江蘇 李勝?gòu)?qiáng)

“數(shù)學(xué)圓”模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用

江蘇 李勝?gòu)?qiáng)

縮放平移間盡顯物理動(dòng)態(tài)之美。

圓是數(shù)學(xué)中的重要概念之一，在物理學(xué)中也有其特殊的作用和價(jià)值。本文結(jié)合實(shí)例闡述“縮放圓”“平移圓”“動(dòng)態(tài)圓”在物理學(xué)中的應(yīng)用，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決物理問(wèn)題的能力，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)解題技巧和解題思路的構(gòu)建。

一、“縮放圓”模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用

【情景2】如圖2所示，帶正電的粒子（不計(jì)重力）從正方形磁場(chǎng)邊界AB邊M點(diǎn)垂直磁場(chǎng)進(jìn)入，恰好從A點(diǎn)離開，此過(guò)程經(jīng)歷半個(gè)圓周?，F(xiàn)增大粒子的速度，使其經(jīng)歷個(gè)圓周到達(dá)N點(diǎn)，繼續(xù)增大粒子的速度，使其到達(dá)D點(diǎn)，比較可知：隨著速度v增大，半徑R也增大，經(jīng)歷的時(shí)間t卻縮短。

【情景3】如圖3所示，帶電粒子（不計(jì)重力）從x軸上的P點(diǎn)垂直進(jìn)入磁場(chǎng)經(jīng)歷軌跡①?gòu)膟軸離開，要想讓帶電粒子經(jīng)歷軌跡②從y軸離開，則應(yīng)減小帶電粒子的速度。同理可知，經(jīng)歷軌跡③和軌跡④時(shí)帶電粒子的速度更小，但時(shí)間卻越來(lái)越長(zhǎng)。

【例1】如圖4所示，垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn)，一個(gè)帶正電的粒子僅在磁場(chǎng)力的作用下，從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t0剛好從c點(diǎn)射出磁場(chǎng)，現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面與Od成30°的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，那么下列說(shuō)法中正確的是 （ ）

D.若粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間是t0，則它一定從ab邊射出

【答案】AC

二、“動(dòng)態(tài)圓”模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用

【情景1】如圖6所示，在屏MN的上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里。P為屏上的一個(gè)小孔，PC與MN垂直。一群質(zhì)量為m、帶電量為-q的粒子（不計(jì)重力）以相同的速率v沿不同的方向從P處沿垂直于磁場(chǎng)的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，可能的偏轉(zhuǎn)軌跡如圖7所示。由軌跡圖可知：v的方向不同，磁偏轉(zhuǎn)的偏轉(zhuǎn)角不同，打到屏MN上的點(diǎn)也不同，即圓周運(yùn)動(dòng)的弦長(zhǎng)也不同，但圓的半徑和周期是不變的。故打到屏MN上最遠(yuǎn)的點(diǎn)應(yīng)為經(jīng)歷半圓周偏轉(zhuǎn)的位置，即2R處。

【例2】如圖9所示，MN是磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子在紙面內(nèi)從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)。若粒子速度為v0，最遠(yuǎn)能落在邊界上的A點(diǎn)。下列說(shuō)法正確的是 （ ）

A.若粒子落在A點(diǎn)的左側(cè)，其速度一定小于v0

B.若粒子落在A點(diǎn)的右側(cè)，其速度一定大于v0

【答案】BC

三、“平移圓”模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用

【情景1】如圖10所示，等腰三角形PQR內(nèi)有一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，質(zhì)量為m、電量為q、速度為v0的大量帶正電的粒子沿平行線垂直射入磁場(chǎng)，且∠RPQ＝30°。粒子經(jīng)過(guò)PQ中點(diǎn)垂直進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)軌跡恰好與PR邊相切，已知PQ長(zhǎng)度為6d，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間的區(qū)域范圍時(shí)可將半圓周向右平移2d，即在4d的空間內(nèi)都偏轉(zhuǎn)半個(gè)圓周。

【例3】利用如圖11所示，裝置可以選擇一定速度范圍內(nèi)的帶電粒子。圖中板MN上方是磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，板上有兩條寬度分別為2d和d的縫，兩縫近端相距為L(zhǎng)。一群質(zhì)量為m、電荷量為q，具有不同速度的粒子從寬度為2d的縫垂直于板MN進(jìn)入磁場(chǎng)，對(duì)于能夠從寬度為d的縫射出的粒子，下列說(shuō)法正確的是 （ ）

A.粒子帶正電

C.保持d和L不變，增大B，射出粒子的最大速度與最小速度之差增大

D.保持d和B不變，增大L，射出粒子的最大速度與最小速度之差增大

【答案】BC

【感悟】應(yīng)用數(shù)學(xué)方法處理物理問(wèn)題的能力是高考考查的五種能力之一，“數(shù)學(xué)圓”模型在高中物理中的應(yīng)用側(cè)重圓的構(gòu)建。當(dāng)帶電粒子的速度大小不變而速度方向不確定時(shí)，應(yīng)考慮“動(dòng)態(tài)圓”；當(dāng)帶電粒子的速度方向確定而速度大小不確定時(shí)，應(yīng)考慮“縮放圓”；當(dāng)帶電粒子的速度大小和方向都確定，但入射點(diǎn)不確定時(shí)，應(yīng)考慮“平移圓”?？傊?，要結(jié)合具體的物理情景作出對(duì)應(yīng)的判斷，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變。

即時(shí)演練

1.（多選）如圖所示，寬為L(zhǎng)的平行虛線間有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，MN與磁場(chǎng)邊界垂直。從M點(diǎn)向虛線右側(cè)沿任意方向發(fā)射不同速度的帶負(fù)電粒子，發(fā)現(xiàn)所有粒子都從N點(diǎn)離開磁場(chǎng)。已知粒子質(zhì)量為m，電荷量為-q，重力不計(jì)，粒子從M點(diǎn)發(fā)射時(shí)的速度方向與cd邊的夾角為θ。下列說(shuō)法正確的是 （ ）

A.粒子經(jīng)N點(diǎn)的速度方向與ab邊所夾銳角為θ

C.速度越小的粒子，θ角越大

D.粒子從M運(yùn)動(dòng)到N的時(shí)間t最短為

參考答案

（作者單位：江蘇省鄭集高級(jí)中學(xué)城區(qū)學(xué)校）