王玉光，李亞男

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自由向量在解析幾何中的應(yīng)用

王玉光1，李亞男2

解析幾何是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生一門重要的基礎(chǔ)課程，其理論和方法對于后繼課程有重要的基礎(chǔ)作用；同時也是數(shù)學(xué)聯(lián)系實際的重要體現(xiàn)，在工業(yè)生產(chǎn)和工程建筑等在內(nèi)的生產(chǎn)實踐和現(xiàn)實生活中都有重要的應(yīng)用[1-3]．解析幾何核心的思想就是把幾何對象數(shù)量化，用代數(shù)的方法研究幾何．為了實現(xiàn)這一目的，就必須尋找合適的工具，向量恰是實現(xiàn)上述目的的一個有力工具，因此在解析幾何中起著舉足輕重的作用．

1　自由向量的概念

向量源于現(xiàn)實生活中一類常見對象，用來表示那些既有大小又有方向的量，如力和速度等．與向量概念相對的是那些只有大小沒有方向的量，即數(shù)量，如功和溫度等．一般用有向線段來表示向量，其中有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向，所以向量有2個要素，一是長度，二是方向．既然如此，一個自然的問題就是會遇到長度和方向都一樣的向量，此時一般規(guī)定，如果2個向量的大小相等，方向相同，那就稱為相等向量，或者說這2個向量是同一個向量．由此可見，向量的起點在哪并不重要，或者說只要保持向量的長度和方向不變，起點可以隨便選?。@就相當(dāng)于一個向量可以自由移動，移動前后表示的是同一個向量，這就是自由向量的概念．

2　自由向量的應(yīng)用

自由向量在幾何中是一個極其重要的基本概念，幾何中很多重要的對象都和這個概念有關(guān)．

2.1共線向量和共面向量如果2個向量都平行于同一條直線，就稱這2個向量平行．由于自由向量的概念，如果一個向量和一條直線平行，則一定可以將該向量平行移動到該直線上．進而可知，和該向量平行的所有向量都可以移動到該直線上，所以，平行向量又稱為共線向量．同理，如果一個向量和某個平面內(nèi)的另一個向量平行，則稱該向量平行于該平面．根據(jù)自由向量的概念，一定可以把該向量移動到該平面內(nèi)，從而可知，所有與該平面平行的向量都可以移動到該平面內(nèi)，因此稱為共面向量．顯然，共線向量和共面向量中的直線和平面不是唯一的．

2.2空間平面的點位式方程有的學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中會有這樣的疑惑，中學(xué)幾何認(rèn)為：二條相交直線確定一個平面，這是一個公理，而在解析幾何中，平面的方程卻不能僅有2個不共線的方位向量確定，還需要１個點，這是因為如果只給定２個不共線向量，由于自由向量的概念，可以任意找一點作為起點，這樣就會得到無窮多平行平面，并不能確定唯一的平面．所以，要想得到唯一確定的平面就必須再給出平面上的一點，這就是空間平面的點位式方程要求給出平面的２個不共線方位向量和平面上一點才能確定的原因．盡管中學(xué)有二條平行直線確定一個平面這樣的公理，但若給定２個平行向量相當(dāng)于給了一條可以在空間平行移動的直線，也不能確定唯一的平面．即使給出起點，如果對２個方位向量方向不做要求也不能保證確定唯一平面．如果給出一點和２個共線的方位向量，就相當(dāng)于給出經(jīng)過給定點的一條直線，只有一條直線是不能確定平面的，得到的是經(jīng)過該直線的有軸平面束．所以，在確定空間平面的點位式方程是需要給定一點和２個不共線的方位向量．

2.3空間直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的夾角由于自由向量的原因，空間直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的夾角都可以轉(zhuǎn)化為直線的方位向量之間、直線的方位向量和平面的法向量之間、平面的法向量之間的夾角．

2.4點到直線的距離和異面直線的距離由于自由向量的原因，可以將已知直線的方向向量的起點選為直線上的給定點，這樣所求點到直線的距離就轉(zhuǎn)化成一個平行四邊形一邊上的高，從而可以利用平行四邊形面積（即向量積的模長）和對應(yīng)邊長（即方向向量的模長）的商得到；類似地，兩異面直線間的距離轉(zhuǎn)化為平行六面體的體積和對應(yīng)底面積的商，也即轉(zhuǎn)化成3個向量的混合積與2個向量的向量積計算問題．

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中之所以覺得有困惑甚至?xí)鲥e，主要是課程一些基本概念不清，一些重要的學(xué)科意識沒能夠樹立起來．所以，基本概念和學(xué)科意識對于課程的學(xué)習(xí)是至關(guān)重要的，只要這些基礎(chǔ)扎實了，解決相應(yīng)的問題才能夠化繁為簡，事半功倍，也只有這些基礎(chǔ)扎實了，才能在學(xué)習(xí)過程中避免不必要的失誤．

[1] 呂林根，許子道．解析幾何[M]．4版．北京：高等教育出版社，2006

[2] 孟道驥．高等代數(shù)與解析幾何[M]．北京：科學(xué)出版社，2010

[3] 丘維聲．解析幾何[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2015

（1. 寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機學(xué)院，寧夏 銀川 750021；2. 河南理工大學(xué) 萬方科技學(xué)院，河南 焦作 454000）

寧夏大學(xué)科學(xué)研究基金資助項目（ZR1414）