羅春潤(rùn)，黎　雪，何桂福，羅志榮

(玉林師范學(xué)院物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院，廣西 玉林　537000)

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*通訊聯(lián)系人

MATLAB在剛體運(yùn)動(dòng)教學(xué)中的應(yīng)用

羅春潤(rùn)，黎雪，何桂福，羅志榮

(玉林師范學(xué)院物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院，廣西 玉林537000)

摘 要：剛體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是大學(xué)物理教學(xué)中較抽象的重要知識(shí)點(diǎn)。本文應(yīng)用MATLAB對(duì)大學(xué)物理的剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解，直觀體現(xiàn)物理量之間的關(guān)系，讓學(xué)生更好地理解和掌握物理規(guī)律，增加學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣。

關(guān)鍵詞：大學(xué)物理；剛體運(yùn)動(dòng)；MATLAB

在大學(xué)物理教學(xué)中，剛體運(yùn)動(dòng)是一個(gè)比較抽象的知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于大學(xué)物理教材中的剛體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，若僅從理論上分析，學(xué)生通常難以構(gòu)建空間圖形而影響教學(xué)效果[1]。MATLAB軟件具有功能強(qiáng)大、簡(jiǎn)單易學(xué)、界面友好、圖像清晰直觀等特點(diǎn)，在工程計(jì)算和數(shù)值分析領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用[2]。在大學(xué)物理教學(xué)中應(yīng)用MATLAB來(lái)輔助教學(xué)，不僅可以將抽象問(wèn)題形象化，而且能夠增強(qiáng)學(xué)生對(duì)物理的直觀感性認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果[3-4]。

本文應(yīng)用MATLAB對(duì)大學(xué)物理中的剛體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行實(shí)例分析，直觀地揭示物理規(guī)律，使抽象問(wèn)題具體化，激發(fā)的學(xué)習(xí)興趣[5]。

1剛體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題理論基礎(chǔ)

1.1均勻直桿自然倒下問(wèn)題

例1如圖1所示，長(zhǎng)為l=0.5m，質(zhì)量為m的均勻直桿，在光滑桌面上由豎直位置自然倒下。求直桿的角速度和質(zhì)心速度隨夾角θ的變化規(guī)律。

解析：通過(guò)對(duì)物體作受力分析并建立直角坐標(biāo)系，由牛頓第二定律和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，可得直桿的速度為

(1)

取直桿、地球?yàn)橄到y(tǒng)，選取地面為勢(shì)能零點(diǎn)，由機(jī)械能守恒可得

(2) 式中，g為重力加速度，J=ml2/12為直桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由式(1)可知，直桿的角速度大小為

(3)

方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颉?/p>

1.2實(shí)心球純滾動(dòng)問(wèn)題

例2如圖2所示，一個(gè)傾角為θ的斜面、底邊AB長(zhǎng)為l=2m，質(zhì)量為m、半徑為R(R<

解析：通過(guò)對(duì)實(shí)心球進(jìn)行受力分析。由質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程可得

(4)

式中，Jc=2mR2/5為實(shí)心球繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，N為斜面對(duì)小球的支持力，f為實(shí)心球和斜面之間的摩擦力，α為小球滾動(dòng)時(shí)的角速度。

由式(4)可得，實(shí)心球的質(zhì)心加速度為

(5)

由式(5)可知，實(shí)心球下滑時(shí)的運(yùn)動(dòng)為初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。由位移公式可求得實(shí)心球在斜面上下滑的時(shí)間t為

(6)

1.3輕質(zhì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題

例3如圖3所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))用長(zhǎng)為L(zhǎng)=10m的細(xì)桿(不計(jì)質(zhì)量)固定，靜止放在光滑的水平面上，初始時(shí)細(xì)桿在y軸上，A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，-L/2)和(0，L/2)。當(dāng)小球A受到?jīng)_量I=30N·s(平行于x軸)的作用后，系統(tǒng)在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。求小球B的運(yùn)動(dòng)軌跡。

解析：通過(guò)對(duì)沖擊結(jié)束后的瞬時(shí)桿AB進(jìn)行分析，由于水平面內(nèi)無(wú)作用力，故剛體將以不變的速率(vcx、vcy、ωAB)運(yùn)動(dòng)。利用沖量定理和(對(duì)質(zhì)心C)沖量矩定理。可得小球B的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為

