若參數(shù)μ，v滿足：

證明由細(xì)分格式（4）知該細(xì)分格式的生成多項(xiàng)式為：

顯然α滿足（2）式.根據(jù)定理2知，

因此，當(dāng)

時(shí)，此細(xì)分法是一致收斂的.

定理5若參數(shù)μ，v滿足：

時(shí)，此細(xì)分法是C1連續(xù)的.

證明顯然α，α(1)滿足（3）式，且

因此，當(dāng)

時(shí)，此細(xì)分法是C1連續(xù)的.

時(shí)，此細(xì)分法是C2連續(xù)的.

證明顯然α，α(1)，α(2)滿足（3）式，且

因此，當(dāng)

時(shí)，此細(xì)分法是C2連續(xù)的.

3　結(jié)論和數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本文在文獻(xiàn)[2]基礎(chǔ)上給出了雙參數(shù)六點(diǎn)三重插值細(xì)分算法，點(diǎn)數(shù)及參數(shù)的增加，使得對(duì)曲線的調(diào)控更加地靈活.下面給出幾何造型曲線的實(shí)例，利用本文方法，經(jīng)過六次細(xì)分，得到了C1,C2連續(xù)曲線，其中實(shí)線為細(xì)分曲線，虛線為初始控制多邊形，如圖1所示.

圖1　六點(diǎn)三重插值細(xì)分法

該算法具有更高的細(xì)分效率，通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，對(duì)同一控制多邊形，本文方法經(jīng)過五次細(xì)分與文獻(xiàn)[2]方法經(jīng)過十次細(xì)分具有相同的曲線，如圖2所示.

圖2　對(duì)比算法

固定參數(shù)μ而改變另一參數(shù)v對(duì)極限曲線的影響，可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)固定參數(shù)μ，參數(shù)v在一定范圍內(nèi)從大到小變化時(shí)，曲線是先向外插值，再向內(nèi)插值，同時(shí)向內(nèi)微縮，如圖3所示.固定參數(shù)v而改變另一參數(shù)μ，發(fā)現(xiàn)對(duì)極限曲線有類似的影響，如圖4所示.

圖3　參數(shù)v對(duì)極限曲線的影響

圖4　參數(shù)μ對(duì)極限曲線的影響

當(dāng)參數(shù)取某些特殊值時(shí)會(huì)有分形現(xiàn)象出現(xiàn)，如圖5所示.因此，多點(diǎn)分形性質(zhì)有待進(jìn)一步研究.

圖5　分形現(xiàn)象

參考文獻(xiàn)：

〔1〕Dyn N.Levin D, Gregory J A. A 4-point interpolatory subdivision scheme for curve design [J]. Computer Aided Geometric Design, 1987,4(4):257-268.

〔2〕Hassan M F, Ivrissimitzis I P, Dodgson N A, Sabin M A. An interpolating 4 -point ternary stationary subdivision scheme [J]. Computer Aided Geometric Design,2002,19(1):1-18.

〔3〕WANG Huawei, QIN Kaihuai. Improved Ternary Subdivision Interpolation Scheme [J]. TSINGHUA SCIENCE AND TECHNOLOGY,2005,10(1):128-132.

〔4〕Cavaretta A S, Dahmen W, Micchelli C A. Stationary subdivision [J]. Memoirs of the American Mathematical Society,1991,93(453):1-186.

〔5〕Rehan K, Siddiqi S S. A family of ternary subdivision scheme for curves [J]. Applied Mathematics and Computation, 2015:114-123.

〔6〕Siddiqi S S, Salam W, Rehan K. A new non-stationary binary 6 -point subdivision scheme [J]. Applied Mathematics and Computation, 2015: 1227-1239.

基金項(xiàng)目:安徽三聯(lián)學(xué)院校級(jí)自然科學(xué)基金（2014Z002）

收稿日期：2015-11-05

中圖分類號(hào)：TP391

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2016）01-0041-02