(7)

式中，角速度ωAB/ImL

2數(shù)值模擬

理論分析式(1)、(3)、(6)和(7)，難以通過(guò)物理量之間的關(guān)系直觀地建立空間圖形。利用MATLAB對(duì)這四個(gè)公式進(jìn)行編程，可以使抽象問(wèn)題直觀化。

2.1均勻直桿自然倒下問(wèn)題的數(shù)值模擬

圖4(a)和(b)分別為直桿的質(zhì)心速度大小和角速度大小與角度θ的關(guān)系曲線。由圖4(a)可見(jiàn)，直桿的質(zhì)心速度大小與角度θ的關(guān)系是一條單調(diào)的曲線，隨著角度θ的增加而增加，質(zhì)心速度前一段呈曲線增長(zhǎng)，后一段趨于線性增長(zhǎng)。由圖4(b)可見(jiàn)，直桿的角速度大小與角度θ的關(guān)系是一條單調(diào)增加的曲線，隨角度θ的增加而增加，直桿的角速度在前一段內(nèi)增加較快，后一段增加趨于平緩。

2.2實(shí)心球純滾動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值模擬

圖5為式(6)中傾角θ與小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的關(guān)系曲線。從圖5中可見(jiàn)，隨著傾角θ的增大，時(shí)間t先減少，然后趨于平緩(在θ=45°時(shí)，t達(dá)到最小)，最后再增加。應(yīng)用MATLAB的min命令可直接求得，當(dāng)θ=45°時(shí)，小球在斜面運(yùn)動(dòng)時(shí)間取最小值，且最小值為1.069 0 s。

2.3輕質(zhì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值模擬

圖6為式(7)中小球B的坐標(biāo)隨時(shí)間t的變化曲線。從圖6(a)可見(jiàn)，小球橫坐標(biāo)隨時(shí)間呈非線性變化，但總體趨勢(shì)是逐步增大；從圖6(b)可見(jiàn)，小球縱坐標(biāo)隨時(shí)間呈正弦變化，應(yīng)用MATLAB進(jìn)行模擬可直接求得，變化周期T=0.209 4 s。

圖7為小球B的運(yùn)動(dòng)軌跡圖。從圖7可見(jiàn)，小球的運(yùn)動(dòng)軌跡呈螺旋線型，并以一定傾角斜右上方運(yùn)動(dòng)。

3總結(jié)

通過(guò)上述三個(gè)實(shí)例，在大學(xué)物理剛體運(yùn)動(dòng)的教學(xué)中應(yīng)用MATLAB進(jìn)行輔助教學(xué)，不僅使剛體運(yùn)動(dòng)教學(xué)過(guò)程更加生動(dòng)形象，而且有助于學(xué)生更好地理解物理規(guī)律，有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣，提高教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

[1]黎雪，羅春潤(rùn)，羅志榮.MATLAB在中學(xué)物理最值問(wèn)題中的應(yīng)用[J].廣西物理,2015,36(2):35-38.

[2]張志涌,楊祖櫻.MATLAB教程[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2010.

[3]周小奮.Matlab在中學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用初探[J].物理通報(bào),2011,40(10):68-71.

[4]羅志榮,盧成健,高英俊.機(jī)械波的衍射和干涉現(xiàn)象的MATLAB數(shù)值模擬[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2014,27(4):91-93.

[5]婁航宇，王威，孫維民.三線擺測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量方法的改進(jìn)及不確定度分析[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2015(6)：102-105.

Application of MATLAB in Rigid Motion Teaching

LUO Chun-run,LI Xue,HE Gui-fu,LUO Zhi-rong

(College of Physics Science and Engineering,Yulin Normal University,Guangxi Yulin 537000)

Key words：college physics；rigid body movement；MATLAB

Abstract：The rigid body movement is an important knowledge point in college physics teaching.MATLAB is used to solve the problem of rigid body kinematics in college physics,which can directly reflect the relationship between physical quantities,so that students can better understand and master the laws of physics,and increase students' interest in learning physics.

收稿日期：2015-12-11

基金項(xiàng)目：廣西高校大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)計(jì)劃項(xiàng)目(201410606011、201410606206)

文章編號(hào)：1007-2934(2016)03-0084-03

中圖分類號(hào)：O4-39

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.003.023